数学对称问题.doc

1、数学对称问题对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P（x，y）关于点（a，b）对称点为P（x，y），x=2a-x由中点坐标公式可得：y=2b-y2、点P（x，y）关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x=x-（Ax+By+C）P（x，y）则y=y-（AX+BY+C）事实上：PPL及PP的中点在直线L上，可得：Ax+By=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。（-）=-1（B0）特别地，点P（x，y）关于1、x轴和y轴的对称点分别为（x，-y）和（-x，y）

2、2、直线x=a和y=a的对标点分别为（2a-x，y）和（x，2a-y）3、直线y=x和y=-x的对称点分别为（y，x）和（-y，-x）例1光线从A（3，4）发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B（1，5），求射入y轴后的反射线所在的直线方程。解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A（5，0），B关于y轴对称点B为（-1，5），直线AB的方程为5x+6y-25=0C（0，）直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F（x，y）=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F（x，y）=O上任意一点（x，

3、y）关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F（x，y）=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。1、曲线F（x，y）=0关于点（a，b）的对称曲线的方程是F（2a-x，2b-y）=02、曲线F（x，y）=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F（x-（Ax+By+C），y-（Ax+By+C）=0特别地，曲线F（x，y）=0关于（1）x轴和y轴对称的曲线方程分别是F（x，-y）和F（-x，y）=0（2）关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F（2a-x，y）=0和F（x，2a-y）=0（3）关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F（y，x）=0和F（-y，-x）=0除此以外

4、还有以下两个结论：对函数y=f（x）的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f（|x|）的图象；保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f（x）|的图象。例2（全国高考试题）设曲线C的方程是y=x3-x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t，s单位长度后得曲线C1：1）写出曲线C1的方程2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称。（1）解知C1的方程为y=（x-t）3-（x-t）+s（2）证明在曲线C上任取一点B（a，b），设B1（a1，b1）是B关于A的对称点，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：s-b1=（t-a1）3-（t-a1）b1=

5、（a1-t）3-（a1-t）+sB1（a1，b1）满足C1的方程B1在曲线C1上，反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上曲线C和C1关于a对称我们用前面的结论来证：点P（x，y）关于A的对称点为P1（t-x，s-y），为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程，得：s-y=（t-x）3-（t-x）y=（x-t）3-（x-t）+s此即为C1的方程，C关于A的对称曲线即为C1。三、曲线本身的对称问题曲线F（x，y）=0为（中心或轴）对称曲线的充要条件是曲线F（x，y）=0上任意一点P（x，y）（关于对称中心或对称轴）的对称点的坐标替换曲线方程中相应的坐标后方程不变。例如抛物线y

6、2=-8x上任一点p（x，y）与x轴即y=0的对称点p（x，-y），其坐标也满足方程y2=-8x，y2=-8x关于x轴对称。例3方程xy2-x2y=2x所表示的曲线：A、关于y轴对称B、关于直线x+y=0对称C、关于原点对称D、关于直线x-y=0对称解：在方程中以-x换x，同时以-y换y得（-x）（-y）2-（-x）2（-y）=-2x，即xy2-x2y=2x方程不变曲线关于原点对称。函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论：1、函数f（x）定义线为R，a为常数，若对任意xR，均有f（a+x）=f（a-x），则y=f（x）的图象关于x=a对称。这是因为a+x和a-x这两点分别列于

7、a的左右两边并关于a对称，且其函数值相等，说明这两点关于直线x=a对称，由x的任意性可得结论。例如对于f（x）若tR均有f（2+t）=f（2-t）则f（x）图象关于x=2对称。若将条件改为f（1+t）=f（3-t）或f（t）=f（4-t）结论又如何呢？第一式中令t=1+m则得f（2+m）=f（2-m）；第二式中令t=2+m，也得f（2+m）=f（2-m），所以仍有同样结论即关于x=2对称，由此我们得出以下的更一般的结论：2、函数f（x）定义域为R，a、b为常数，若对任意xR均有f（a+x）=f（b-x），则其图象关于直线x=对称。我们再来探讨以下问题：若将条件改为f（2+t）=-f（2-t）结

8、论又如何呢？试想如果2改成0的话得f（t）=-f（t）这是奇函数，图象关于（0，0）成中心对称，现在是f（2+t）=-f（2-t）造成了平移，由此我们猜想，图象关于M（2，0）成中心对称。如图，取点A（2+t，f（2+t）其关于M（2，0）的对称点为A（2-x，-f（2+x）-f（2+X）=f（2-x）A的坐标为（2-x，f（2-x）显然在图象上图象关于M（2，0）成中心对称。教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复

9、倾听，在反复倾听中体验、品味。若将条件改为f（x）=-f（4-x）结论一样，推广至一般可得以下重要结论：与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问示侄孙伯安诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。3、f（X）定义域为R，a、b为常数，若对任意xR均有f（a+x）=-f（b-x），则其图象关于点M（，0）成中心对称。