2021-2022学年高中数学人教B版选择性第一册课后练习：2-3-2　圆的一般方程 WORD版含解析.docx

1、第二章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.2圆的一般方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-,0)(0,+)C.(0,+)D.(1,+)答案B解析当a0时,方程为x-2a-2a2+y+2a2=4(a2-2a+2)a2,由于a2-2a+2=(a-1)2+10恒成立,a0时方程表示圆.当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.综上可知,实数a的取值范围是(-,0)(0,+).2.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.2答案D解析因为圆心坐标为(1,-2),所

2、以圆心到直线x-y=1的距离为d=|1+2-1|2=2.3.方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示()A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)答案D解析原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=0,x+a=0,y+b=0,即x=-a,y=-b.方程表示点(-a,-b).4.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r0)的圆,则该圆的圆心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为x+a22+(y-a)2=-3

3、4a2-3a,故圆心坐标为-a2,a,r2=-34a2-3a.又r20,即-34a2-3a0,解得-4a0,故该圆的圆心在第四象限.5.已知圆C:x2+y2+4x=0的圆心和圆上两点A,B间的连线构成等边三角形,则AB中点M的轨迹方程是()A.(x+2)2+(y+1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=3C.(x+1)2+y2=2D.(x+2)2+y2=3答案D解析圆C:x2+y2+4x=0(x+2)2+y2=4,所以圆心C(-2,0),半径r=2,因为ABC为等边三角形,且AC=BC=2,所以AB=2,MC=3,所以点M的轨迹是以(-2,0)为圆心,半径为3的圆.所以AB中点M的轨迹方程是

4、(x+2)2+y2=3.6.已知圆C过定点(7,2),且和圆C:x2+(y-3)2=2相切于点(1,2),则圆C的一般方程是.答案x2+y2-8x+2y-1=0解析设定点(7,2)为点A,切点(1,2)为点B,圆C的圆心C坐标为(0,3),则直线BC的方程为x+y-3=0,设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则C点坐标为-D2,-E2,则-D2-E2-3=0,72+22+7D+2E+F=0,12+22+D+2E+F=0,解得D=-8,E=2,F=-1.所以圆C的一般方程是x2+y2-8x+2y-1=0.7.已知直线与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a0),则圆的方程为(x-a)

5、2+(y-2a+3)2=r2.把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2,(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2,由可得a=2,r2=10.故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,即x2+y2-4x-2y=5.10.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.解圆心C的坐标为-D2,-E2,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2.又r=D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.由可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圆心在

6、第二象限,所以-D20,所以D=2,E=-4,所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.关键能力提升练11.若a-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析根据题意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆,则有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,解得-2a23,又由a-2,0,1,23,则a=0.所以方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为1.12.(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是()A.圆M的圆心为(4,-3)B

7、.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为6答案ABD解析圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则(x-4)2+(y+3)2=25.圆的圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确,A,B,D均正确.13.已知直线l:ax+by-3=0经过点(a,b-2),则原点到点P(a,b)的距离可以是()A.4B.2C.22D.12答案B解析把点(a,b-2)代入直线方程得a2+b(b-2)-3=0,即a2+(b-1)2=4,即点P(a,b)在圆x2+(y-1)2=4上,02+(0-1)24,原点在圆x2+(y-1)2=4内,如图所示,圆x2+(y-1)2=4的

8、圆心为C(0,1),半径为r=2,原点到点P的距离为|OP|,由三角不等式可得|PC|-|OC|OP|PC|+|OC|,即1|OP|3,B选项合乎要求.14.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=1答案C解析设P(x1,y1),PQ的中点M的坐标为(x,y),Q(3,0),x=x1+32,y=y1+02,x1=2x-3,y1=2y.又点P在圆x2+y2=1上,(2x-3)2+(2y)2=1,故选C.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=

9、0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.答案(-,8)解析由题意知,直线y=x+b过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5,所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a13,由此得a-b0,圆M为ABC的外接圆.(1)求圆M的方程;(2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆M过点A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),所以a2+aE+F=0,3a+3aD+F=0,3a-3aD+F=0,解得D=0,E=3-a,F=-3a,所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-

10、3a=0.(2)圆M过定点(0,-3).理由如下,圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+y=0,x2+y2+3y=0,解得x=0,y=-3.所以圆M过定点(0,-3).18.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中mR.(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OMON(O为坐标原点),求m的值.解(1)m=1,配方得(x-1)2+(y-2)2=4,圆心到直线的距离为|1+2-1|2=2,所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为24-2=22.(2)设M(x1,y1),N(x2,y

11、2),直线代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,所以x1+x2=85,x1x2=4(m-4)5.因为OMON,所以x1x2+y1y2=0,所以544(m-4)5-85+4=0,所以m=85,此时0.学科素养拔高练19.已知圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0,有以下命题:E=-4,F=4是曲线C表示圆的充分非必要条件;若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2-2,1),则0F1;若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2-2,1),O为坐标原点,则|OA-OB|的最大值为2;若E=2F,则曲线C表示圆,且该圆面积的最大值为3

12、2.其中所有正确命题的序号是.答案解析圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0中,应有4+E2-4F0,当E=-4,F=4时,满足4+E2-4F0,曲线C表示圆,但曲线C表示圆时,E不一定等于-4,F不一定等于4,故正确;若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2-2,1),则x1,x2是x2+2x+F=0的两根,=4-4F0,解得F1,故不正确;由知,|OA-OB|=|BA|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=4-4F,故当F=0,即x1=2,x2=0,或x1=0,x2=2时,|OA-OB|取最大值2,故正确;由于E=2F,则圆的半径的平方为14(4+E

13、2-4F)=14(4+4F2-4F)=F-122+34,则圆面积有最小值,无最大值,故不对.20.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质:线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆;锐角ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)为曲线W上不同的四点.(1)求实数t的值及ABC的最小覆盖圆的方程;(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程;(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.解(1)由题意,t=-2.由于ABC为锐角三角形,外接圆就是ABC的最小覆盖圆.设ABC

14、外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则4-2E+F=0,16+4D+F=0,4+2E+F=0,解得D=-3,E=0,F=-4,ABC的最小覆盖圆的方程为x2+y2-3x-4=0.(2)DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆,DB的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.又|OA|=|OC|=24,点A,C都在圆内.四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.(3)由题意,曲线W为中心对称图形.设曲线W上一点P的坐标为(x0,y0),则x02+y04=16.|OP|2=x02+y02,且-2y02.故|OP|2=x02+y02=16-y04+y02=-y02-122+654,当y02=12时,|OP|max=652,曲线W的最小覆盖圆的方程为x2+y2=654.