2021-2022学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系测评作业（含解析）新人教A版必修2.docx

1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面内总有这样的直线,使得它与直尺所在的直线()A.平行B.垂直C.相交D.异面解析当直尺垂直于地面时,A错误;当直尺平行于地面时,C错误;当直尺位于地面上时,D错误.答案B2.平面与平面,都相交,则这3个平面的交线可能有()A.1条或2条B.2条或3条C.只有2条D.1条或2条或3条解析当平面过平面与的交线时,这3个平面有1条交线;当时,与和各有1条交线,共有2条交线;当=b,=a,=c时,这3个平面有3条交线

2、.答案D3.异面直线a,b分别在平面,内,若=l,则直线l必定()A.分别与a,b相交B.与a,b都不相交C.至少与a,b中一条相交D.至多与a,b中一条相交解析假设al,bl,则ab,这与a,b异面矛盾.又a与l共面,b与l共面,所以l至少与a,b中的一条相交.答案C4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1D1解析由BDAC,BDAA1,知BD平面ACC1A1.又CE平面ACC1A1,BDCE.故选B.答案B5.如图,PA矩形ABCD,下列结论中不正确的是()A.PDBDB.PDCDC.PBBCD.PAB

3、D解析PA矩形ABCD,PABD,D正确;若PDBD,则BD平面PAD.又BA平面PAD,则过平面外一点有两条直线与平面垂直,不成立,A不正确;PA矩形ABCD,PACD,ADCD,CD平面PAD,PDCD,B正确;同理可证PBBC,C正确.答案A6.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为()A.30B.60C.90D.120解析如图,由AB=BC=1,ABC=90知AC=2.M为AC的中点,MC=AM=22,且CMBM,AMBM,CMA为二面角C-BM-A的平面角.AC=1,MC=MA=22,CMA=

4、90,故选C.答案C7.已知三条相交于一点的线段PA,PB,PC两两垂直,且A,B,C在同一平面内,P在平面ABC外,PH平面ABC于H,则垂足H是ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心解析连接AH并延长交BC于D,如图所示.由于PH平面ABC,则BCPH,又PAPB,PAPC,则PA平面PBC,所以BCPA.因为PH平面PAD,PAPH=P,所以BC平面PAD.又AH平面PAD,所以AHBC.同理可证BHAC,CHAB,所以垂足H是ABC的垂心.答案D8.若m、n表示直线,表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为()mnmn;mnmn;mnmn;mmnn.A.1B.2C.3D.4解析正

5、确,中n与平面可能有:n或n或相交(包括n).答案C9.已知:平面平面,=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面和平面内,且ACAB,DBAB,AC=3,BD=12,则CD的长度为()A.13B.151C.123D.15解析如图,连接AD.平面平面,AC平面,DB平面.在RtABD中,AD=AB2+BD2=42+122=160=410.在RtCAD中,CD=AC2+AD2=32+160=13.答案A10.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为()A.ACBDB.AC=BDC.AC截面PQMND.异面直线PM与BD所成的角为45解析因为截面PQMN是正

6、方形,所以PQMN,QMPN,又因为PQ平面ACD,QM平面BDA,所以PQ平面ACD,QM平面BDA,所以PQAC,QMBD.由PQQM可得ACBD,A正确;由PQAC可得AC截面PQMN,C正确;PNPQ,ACBD,又BDPN,MPN是异面直线PM与BD所成的角,且为45,D正确;由上面可知:BDPN,PQAC.PNBD=ANAD,MNAC=DNAD,而ANDN,PN=MN,BDAC.B错误.故选B.答案B11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105解析在平面A1B1C1D1内

7、过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.C1EB1D1C1EBB1C1E平面BDD1B1,C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.BC1=22+12=5,C1E=2222=2,sinC1BE=C1EBC1=25=105.答案D12.如图,在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中点,点P在侧面SCD内及其边界上运动,并且总是保持PEAC.则动点P的轨迹与SCD组成的相关图形最有可能是图中的()解析如图,连接BD与AC相交于点O,连接SO,取SC的中点F,取CD的中点G,连接EF,EG,FG,因为E,F分别是BC,SC的中点,所以EFSB,EF

8、平面SBD,SB平面SBD,所以EF平面SBD,同理可证EG平面SBD,又EFEG=E,所以平面EFG平面SBD.由题意得SO平面ABCD,ACSO,因为ACBD,又SOBD=O,所以AC平面SBD,所以AC平面EFG,所以ACGF,所以点P在直线GF上.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.设平面平面,A,C,B,D,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面,之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=.解析如图所示,则直线AB,CD确定一个平面ACBD.,ACBD,ASSB=CSSD,86=12SD,解得SD=9.答案914.如图所示,在四棱

9、柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱垂直于底面,当四边形A1B1C1D1满足条件时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).解析由题意可知CC1平面A1B1C1D1,所以CC1B1D1,要使得B1D1A1C,只要B1D1平面A1CC1.所以只要B1D1A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.答案B1D1A1C1(或:A1B1C1D1是正方形,答案不唯一)15.已知在菱形ABCD中,AB=2,A=120,沿对角线BD将ABD折起使二面角A-BD-C为120,则点A到BCD所在平面的距离为.解析设ACBD=O,则翻折后AOBD,CO

10、BD,即AOC即为二面角的平面角,所以AOC=120,且AO=1,故d=1sin60=32.答案3216.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点,则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为.解析取AD的中点F,连接EF,BF,则EFPA,由侧棱PA底面ABCD,知EF底面ABCD,则EBF为BE与平面ABCD所成角.答案21313三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2018全国2,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=P

11、C=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.解(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,ACB=45.所以OM=253,CH=OCMCsinACBOM=

12、455.所以点C到平面POM的距离为455.18.(本小题满分12分)如图所示,已知三棱锥P-ABC,ACB=90,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且PDB是正三角形,PAPC.(1)求证:平面PAC平面ABC;(2)求二面角D-AP-C的正弦值.(1)证明D是AB的中点,PDB是正三角形,AB=20,PD=12AB=10,APPB.又APPC,PBPC=P,AP平面PBC.又BC平面PBC,APBC.又ACBC,APAC=A,BC平面PAC.又BC平面ABC,平面PAC平面ABC.(2)解PAPC,且PAPB,BPC是二面角D-AP-C的平面角.由(1)知BC平面PAC,则BCPC,s

13、inBPC=BCPB=25.19.(本小题满分12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.解(1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形,所以O为AC中点.连

14、接OP,因为P为AM中点,所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.20.(本小题满分12分)(2018全国1,文18)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.解(1)由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=

15、22.作QEAC,垂足为E,则QE􀱀13DC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-APB的体积为VQ-ABP=13QESABP=13112322sin45=1.21.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,侧棱AA1底面ABC,且AA1=2,E是BC的中点.(1)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值;(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值.解(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,取C1B1的中点H,连A1H与HC.E是BC的中点,A1HAE,CA1H是异面直线AE

16、与A1C所成角.底面ABC是等腰直角三角形,E是BC的中点,AEBC,A1HBC.侧棱AA底面ABC,侧棱B1BA1H,A1H平面BCC1B1,A1HHC.在RtA1HC中,cosCA1H=A1HA1C=225=1010.(2)由(1)知A1H平面BCC1B1,A1C在平面BCC1B1上的射影是HC,A1CH是直线A1C与平面BCC1B1所成的角,在RtA1HC中,tanA1CH=A1HHC=22322=13.22.(本小题满分12分)(2018北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证

17、:PEBC;(2)求证:平面PAB平面PCD;(3)求证:EF平面PCD.证明(1)PA=PD,且E为AD的中点,PEAD.底面ABCD为矩形,BCAD,PEBC.(2)底面ABCD为矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PAAB=A,PD平面PAB.PD平面PCD,平面PAB平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.F,G分别为PB和PC的中点,FGBC,且FG=12BC.四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,EDBC,ED=12BC,EDFG,且ED=FG,四边形EFGD为平行四边形,EFGD.又EF平面PCD,GD平面PCD,EF平面PCD.