《九章算术》中的数学问题.doc

1、九章算术中的数学问题九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必须学习“九数”，东汉末年的经学家郑玄作注，其内容与九章算术的篇名几乎完全相同。郑玄虽然是经学家，但他的算学水平绝对是一流的，当时就是因为他曾帮助老师经学大师马融解决了一道数学难题，马融才将所有的学问传给了他。至于九章算术是否就是“九数”，尚须进一步讨论。九章算术其实就是研究九个问题的习题集。每道题有问有答有术（解决方法），有的是一题一术，有的是多题一术，有的则是一题多术，全书九章，涉及

2、的都是现实生活中的实际应用问题。第一章，讲“方田”，38个问题21种解决方法，主要论述了各种平面图形的地亩面计算法及分数的运算法则。其中平面图形有方田（长方形田地）、圭田（等腰三角形田地）、邪田（直角梯形田地）、箕田（等腰梯形田地）、圆田（圆形田地）、宛田（球冠行田地）、弧田（弓形田地）、环田（圆环或环缺形田地）的面积算法，除宛田、弧田采用近似计算法外，其他各种图形的面积算法都是正确无误的。其中分数运算法则包括约分术（约分）、合分术（分数加法）、减分术（分数减法）、课分术（分数比较大小）、平分术（求分数的平均值）、经分术（分数除法）、乘分术（分数乘法）及大广田术（带分数乘法）。第二章，讲“粟米

3、”，46问33术，主要论述了二十种谷物、米或饭的兑换比率及四项比例算法。其四项比例算法当时称为“今有术”。前31问都是用四项比例算法计算的谷物兑换问题，后15问则是以钱买物的问题，再后15问中共列四术，即经率术、经术术、其率术和反其率术，这四术都是四项比例算法的特殊情况。这很有点像经济学的雏形。第三章衰分，20问22术，主要论述比例分配，包括质量不一的货物的税收问题，还有算术级数和几何级数方面的其他问题。所有这些都是用比例法解决的。第四章少广，24问16术，论述的是开平方、开立方的问题。第五章商功，28问24术，讨论立体图形，如棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、圆台、四面体、楔形的体积测量和计算，所考虑

4、的有墙、城墙、堤防、水道和河流。第六章均输，28问28术，主要讨论如何按照人口多少、路途远近、谷物贵贱平均缴纳、运输赋税或摊派徭役的问题。第七章盈不足，20问17术，主要论述盈亏问题的解法。第八章方程，18问19术，研究联立线性方程，还用到正数和负数。研究中国古代科学技术史的专家英国李约瑟认为，这是在人类文明中最早出现负量的概念。（不过这跟我们现代数学中的负数在理念上还是有差别的，这时的负数是借助于经济上的亏欠形成的，正负数的运算也可能是由于需要产生的，而不是现代数理论上的负数。）本章最后涉及的四个方程和五个未知数的问题，是不定方程的前身。第九章勾股，24问22术，这里用代数方法深入细致地论述

5、了周髀算经中已经提到过的直角三角形的性质。九章合计共246问202术。涉及到社会生产生活的方方面面。也正像一般学者所研究的那样，这些数学知识虽然有的方面非常发达，但其所面对的问题都是现实生活中的实际问题，因此很多都是在解决具体的问题中达到非常精微的地步，但却没有一套知识系列，将数学的各种知识系统化。这是中国古代数学的一大特征。另外一个特征就是，比较擅长运用代数来解决问题，即使是几何问题，通常也是转化为代数问题，前面所提到的关于直角三角形的讨论，也只不过是一个媒介，最终还是会引到代数上来。虽然我们不能说周髀算经和九章算术准确地反映了先秦时代的数学水平，但基于此，我们似乎可以逆想，西周时代的数学知

6、识的状况如何。而西周的那些“国子”们，所面对的数学知识面也就不难想象了。要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。其实，那个时期经常用到数学运算的可能还不是丈量土地，修建工程之类的事情，而是占卜中需要用数学来计算重卦和蓍草的数目，尤其是后者，是一套比较繁琐的程序中，需要相当的数学能力。凡祭祀、出行、婚丧、访友、行军打仗等等都会事先占卜，以求吉凶，可

7、见这类事情要比测量土地、征收赋税之类的事情频繁多了。语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。据前文所述，那个时期的数学似乎很复杂，但实际上似乎又没有这么复杂，因为他跟“书”一样，是小学的科目。作为小学的科目，估计不会涉及所谓的方程、比例等较复杂的知识。而且，很复杂的分数运算一般都是用来解决天文历法上的问题，若非有特别的兴趣，或者职责专主于此，则尽可以让专门制定历法的史官来做。（