2020高考数学文科大一轮复习导学案：选修4-4 坐标系与参数方程4-4-1 WORD版含答案 (2).docx

1、选考部分选修44坐标系与参数方程知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换1(选修44P4例题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线ysinx的方程变为y3sin2x.解析：由已知得代入ysinx，得ysin2x，即y3sin2x，所以ysinx的方程变为y3sin2x.知识点二极坐标系 1极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(

2、通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系如图，设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)2极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为xcos，ysin.另一种关系为2x2y2，tan.2(选修44P11例4改编)点P的直角坐标为(1，)，则点P的极坐标为.解析：因为点P(1，)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的

3、角为，所以点P的极坐标为.3(选修44P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为(A)A，0B，0Ccossin，0Dcossin，0解析：y1x(0x1)，sin1cos(0cos1,0sin1)；.知识点三常见曲线的极坐标方程 4(选修44P15T4)在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是(B)A. B.C(1,0) D(1，)解析：方法1：由2sin，得22sin，化成直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为.方法2：由2sin2cos，知圆心的极坐标为，故选B.

4、5在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(A)Asin1 BsinCcos1 Dcos解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为xcos2cos，ysin2sin1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y1，再化为极坐标为sin1.6在极坐标系中，圆8sin上的点到直线(R)距离的最大值是6.解析：圆8sin化为直角坐标方程为x2y28y，即x2(y4)216，直线(R)化为直角坐标方程为yx.圆心(0,4)到直线xy0的距离d2.又圆的半径为4，故圆上的点到直线距离的最大值是246.1明辨两个坐标伸缩变换关系式点(x，y)在原曲线上，点(x，y)在变换后的

5、曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x，y)的坐标满足变换后的曲线方程2极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式xcos及ysin直接代入并化简(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如cos，sin，2的形式，进行整体代换考向一伸缩变换 【例1】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形(1)5x2y0.(2)x2y21.【解】伸缩变换则(1)若5x2y0，则5(2x)2(3y)0，所以5x2y0经过伸缩变换后的方程为5x3y0，为一条直线(2)若x2y21，则(2x)2(3y)21，则x2y21经过伸缩变

6、换后的方程为4x29y21，为椭圆经过伸缩变换后，曲线C变为本例(2)中变换前的曲线，求曲线C的方程解：把代入方程x2y21，得25x29y21，所以曲线C的方程为25x29y21.1.平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，整理得yh(x)为所求2解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P(x，y)的坐标关系，用方程思想求解在平面直角坐标系中，已知伸缩变换：(1)求点A(，2)经过变换所得点A的坐标；(2)求直线l：y6x经过变换后所得直线l的方程解：(1)设点A(x，y)，由伸缩

7、变换：得点A的坐标为(1，1)(2)设P(x，y)是直线l上任意一点由伸缩变换：得代入y6x，得2y62x，即yx，yx为所求直线l的方程考向二极坐标方程与直角坐标方程的互化 【例2】在极坐标系下，已知圆O：cossin和直线l：sin(0,02)(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标【解】(1)圆O：cossin，即2cossin，故圆O的直角坐标方程为x2y2xy0，直线l：sin，即sincos1，则直线l的直角坐标方程为xy10.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)

8、，将(0,1)转化为极坐标为即为所求极坐标方程问题的处理思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程熟练掌握互换公式是解决问题的关键已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解：(1)由2知24，所以圆O1的直角坐标方程为x2y24.因为22cos2，所以222，所以圆O2的直角坐标方程为x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1，化为极坐标方程为cossin1，即sin.考向三极坐

9、标方程的应用 方向1转化为直角坐标方程解题【例3】(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程【解】(1)由xcos，ysin得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2

10、与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.方向2利用极坐标的几何意义解题【例4】(2019山西八校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(为参数)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系(1)求曲线C

11、的极坐标方程；(2)设l1：，l2：，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求AOB的面积【解】(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x3)2(y4)225，即x2y26x8y0.曲线C的极坐标方程为6cos8sin.(2)设A(1，)，B(2，)把代入6cos8sin，得143，A(43，)把代入6cos8sin，得234，B(34，)SAOB12sinAOB(43)(34)sin()12.1(方向1)(2019沈阳市教学质量监测)设过平面直角坐标系的原点O的直线与圆(x4)2y216的一个交点为P，M为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求点M

12、的轨迹C的极坐标方程；(2)设点A的极坐标为(3，)，点B在曲线C上，求OAB面积的最大值解：(1)设M(，)，则P(2，)，则点P的直角坐标为(2cos，2sin)，代入(x4)2y216得4cos，点M的轨迹C的极坐标方程为4cos.(2)由题意得点A的直角坐标为(，)，则直线OA的直角坐标方程为yx，|OA|3，由(1)易得轨迹C的直角坐标方程为(x2)2y24，则圆心(2,0)到直线OA的距离d，点B到直线OA的最大距离为2，OAB面积的最大值为(2)|OA|33.2(方向2)(2019福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，直线C2的方程为yx.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.解：(1)由曲线C1的参数方程为(为参数)，得曲线C1的普通方程为(x2)2(y2)21，则C1的极坐标方程为24cos4sin70，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为(R)(tan)(2)由得2(22)70，设A，B对应的极径分别为1，2，则1222，127，.