2020-2021学年山东省日照市五莲县高二（上）期中数学试卷.docx

1、2020-2021学年山东省日照市五莲县高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1. 若向量a=(-1,0,1)，向量b=(2,0,k)，且满足向量a/b，则k等于( )A.1B.-1C.2D.-22. 点(0,-1)到直线yk(x+1)距离的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.23. 已知向量n=(2,0,1)为平面a的法向量，点A(-1,2,1)在a内，则P(1,2,2)到a的距离为（ ）A.55B.5C.25D.5104. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长

2、与短半轴长的乘积若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为23，过点F1的直线交C于点A，B，且ABF2的周长为8，则C的标准方程为（ ）A.x24+y2=1B.x23+y24=1C.x24+y23=1D.x216+4y23=15. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点若ACBC=1，则点C的轨迹为（ ）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线6. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则( )A.ABA1C1=2a2B.ABAC1=2a2C.ABAO=12a2D.BCDA1=a27. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台

3、风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（ ）A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时8. 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上一点，连接PF1与y轴交于点M，若|F1O|2|OM|（O为坐标原点），PF1PF2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）A.y3xB.y=3xC.y2xD.y=2x二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。)9. 已知直线l:x-2y-20（ ）A

4、.直线x-2y-10与直线l平行B.直线x-2y+10与直线l平行C.直线2x+y-20与直线l垂直D.直线x+2y-1与直线l垂直10. 已知曲线C:mx2+ny21（ ）A.若mn0，则C是椭圆，其焦点在x轴上B.若mn0，则C是圆，其半径为nC.若mn0，则C是两条直线11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是（ ）A.A1C1/平面CEFB.B1D平面CEFC.CE=12DA+DD1-DCD.点D与点B1到平面CEF的距离相等12. 我们通常称离心率是5-12的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0

5、)，A1，A2，B1，B2分别为左、右、上、下顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是（ ）A.|A1F1|F2A2|F1F2|2B.F1B1A290C.PF1x轴，且PO/A2B1D.四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。)13. 抛物线x2=14y的准线方程是_14. 已知向量OA=(k,12,1)，OB=(4,5,1)，OC=(-k,10,1)，且A，B，C三点共线，则k=_15. 已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂

6、直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_16. 2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q(0,-3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切已知直线l过点O （1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为_；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d=_四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)17. 已知直线l经过两条直线2x-y-30和4x-3y-50的交点，且与直线x+y-20垂直 （1）求直线l的方程；（2）若圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正

7、半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为22，求圆C的标准方程18. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AA1=3，AB2BC2，E为棱AB的中点，F为线段D1C的中点 （1）求异面直线EF与AD1所成角的余弦值；（2）求直线AD1与平面DEF所成角的正弦值19. 已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，离心率为22，且一个焦点和短轴的两个端点构成面积为1的等腰直角三角形 （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆C右焦点F作直线交椭圆C于点M，N，又直线OM交直线x2于点T，若OT=2OM，求线段MN的长20. 已知点A(1,0)，B(4,0)，曲线C上任意一点P满足|PB|2|PA| （1）求曲线C的

8、方程；（2）设点D(3,0)，问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平分EDF，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由21. 如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCFCEF90AD=3，EF2 （1）求证：AE/平面DCF；（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为6022. 已知抛物线C:y22px(p0)的焦点F与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B （1）求抛物线C的标准方程；（2）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k

9、1k2为定值；（3）求|AB|的最小值参考答案与试题解析2020-2021学年山东省日照市五莲县高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. D2. B3. B4. C5. A6. C7. B8. C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。9. A,B,C10. C,D11. A,C12. B,D三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13. y=-11614. -2315. 216.

10、 3125四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. 由已知得：2x-y-3=04x-3y-5=0，解得两直线交点为(2,1)， l与x+y-20垂直， k11 l过点(2,1)， l的方程y-1(x-2)即yx-1设圆的标准方程为(x-a)2+y2r2，则(1-a)2=r2(|a-1|2)+2=r2，解得a3，r2 圆的标准方程为(x-3)2+y2418. 以D为原点，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则E(1,1,0)，F(0,1,32)，A(1,0,0)，D1(0,0,3)则EF=(-1,0,32)，AD1=(-1,0,3)，直线EF与

11、AD1所成角为，则cos=|EFAD1|EF|AD1|=52744=5714故异面直线EF与AD1所成角的余弦值为5714DE=(1,1,0)，DF=(0,1,32)，AD1=(-1,0,3)，设面DEF的法向量为n=(x,y,z)，则DEn=x+y=0DFn=y+32z=0，令z2，可得n=(3,-3,2)，设直线AD1与平面DEF所成角为，则sin=|AD1n|AD1|n|=3410=3020，所以直线AD1与平面DEF所成角的正弦值为302019. 设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)因为离心率为22，所以ca=22，焦点和短轴的两个端点恰为一个等腰直角三角形的顶点且面积为1，于

12、是bcbc1因为a=2c,b=1,a=2故椭圆的方程为x22+y2=1由题意可知OT=2OM，M为OT中点，xMxFc1，故将xM1代入x22+y2=1，可得|yM|=22，从而|MN|=220. 设P(x,y)， |PB|2|PA| (x-4)2+y2=2(x-1)2+y2，化为：x2+y24设存在定点Q满足条件，设直线l的方程为ykx+b设E(x1,y1)，F(x2,y2)联立y=kx+bx2+y2=4，化为：x2+(kx+b)24， (1+k2)x2+2kbx+b2-40，0 x1+x2=-2kb1+k2，x1x2=b2-41+k2，无论直线l如何运动，x轴都平分EDF，则kDE+kDF

13、0， y1x1-3+y2x2-3=0 (kx1+b)(x2-3)+(kx2+b)(x1-3)0， 2kx1x2+(b-3k)(x1+x2)-6b0， 2kb2-41+k2-(b-3k)2kb1+k2-6b0，化为：4k+3b0 k=-34b yb(-34x+1)，可得直线经过定点(43,0) 存在过定点Q(43,0)的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平分EDF21. 过E作EGCF于G，连接DG，则四边形BCGE为矩形又ABCD为矩形， AD平行且等于EG， 四边形ADGE为平行四边形， AE/DG， AE平面DCF，DG平面DCF， AE/平面DCF分别以直线B

14、E、BC、BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，依题意可得：B(0,0,0)，C(0,3,0)，E(3,0,0)，F(4,3,0)，设ABm，则A(0,0,m)AE=(3,0,-m)，EF=(1,3,0)，平面CEF的法向量m=(0,0,1)设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，则nAE=3x-mz=0nEF=x+3y=0，取z9，得n=(3m,-3m,9) 二面角A-EF-C的大小为60， cos60=|nm|n|m|=912m2+81，解得m=92 当AB=92时，二面角A-EF-C的大小为6022. 由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0) 抛物线的焦点为F(1,0)，

15、p2，所以抛物线的标准方程：y24x抛物线C的准线方程为x-1设M(-1,t)，设过点M(-1,t)的直线方程为yk(x+1)+t，与抛物线方程y24x联立，消去x得：ky2-4y+4k+4t0其判别式16-16k(k+t)，令0，得：k2+kt-10由韦达定理知k1+k2-t，k1k2-1，故k1k2-1（定值）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由k2+kt-10，得t=1-k2k，故ky2-4y+4k+4tky2-4y+4k+41-k2k=ky2-4y+4k=k(y-2k)2，所以y=2k，代入抛物线方程得x=1k2，所以A(1k12,2k1)，B(1k22,2k2)，|AB|=(1k12-1k22)2+(2k2-2k1)2=(k22-k12k22k12)2+4(k1-k2k1k2)2因为k1k2-1，k1+k2-t，所以|AB|=(k12-k22)2+4(k1-k2)2=4+t2|k1-k2|=4+t2(k1+k2)2-4k1k2=4+t2t2+44+t24，当且仅当t0时取等号当且仅时取等号故|AB|的最小值为4