2021-2022学年高中数学人教A版选修2-3测评：2-4　正态分布 WORD版含解析.docx

1、2.4正态分布课后篇巩固探究基础巩固1.关于正态分布N(,2),下列说法正确的是()A.随机变量落在区间长度为3的区间之外是一个小概率事件B.随机变量落在区间长度为6的区间之外是一个小概率事件C.随机变量落在(-3,3)之外是一个小概率事件D.随机变量落在(-3,+3)之外是一个小概率事件解析P(-3X+3或X-3)=1-P(-3X4)=()A.15B.14C.13D.12解析由正态分布图象,可知=4是该图象的对称轴,P(4)=12.答案D3.已知XN(0,1),则X在区间(-,-2)内取值的概率为()A.0.954 5B.0.045 5C.0.977 3D.0.022 75解析由题知对应的正

2、态曲线的对称轴为x=0,所以P(X-2)=0.5-12P(-2X2)0.5-120.9545=0.02275.答案D4.一批电阻的电阻值X(单位:)服从正态分布N(1 000,52),现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻,测得电阻值分别为1 011 和982 ,可以认为()A.甲、乙两箱电阻均可出厂B.甲、乙两箱电阻均不可出厂C.甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂D.甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂解析XN(1000,52),=1000,=5,-3=1000-35=985,+3=1000+35=1015.1011(985,1015),982(985,1015),甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不

3、可出厂.答案C5.若随机变量XN(1,22),则D12X等于()A.4B.2C.12D.1解析因为XN(1,22),所以D(X)=4,所以D12X=14D(X)=1.答案D6.若随机变量XN(1,22),则Y=3X-1服从的总体分布可记为.解析XN(1,22),=1,=2.又Y=3X-1,E(Y)=3E(X)-1=3-1=2,D(Y)=9D(X)=62.YN(2,62).答案YN(2,62)7.已知当XN(,2)时,P(-X+)=0.682 7,P(-2X+2)=0.954 5,P(-3X+3)=0.997 3,则3412e-(x-1)22dx=.解析由题意,=1,=1,P(3X4)=12P(

4、-2X4)-P(-1110)=1-2P(90100)2=0.2,该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.250=10.答案109.已知某地农民工年均收入X服从正态分布,其密度函数图象如图所示.(1)写出此地农民工年均收入的密度函数的表达式;(2)求此地农民工年均收入在8 0008 500元之间的人数所占的百分比.解设此地农民工年均收入XN(,2),结合题图可知,=8000,=500.(1)此地农民工年均收入的密度函数表达式为,(x)=12e-(x-)222=15002e-(x-8000)225002,x(-,+).(2)P(7500X8500)=P(8000-500X8000+500)0.6

5、827.P(8000X8500)=12P(7500X8500)=0.34135=34.135%.故此地农民工年均收入在80008500元之间的人数所占的百分比为34.135%.10.设XN(4,1),证明P(2X6)=2P(2X4).证明因为=4,所以正态曲线关于直线x=4对称,所以P(2x4)=P(4X6).又因为P(2X6)=P(2X4)+P(4X6),所以P(2X6)=2P(2p2B.p11)=p,则P(-10)=()A.12+pB.1-pC.1-2pD.12-p解析P(-10)=12P(-11)=12-P(1)=12-p.答案D3.设随机变量XN(,2),且X落在区间(-3,-1)内的

6、概率和落在区间(1,3)内的概率相等,若P(X2)=p,则P(0X2)等于()A.12+pB.1-pC.1-2pD.12-p解析由X落在(-3,-1)内的概率和落在(1,3)内的概率相等得=0.又P(X2)=p,P(-2x2)=1-2p,P(0X2)=1-2p2=12-p.答案D4.已知XN(4,2),且P(2X6)0.682 7,则=,P(|X-2|4)=.解析XN(4,2),=4.P(2X6)0.6827,+=6,-=2,=2.P(|X-2|4)=P(-2X6)=P(-2X2)+P(2X6)=12P(-2X10)-P(2X6)+P(2X6)=12P(-2X10)+12P(2X5)=1+P(

7、55)=1+P(7-2X7+2)21+0.95452.显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.6.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的

8、产品件数.利用的结果,求E(X).附:15012.2.若ZN(,2),则P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)0.6827.由知,一件产

9、品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6827,依题意知XB(100,0.6827),所以E(X)=1000.6827=68.27.7.(选做题)已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在80,+)上是减函数,且f(80)=182.(1)求概率密度函数;(2)估计尺寸在72 88 mm间的零件大约占总数的百分之几?解(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在80,+)上是减函数,所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处取得最大值,因此得=80,12=182,所以=8.故概率密度函数解析式是,(x)=182e-(x-80)2128.(2)由=80,=8,得-=80-8=72,+=80+8=88,零件尺寸X位于区间(72,88)内的概率是0.6826,因此尺寸在7288mm间的零件大约占总数的68.26%.