2021-2022学年新教材高中数学 第8章 立体几何初步测评巩固练习（含解析）新人教A版必修第二册.docx

1、第八章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是()A.是棱台B.是圆台C.是棱锥D.不是棱柱解析:图不是由棱锥截来的,所以不是棱台;图上下两个面不平行,所以不是圆台;图前后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以是棱柱;很明显是棱锥.答案:C2.下列说法正确的是()A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥D.通过圆台侧面上

2、一点,有无数条母线解析:圆锥的侧面展开图是一个扇形,A不正确;棱柱的侧面只需是平行四边形,所以B不正确;通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以D不正确;C任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥是正确的.答案:C3.下列说法正确的是()A.都与直线a相交的两条直线确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.过一条直线的平面有无数多个D.两个相交平面的交线是一条线段解析:当这两条直线异面时不能确定平面,A错误.两条直线异面,则不能确定平面,B错误.两个相交平面的交线是一条直线,D错误.答案:C4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.

3、ACB.BDC.A1DD.A1D1解析:CE平面ACC1A1,BDAC,BDAA1,BD平面ACC1A1,BDCE.答案:B5.如图,在四面体中,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定()A.在直线DB上B.在直线AB上C.在直线CB上D.在直线AC上解析:EF与GH相交,设EFGH=M,MEF,MGH.又EF平面ABD,GH平面BCD,M平面ABD,M平面BCD.又平面ABD平面BCD=BD,MBD,故选A.答案:A6.如图所示,古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.如图所示,圆柱的

4、体积与球的体积的比值和圆柱的表面积与球的表面积的比值分别为()A.32,1B.23,1C.32,32D.23,32解析:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.故V圆柱=R22R=2R3,V球=43R3,V圆柱V球=2R343R3=32.S圆柱=2R2R+2R2=6R2,S球=4R2,S圆柱S球=6R24R2=32.故选C.答案:C7.如图所示,等腰三角形ABC是ABC的直观图,那么ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形解析:由题图知ACy轴,ABx轴,由斜二测画法知,在ABC中,ACy轴,ABx轴,所以ACAB.又因为AC=AB,所以AC=2ABAB

5、,故选B.答案:B8.已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1,平面ABB1A1都垂直于平面ABCD,但这两个平面不平行,A错;直线A1D1和A1B1都平行于平面ABCD,但这两条直线不平行,B错;平面ADD1A1与平面ABCD不平行,但平面ADD1A1内的直线A1D1与平面ABCD平行,C错;D显然正确,故选D.答案:D9.已知A,B是球O的

6、球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256解析:本题主要考查空间几何体.设球O的半径为R,则SAOB=12R2,当OC平面AOB时,三棱锥O-ABC的体积最大,此时V=1312R2R=36,解得R=6,所以球O的表面积为S=4R2=144.答案:C10.算术书竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的又系统的数学典著,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V=136l2h,它实际上是

7、将圆锥体积公式中的圆周率近似取3,那么近似公式V25942l2h相当于将圆锥体积公式中的近似取()A.227B.258C.15750D.355113解析:V=13r2h=13l22h=112l2h,由11225942,得15750,故选C.答案:C11.已知平面平面,=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面和平面内,且ACAB,DBAB,AC=3,BD=12,则CD的长度为()A.13B.151C.123D.15解析:如图,连接AD.,AC,DB.在RtABD中,AD=AB2+BD2=42+122=160.在RtCAD中,CD=AC2+AD2=32+160=13.答案:A12.已知平面

8、过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1的上方接一个同等大小的正方体ABCD-A2B2C2D2,则过A与平面CB1D1平行的是平面AB2D2,即平面就是平面AB2D2,平面AB2D2平面ABB1A1=AB2,即直线n就是直线AB2,易知平面ABCD平面A2B2C2D2,由面面平行的性质定理知直线m平行于直线B2D2,故m,n所成的角就等于AB2与B2D2所成的角,在等边三角形AB2D2中,AB2D2=60,故其正弦值为32.故选A

9、.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.解析:设新的底面半径为r,则13524+228=13r24+r28,即283r2=1003+32,解得r=7.答案:714.若圆台的母线长扩大到原来的n倍,两底面半径都缩小为原来的1n,则它的侧面积为原来的倍.解析:设改变之前圆台的母线长为l,上底半径为r,下底半径为R,则侧面积为(r+R)l,改变后圆台的母线长为nl,上底半径为rn

10、,下底半径为Rn,则侧面积为r+Rnnl=(r+R)l,故它的侧面积为原来的1倍.答案:115.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=3,则异面直线AD与BC所成角的大小为.解析:如图,取AC的中点M,连接EM,FM,F为DC的中点,M为AC的中点,则FMAD,且FM=12AD=1,同理EMBC且EM=12BC=1.图图如图,在EMF中,作MNEF于点N.在RtMNE中,EM=1,EN=32,因此sinEMN=32,EMN=60,EMF=120,所以AD与BC所成角为60.答案:6016.,是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那

11、么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填序号)解析:对于,mn,m,n,则,的位置关系无法确定,故错误;对于,因为n,所以可过直线n作平面与平面相交于直线c,则nc,又因为m,所以mc,所以mn,故正确;对于,由两个平面平行的性质可知其正确;对于,由线面所成角的定义可知其正确.故正确的有.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图(单位:cm),求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.解:由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台

12、下底面、侧面和一半球面.S半球=8,S圆台侧=35,S圆台底=25.故所求几何体的表面积为68cm2,由V圆台=13(22+2252+52)4=52,V半球=432312=163,所以所求几何体的体积为V圆台-V半球=52-163=1403(cm3).18.(本小题满分12分)如图,在梯形ABCD中,ABCD,E,F是线段AB上的两点,且DEAB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4.现将ADE,CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合于点G,得到多面体CDEFG.(1)求证:平面DEG平面CFG;(2)求多面体CDEFG的体积.(1)证明:由已知可得AE=3,BF=4,则

13、折叠完后EG=3,GF=4,又因为EF=5,所以可得EGGF.因为CF底面EGF,所以可得CFEG,因为GFCF=F,所以EG平面CFG,又因为EG平面DEG,所以平面DEG平面CFG.(2)解:过点G作GO垂直于EF,GO即为四棱锥G-EFCD的高,所以所求体积为13S长方形DEFCGO=1345125=16.19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在AB

14、C中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1,因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,AA1平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,且A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A

15、1C1F.20.(本小题满分12分)如图所示,正方体的棱长为1,BCBC=O,求:(1)AO与AC所成角的度数;(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数.解:(1)ACAC,AO与AC所成的角就是OAC.在正方体AC中,AB平面BC,OCAB.又OCOB,且ABOB=B,OC平面ABO.OA平面ABO,OCOA.在RtAOC中,OC=22,AC=2,sinOAC=OCAC=12,OAC=30.即AO与AC所成角的度数为30.(2)如图所示,作OEBC于点E,连接AE.平面BC平面ABCD,OE平面ABCD,OAE为OA与平面ABCD所成的角.在RtOAE

16、中,OE=12,AE=12+(12)2=52,tanOAE=OEAE=55.(3)OCOA,OCOB,OAOB=O,OC平面AOB.又OC平面AOC,平面AOB平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90.21.(本小题满分12分)如图所示,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,D1D平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,BAD=60.(1)证明:AA1BD;(2)证明:CC1平面A1BD.证明:(1)AB=2AD,BAD=60,BDAD.又D1D平面ABCD,D1DDB.又ADD1D=D,BD平面A1ADD1,AA1BD.(2)如图,连接AC,A1C

17、1,AC交BD于点O,连接A1O.四棱台底面ABCD是平行四边形,OC=12AC,由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1OC且A1C1=OC,四边形A1OCC1为平行四边形.C1CA1O.又A1O平面A1BD,C1C平面A1BD,CC1平面A1BD.22.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解:(1)在梯形ABCD中,AB与C

18、D不平行.延长AB,DC,相交于点M(M平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:由题意知,BCED,且BC=ED,所以四边形BCDE是平行四边形,从而CMEB.又因为EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM平面PBE.(2)已知CDPA,CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.因为PD平面PAD,所以CDPD,又因为ADCD,所以PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以PDA=45.设BC=1,则在RtPAD中,PA=AD=2.由题意知,AE=ED=CD=1,在RtPAE中,PE=5,在RtCDE中,CE=2,在RtPAD中,PD=22,在RtPDC中,PC=3.设点A到平面PCE的距离为m,PA与平面PCE所成角为,所以VA-PEC=VP-AEC.已知PEC的三边,根据余弦定理,三角形面积计算公式得SPEC=32.SAEC=12AECD=12.代入得1332m=1312PA,已知PA=2,解得m=23,故sin=mPA=13.