专题10二次函数交点综合应用（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）（解析版）.docx

1、专题10 二次函数交点综合应用（知识解读）【专题说明】 二次函数交点问题主要会涉及到与水平直线、竖直直线、一次函数的交点问题，会考察交点坐标的求法、交点个数的分类讨论，对于计算的要求非常高，特别考验学生平时的基本功比较难的题型还会结合二次函数的几何变化，题目中会将二次函数的图象的一部分沿x轴或者y轴进行对称，得到新的函数图象，再去研究直线与新图像的交点个数。因为会涉及到一次函数与二次函数的交点问题，所以对于学生不仅要对二次函数的知识点掌握的比较好，而且也要对于一次函数能够熟练应用。经常会涉及到一次函数旋转、平移两种形式的交点问题，这部分知识点对于不少学生也有很大压力。【典例分析】【典例1】（2

2、021秋西城区校级期中）已知二次函数yx22mx+m2+m+1，顶点为D，点A（2，1），B（0，1）（1）求顶点D的坐标（用m表示）；（2）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围；（3）若二次函数图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围【解答】解：（1）yx22mx+m2+m+1（xm）2+m+1，抛物线顶点D坐标为（m，m+1）（2）抛物线开口向上，顶点坐标为（m，m+1），当m+10时，抛物线与x轴有交点，解得m1（3）抛物线顶点坐标为（m，m+1），抛物线顶点所在图象为直线yx+1，当m2时，抛物线对称轴在点A左侧，把A（2，1）代入yx22mx+m2+m+1得14+4m+m

3、2+m+1，解得m4或m1（舍），如图，m增大时，抛物线与线段有交点，当m0时，抛物线对称轴在点B左侧，把B（0，1）代入yx22mx+m2+m+1得012m+m2+m+1，解得m1或m2（舍）此时抛物线同时经过点A，B，如图，4m1满足题意m增大，抛物线沿直线yx+1移动，当抛物线经过点B时m0，1m0满足题意综上所述，4m1或1m0【变式1-1】（2021广州）已知抛物线yx2（m+1）x+2m+3（1）当m0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（1，1）、F（3，7），若该抛物线与线段E

4、F只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围【解答】解：（1）当m0时，抛物线为yx2x+3，将x2代入得y42+35，点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线yx2（m+1）x+2m+3的顶点为（，），化简得（，），顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，而（m3）2+5，m3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，此时该抛物线解析式为yx24x+9，顶点坐标为：（2，5）；（3）设直线EF解析式为ykx+b，将E（1，1）、F（3，7）代入得：，解得，直线EF的解析式为y2x+1，由得：或，直线y2x+1与抛物线yx2（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，

5、5）在线段EF上，若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，m+11或m+13或m+12（此时2m+35），此时抛物线顶点横坐标x顶点或x顶点或x顶点1【变式1-2】（2022西华县三模）已知抛物线ymx2+nx+5m交y轴于点M，其对称轴在y轴右侧，N是抛物线上一点，且MNx轴，MN6（1）抛物线ymx2+nx+5m的对称轴是直线 ；（2）用含m的代数式表示n；（3）已知点P（2，0）和Q（6，8m2），当抛物线ymx2+nx+5m与线段PQ有一个交点时，求m的取值范围【解答】解：（1）MN6，点M，N关于对称轴对称，抛物

6、线对称轴为直线x3，故答案为：x3（2）抛物线对称轴为直线x3，m（3）m，n6m，ymx26mx+5mm（x1）（x5），抛物线经过（1，0），（5，0），如图，m0时，抛物线开口向上，当点Q在抛物线上或外部时符合题意，将x6代入ymx26mx+5m得y5m，5m8m2，解得m，0m符合题意当m0，抛物线开口向下，5m8m2，点Q在抛物线内部，不符合题意，综上所述，0m【变式1-3】（2022秋南关区校级月考）设二次函数yx22（m+1）x+3m，其中m是实数（1）若函数的图象经过点（1，1），求此函数的表达式；当0xt时，2y2，直接写出t的取值范围（2）若2x2，二次函数yx22（m+1

7、）x+3m的最小值为1，求m的值（3）已知A（1，3），B（2，3），若该二次函数的图象与线段AB只有一个交点（不包括A，B两个端点），直接写出m的取值范围【解答】解：（1）将点（1，1）代入yx22（m+1）x+3m，112（m+1）+3m，解得m1，yx24x+2；yx24x+2（x2）22，当x2时，函数有最小值2，当y2时，x0或x4，2t4；（2）yx22（m+1）x+3m（xm1）2m23m+2，当xm+1时，函数有最小值m23m+2，当m+12时，即m3，此时x2，函数有最小值，4+4（m+1）+3m1，解得m；当2m+12时，即3m1，此时m23m+21，解得m，3m1，m；当

8、m+12时，即m1，此时x2，函数有最小值，44（m+1）+3m1，解得m（舍）；综上所述：m的值为或；（3）二次函数的图象与线段AB只有一个交点，或，解得m0或m3【典例2】（2022广西）已知抛物线yx2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）（1）求点A，点B的坐标；（2）如图，过点A的直线l：yx1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接PA，PC，设点P的纵坐标为m，当PAPC时，求m的值；（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线ya（x2+2x+3）（a0）与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围【解答

9、】解：（1）当y0时，x2+2x+30，x11，x23，A （1，0），B（3，0）；（2）抛物线对称轴为：x1，设P（1，m），由x2+2x+3x1得，x31（舍去），x44，当x4时，y415，C（4，5），由PA2PC2得，22+m2（41）2+（m+5）2，m3；（3）可得M（0，5），N（4，5），当a0时，ya（x1）2+4a，抛物线的顶点为：（1，4a），当4a5时，只有一个公共点，a，当x0时，y5，3a5，a，a或a，当a0时，（16+8+3）a5，a1，综上所述：a或a或a1【变式2-1】（2022河南模拟）如图，已知抛物线yx2+bx+c分别交x轴、y轴于点A（1，0），

10、C（0，3），连接AC（1）求该抛物线的解析式（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上两点，当x12，mx2m+1时，均有y1y2，求m的取值范围（3）将该抛物线向左平移n（n0）个单位长度后，得到的新抛物线与线段AC只有一个交点，请直接写出n的取值范围【解答】解：（1）将A（1，0），C（0，3）代入yx2+bx+c得，解得，yx22x3（2）yx22x3（x1）24，抛物线开口向上，对称轴为直线x1，将x2代入yx22x3得y5，抛物线经过（2，5），点（2，5）关于对称轴的对称点为（4，5），2mm+14，解得2m3（3）抛物线经过A（1，0），C（0，3），抛物线对称轴为直

11、线x1，抛物线经过（3，0），（2，3），3（1）4，抛物线向左平移4个单位经过点A，202，抛物线向左平移2个单位经过点C，当2n4时，满足题意【变式2-2】（2022开封一模）已知抛物线yx2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，3），B（，）（1）求抛物线的解析式（2）用配方法求出抛物线的顶点和对称轴（3）若点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象M，若图象M向下平移t（t0）个单位长度时与直线BC只有一个交点，求t的取值范围【解答】解：（1）将A（0，3），B（，）代入yx2+bx+c得，解得，yx22x+3

12、（2）yx22x+3（x1）2+2，抛物线顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x1（3）点C与点A（0，3）关于直线x1对称，点C坐标为（2，3），设直线BC解析式为ykx+m，将（2，3），（，）代入ykx+m得，解得，yx+2，将x0代入yx+2得y2，将x4代入yx+2得y4，直线经过（0，2），（4，4），将x4代入yx22x+3得y168+311，当1t7时，图象M与BC只有1个交点，抛物线向下平移t个单位后，yx22x+3t，令x22x+3tx+2，整理得x2x+1+t0，（）24（1t），当0时，图象M与直线相切，满足题意，（）24（1t）0，解得t，不满足题意，1t7【变式2-3

13、】（2022商水县二模）直线yx3与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线yx2+bx+c经过点A、点B（1）求该抛物线的解析式（2）根据图象直接写出x2+bxxc3的解集；（3）将点B向右平移4个单位长度得到C，若抛物线yx2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围【解答】解：（1）令x0，则y3，B（0，3），令y0，则x3，A（3，0），将A、B点代入yx2+bx+c，解得，yx22x3；（2）x22xx+33，x22x3x3，yx3与yx22x+3的交点为A（3，0），B（0，3），当x0或x3时，x22x3x3；（3）将点B向右平移4个单位长度，C（4，3），抛物线yx22x3+m与线段BC恰好有一个交点，当x4时，y3，即1683+m3，解得m8，当x0时，y3，即3+m3，解得m0，8m0；当x22x3+m+30时，44m0，即m1，此时抛物线与线段BC有一个交点；