2020版高考数学北京版大一轮精准复习精练：9-2　直线、圆的位置关系 WORD版含解析.docx

1、9.2直线、圆的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线、圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系2.能用直线与圆的位置关系解决弦长问题3.会求圆的切线方程及与圆有关的最值问题4.能根据给定两圆的方程判断两圆的位置关系5.会求两圆相交弦所在直线的方程及弦长6.初步了解用代数方法处理几何问题的思想2014北京,19直线与圆的位置关系的判断椭圆的方程和几何性质2014北京文,7圆的有关性质向量的数量积运算2012北京文,9弦长问题勾股定理分析解读从高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空

2、题为主.分值大约为5分.主要考查:1.方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;2.利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;3.利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长;4.由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.破考点【考点集训】考点直线、圆的位置关系1.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.42C.6D.210答案C2.若直线y=kx+4+2k

3、与曲线y=4-x2有两个交点,则k的取值范围是()A.1,+)B.-1,-34C.34,1D.(-,-1答案B3.(2014安徽,6,5分)过点P(-3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0,6B.0,3C.0,6D.0,3答案D炼技法【方法集训】方法1与圆有关的最值问题的求解方法1.已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k0)上一点,PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若PA长度的最小值为2,则k的值为()A.3B.212C.22D.2答案D2.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线m

4、x-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=2方法2求解与圆有关的切线和弦长问题的方法3.(2015安徽文,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12答案D4.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8答案B过专题【五年高考】A组自主命题北京卷题组1.(2014北京文,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B

5、(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案B2.(2012北京文,9,5分)直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.答案223.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OAOB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解析(1)由题意知,椭圆C的标准方程为x24+y22=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=2.故椭圆C的离心率e=ca=22.(2)直线AB与圆x2+y2=

6、2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x00.因为OAOB,所以OAOB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.当x0=t时,y0=-t22,代入椭圆C的方程,得t=2,故直线AB的方程为x=2.圆心O到直线AB的距离d=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0t时,直线AB的方程为y-2=y0-2x0-t(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=|2x0-ty0|(y0-2)2+(x0-t)2.又x02+2y02=4,t=-2y0x0,故d=2x0+2y02x0x02+y02+4y02x02+

7、4=4+x02x0x04+8x02+162x02=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32答案A2.(2016课标,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.3D.2答案A3.(2018课标文,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.答案224.(2016课标

8、,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=.答案45.(2015湖南文,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐标原点),则r=.答案26.(2014重庆文,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且ACBC,则实数a的值为.答案0或67.(2014课标,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是.

9、答案-1,18.(2015课标文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OMON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k21.解得4-73kb0)过点(0,2),且离心率e=22.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G-94,0与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.解析(1)由已知得b=2,ca=22,a2=b2+c2.解得a=2,b=2,c=2.

10、所以椭圆E的方程为x24+y22=1.(2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,从而y0=mm2+2.所以|GH|2=x0+942+y02=my0+542+y02=(m2+1)y02+52my0+2516.|AB|24=(x1-x2)2+(y1-y2)24=(1+m2)(y1-y2)24=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y24=(1+m2)(y02-y1y2),故|GH|2-|AB|24=52my0+(1+m2)y1y2+25

11、16=5m22(m2+2)-3(1+m2)m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0,所以|GH|AB|2.故点G-94,0在以AB为直径的圆外.解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则GA=x1+94,y1,GB=x2+94,y2.由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,从而GAGB=x1+94x2+94+y1y2=my1+54my2+54+y1y2=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0,所

12、以cos0.又GA,GB不共线,所以AGB为锐角.故点G-94,0在以AB为直径的圆外.评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.8.(2013四川,20,13分)已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2.请将n表示为m的函数.解析(1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)由=(-8k)2-4(1

13、+k2)120,得k23,所以k的取值范围是(-,-3)(3,+).(4分)(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2)x12,|ON|2=(1+k2)x22.又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2,由2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2,得2(1+k2)m2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22,即2m2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22.由(*)式可知,x1+x2=8k1+k2,x1x2=121+k2,所以m2=365k2-3.因为点Q在直线y=kx上,所以k=nm,代入m2=3

14、65k2-3中并化简,得5n2-3m2=36.由m2=365k2-3及k23,可知0m20,所以n=36+3m25=15m2+1805.于是,n与m的函数关系为n=15m2+1805(m(-3,0)(0,3).(13分)评析本题主要考查直线、圆、函数、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程等数学思想,并考查思维的严谨性.9.(2013湖南,20,13分)已知F1,F2分别是椭圆E:x25+y2=1的左,右焦点,F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.(1)求圆C的方程;(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab最

15、大时,求直线l的方程.解析(1)由题设知,F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C的半径为2,圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点.设圆心的坐标为(x0,y0),由y0x0=1,x02+y02-2=0,解得x0=2,y0=2.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)由题意,可设直线l的方程为x=my+2,则圆心到直线l的距离d=|2m|1+m2.所以b=222-d2=41+m2,由x=my+2,x25+y2=1得(m2+5)y2+4my-1=0.设l与E的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=-4mm2+5,y1y2=-1m2+5.于是

16、a=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+m2)(y1-y2)2=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y2=(1+m2)16m2(m2+5)2+4m2+5=25(m2+1)m2+5.从而ab=85m2+1m2+5=85m2+1(m2+1)+4=85m2+1+4m2+1852m2+14m2+1=25.当且仅当m2+1=4m2+1,即m=3时等号成立.故当m=3时,ab最大,此时,直线l的方程为x=3y+2或x=-3y+2,即x-3y-2=0或x+3y-2=0.评析本题主要考查点关于直线的对称,圆的方程,直线与圆(椭圆)相交后的弦长问题,考查直线方程的求解以及不等式的应用,同时考查了学生分析和

17、解决数学问题的能力以及运算求解能力,准确表示两条弦长a与b是解决本题的关键.注意:应用基本不等式时,要验证等号成立的条件.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017北京海淀一模,2)圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为()A.(x-1)2+y2=1B.(x+1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案C2.(2018北京通州一模,6)已知抛物线y2=8x的准线与圆心为C的圆x2+y2+2x-8=0交于A,B两点,则|CA-CB|等于()A.2B.22C.25D.42答案D3.(2018北京海淀期末,5)已知直线x-y+m=0与圆O:x2+

18、y2=1相交于A,B两点,且AOB为正三角形,则实数m的值为()A.32B.62C.32或-32D.62或-62答案D4.(2017北京东城二模,6)已知直线x+y=m(m0)与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且POQ=120(其中O为原点),那么m的值是()A.33B.22C.2D.3答案B5.(2018北京顺义二模,8)已知点A(-1,-1),若曲线T上存在两点B,C,使ABC为正三角形,则称T为“正三角形”曲线.给定下列三条曲线:x+y-3=0(0x3);x2+y2=2(-2x0);y=1x(x0),其中,“正三角形”曲线的个数是()A.0B.1C.2D.3答案C二、填空题(每小题5分

19、,共30分)6.(2017北京海淀二模,12)设D为不等式(x-1)2+y21表示的平面区域,直线x+3y+b=0与区域D有公共点,则b的取值范围是.答案-3,17.(2018北京朝阳一模,11)已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0内有一点P(2,1),经过点P的直线l与圆C交于A,B两点,当弦AB恰被点P平分时,直线l的方程为.答案y=x-18.(2017北京西城一模,11)圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心坐标是;直线l:x-y=0与圆C相交于A,B两点,则|AB|=.答案(1,1);29.(2018北京一六一中学期中,9)已知圆C与直线x-y=0和x-y-4=0都相切,且圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为.答案(x-1)2+(y+1)2=210.(2018北京朝阳二模,13)在平面直角坐标系xOy中,点P(不过原点)到x轴,y轴的距离之和的2倍等于点P到原点距离的平方,则点P的轨迹所围成的面积是.答案4+811.(2018北京朝阳一模,12)已知点A(-2,0),B(0,2),若点M是圆x2+y2-2x+2y=0上的动点,则ABM面积的最小值为.答案2