2021届高中数学统考第二轮专题复习 第7讲 三角恒等变换与正、余弦定理限时集训（理含解析）.docx

1、第7讲 三角恒等变换与正、余弦定理基础过关1.已知sin3+=13,则cos3-2=()A.79B.89C.-79D.-892.已知sin-cos=15,0B,则sinAsinBB.在锐角三角形ABC中,不等式sinAcosB恒成立C.在ABC中,若B=60,b2=ac,则ABC必是等边三角形D.在ABC中,若acosA=bcosB,则ABC必是等腰三角形10.如图X7-1,一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,则B,C两点间的距离是()图X7-1A

2、.62海里B.63海里C.82海里D.83海里11.已知tan=2,则sin2+2=.12.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(4a-c)cosB=bcosC,则cosB=.能力提升13.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,b2+c2-bc=1,则ABC面积的取值范围是()A.36,34B.36,34C.312,34D.312,3414.平面四边形ABCD为凸四边形,且DAB=60,ADDC,AB=3,BD=2,则BC的取值范围为()A.72,2B.72,2C.(2,7)D.72,715.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

3、B=3,ABBC=-2,且满足sinA+sinC=2sinB,则该三角形的外接圆的半径R为()A.433B.233C.3D.216.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=60,ABC的平分线交AC于点D,且BD=3,则a+2c的最小值为.限时集训(七)1.C解析因为sin3+=13,所以cos3-2=-cos-(3-2)=-cos23+=2sin23+-1=2132-1=-79.2.A解析sin-cos=15,00,为锐角.sin+cos=(sin+cos)2=1+2sincos=1+2425=75,cos2=cos2-sin2=-(sin-cos)(sin+cos)=-

4、1575=-725.故选A.3.B解析由正弦定理得bsinB=csinC,3sin3=3sinC,sinC=12.bc,BC,又C(0,),C=6.故选B.4.D解析cos2A+cos2B=1+cos2C,1-2sin2A+1-2sin2B=1+1-2sin2C,可得sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理得a2+b2=c2,C=2.又sinC=2sinAsinB,2sinAsinB=2sinBcosB=2sinAcosA=1,sin2A=sin2B=1,又A,B为锐角,A=B=4.故选D.5.B解析因为2sin2=1-cos2,所以4sincos=1-(1-2sin2),即4sinco

5、s=2sin2,因为,32,所以sin0,22,34,所以2cos=sin,即tan=2,又tan=2tan21-tan22,所以2tan21-tan22=2,即tan22+tan2-1=0,解得tan2=-1-52或tan2=-1+52.因为22,34,所以tan2=-1-52.故选B.6.C解析bsinA=(3b-c)sinB,由正弦定理得ab=(3b-c)b,a=3b-c,即a+c=3b.a+c2ac,3b2ac,当且仅当a=c=32b时,等号成立,b2ac43,故b2ac的最小值为43.故选C.7.D解析cosB+3sinB=2sinB+6=2,sinB+6=1,0B,6B+6B,所以

6、ab,由正弦定理可知sinAsinB,故A中说法正确;因为ABC是锐角三角形,所以0C2,由三角形内角和定理可知,0-A-B2A2-B,因为ABC是锐角三角形,所以A,B为锐角,因此可得sinAsin2-B=cosB,故B中说法正确;由余弦定理可知b2=a2+c2-2accosB,又因为B=60,b2=ac,所以ac=a2+c2-aca2+c2-2ac=0(a-c)2=0a=c,因此ABC是等腰三角形,而B=60,所以ABC是等边三角形,故C中说法正确;由正弦定理可知asinA=bsinB,又acosA=bcosB,所以sinAcosA=sinBcosB12sin2A=12sin2Bsin2A

7、=sin2B,因为A,B(0,),所以2A,2B(0,2),所以2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B=2,所以ABC是等腰三角形或直角三角形,故D中说法不正确.10.A解析由题意可知BAC=70-40=30,ACB=180-70-65=45,AB=240.5=12(海里).在ABC中,由正弦定理得ABsinACB=BCsinBAC,即1222=BC12,BC=62海里.故选A.11.-13解析因为tan=2,所以sin2+2=cos2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-21+2=-13.12.14解析由(4a-c)cosB=bcosC

8、及正弦定理可得sinBcosC=(4sinA-sinC)cosB,化简可得sinBcosC+sinCcosB=4sinAcosB,即sin(B+C)=sinA=4sinAcosB,因为0A,所以sinA0,所以cosB=14.13.A解析因为a=1,b2+c2-bc=1,所以cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-12bc=12,又A(0,),所以A=3.由正弦定理得bc=43sinBsinC=43sinBsin23-B=43sinB32cosB+12sinB=23sin2B-6+13,因为ABC为锐角三角形,所以023-B2,0B2,即6B2,所以62B-656,所以12sin2B-61,即231,a+2c=cc-1+2c=1c-1+2(c-1)+3.c-10,1c-1+2(c-1)+321c-12(c-1)+3=22+3,当且仅当1c-1=2(c-1),即c=1+22时等号成立,a+2c的最小值为3+22.