2022-2023学年新教材高中数学 第四章 对数运算与对数函数 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 5 信息技术支持的函数研究课后习题 北师大版必修第一册.docx

1、4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较*5信息技术支持的函数研究A级必备知识基础练1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()A.一次函数B.幂函数C.指数型函数D.对数型函数2.(多选题)有一组实验数据如表所示:x12345y1.55.913.424.137则下列所给函数模型较不适合的有()A.y=logax(a1)B.y=ax+b(a1)C.y=ax2+b(a0)D.y=logax+b(a1)3.(2021安徽繁昌第一中学高一开学考试)某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度

2、极快,对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现,该植物在水面的覆盖面积y(单位:m2)与经过的时间t(单位:月,tN)的关系为y=843t,则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1 000倍需要的时间(单位:月)为()参考数据:lg 430.125A.20B.22C.24D.264.(多选题)以下四种说法中,不正确的是()A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的x0,xalogaxC.对任意的x0,axlogaxD.一定存在x0,使xx0,总有axxnlogax5.某电脑公司六年来电脑总产量y(单位:台)与生产时间x(单位:年)的函数关系如图.

3、有下列说法:前三年产量增长速度越来越快;前三年产量增长速度越来越慢;后三年这种产品停止生产;后三年产量保持不变.其中说法正确的是.(填序号)6.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是.7.某商场为了实现100万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元时,按利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)

4、随利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该商场的要求?B级关键能力提升练8.当0x1时,f(x)=x2,g(x)=x12,h(x)=x-2的大小关系是()A.h(x)g(x)f(x)B.h(x)f(x)g(x)C.g(x)h(x)f(x)D.f(x)g(x)h(x)9.如图所示的是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正确的有()这几年人民生活水平逐年得到提高;人民生活费收入增长最快的一年是2018年;生活费价格指数上涨速度最快的一年是2019年;虽然2020年生

5、活费收入增长是缓慢的,但由于生活费价格指数也略有降低,因而人民生活有较大的改善.A.1项B.2项C.3项D.4项10.某企业常年生产一种出口产品,根据调查可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2017年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log12x+a.(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后求出相应的函数关系式(所求a或b的值保留1位小数);(2)受某些因素影响,预测2023年的年产量比预

6、计减少30%,试根据所选择的函数模型,确定2023年的年产量.11.若不等式3x2-logax0,a1)与y=px12+q(p0)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的关系式;(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时面积的10倍以上的最小月份(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1).4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较*5信息技术支持的函数研究1.D初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.可用对数型函数模型来反映调整后利润与时间的关系.2.ABD由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.3

7、.C刚投放时的面积为y=8430=8,设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1000倍,则843t=81000,t=log431000=3lg4330.125=24.故选C.4.ABC5.结合图象的增长趋势易得出正确.6.y2从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化.故填y2.7.解在同一平面直角坐标系中作出函

8、数y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略).观察图象可知,在区间5,100内,函数y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有函数y=log5x的图象始终在直线y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合商场的要求.8.D在同一坐标系下作出函数f(x)=x2,g(x)=x12,h(x)=x-2的图象,由图象知,D正确.9.C由题意,“生活费收入指数”减“生活费价格指数”所得的差是逐年增大的,故正确;“生活费收入指数”在20182019年最陡,故正确;“生活费价格指数”在20182019年上涨最快,故不正确;由于“生活费价格指

9、数”略呈下降趋势,而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势,故正确.10.解(1)符合条件的是f(x)=ax+b.理由如下:若模型为f(x)=log12x+a,则f(x)是减函数,与已知不符.若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知数据相差太大,不符合.则近似符合的模型为f(x)=ax+b.由已知得a+b=4,3a+b=7,解得a=1.5,b=2.5,所以f(x)=1.5x+2.5,xN+.(2)2023年的预计年产量为f(7)=1.57+2.5=13(万件),所以13(1-30%)=9.1(万件

10、),即预测2023年的年产量为9.1万件.11.解由题意,知3x2logax在x0,13内恒成立,0a1,且y=logax的图象必过点A13,13或在这个点的上方,则loga1313.a127,127a0,a1),y=px12+q(p0)在(0,+)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k0,a1)的值增加的越来越快,而函数y=px12+q(p0)的值增加的越来越慢.由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k0,a1)更合适.由题意可知,x=2时,y=24,x=3时,y=36.所以ka2=24,ka3=36,解得k=323,a=32,所以该函数模型的关系式是y=32332x(xN+).(2)当x=0时,y=323320=323,所以元旦放入时凤眼莲的面积是323m2.由32332x10323,得32x10,所以xlog3210=lg10lg32=1lg3-lg2.因为1lg3-lg210.4771-0.30105.7,所以x6,所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时凤眼莲面积的10倍以上的最小月份是6月份.