2023年第二十届中国东南地区数学奥林匹克高二年级组第二天试题答案.pdf

1、第二十届中国东南地区数学奥林匹克 浙江温州 高二年级 第二天 1.如图，在中，内切圆与边,分别切于点,，直线,相交于点，于点G，射线G与的外接圆相交于点，证明：,G,D,K四点共圆.证明一：易知,A F IE 四点共圆，记该圆为圆.设圆 与ABC的外接圆的另一个交点为 M，,IMEF 相交于点 N，连接,MB MC ME MF，则易知，MBFMCE=，180FMBAFM=180AEM=MEC=，所以MFBMEC，因此 MFFBMEEC=.又易知 MN 平分FME，所以 FNMFFBNEMEEC=.（1）另一方面，由梅涅劳斯定理知，1AF BK CEFB KC EA=，又 AFEA=，FBDB=

2、，CEDC=，所以 KBDBKCDC=，即,B D C K 为调和点列.由 DGKG及调和点列性质知GD 平分BGC，所以BGFCGE=，又BFGCEG=，因此FBGECG，从而 FGFBEGEC=.（2）由（1）、（2）知 FNFGNEGE=，又点,N G 都在线段 FE 内，所以点 N 与点G 重合，从而点 M 与点 H 重合.连接,ID IE HD，则IEGIEFIHFIHE=，#QQABZQIEogggAAJAABhCUQUSCEIQkBCCCIgGxEAEsAAAiBFABAA=#所以IEGIHE，从而 22IDIEIH IG=，因此IDHIGD，GHDIHDIDG=，（3）又,ID

3、BKBGGK，所以IDGGKD=，（4）由（3）、（4）知GHDGKD=，所以,H G D K 四点共圆.证明二：易知,A F IE 四点共圆，记该圆为圆.设圆 与ABC的外接圆的 另一个交点为 M，,IMEF 相交 于点 N，连接,MB MC ME MF，则易知，MBFMCE=，180FMBAFM=180AEM=MEC=，所以MFBMEC，因此 MFFBMEEC=.又易知 MN 平分FME，所以 FNMFFBNEMEEC=.（1）连接,DE DF，作 BRDF，垂足为 R，则12FRDF=.由BFRDEG=知，RtBFRRtDGE，所以 BFFRDEGE=，1.2BF GEFR DEDF D

4、E=类似地，1.2CE GFDF DE=从而 BF GECE GF=，即 BFGFCEGE=.（2）由（1）、（2）知 FNFGNEGE=，又点,N G 都在线段 FE 内，所以点 N 与点G 重合，从而点 M 与点 H 重合.连接,ID IE HD，则IEGIEFIHFIHE=，所以IEGIHE，从而 22IDIEIH IG=，因此IDHIGD，GHDIHDIDG=，（3）#QQABZQIEogggAAJAABhCUQUSCEIQkBCCCIgGxEAEsAAAiBFABAA=#又,IDBKBGGK，所以IDGGKD=，（4）由（3）、（4）知GHDGKD=，所以,H G D K 四点共圆.

5、2.记为 全体 实系 数多项 式,定义 映射：如 下：对()=+11+1+0,令()=+1+1+(+2)1+(1+3)2+(2+0)+1.令0()=1,()=(1()(n=1,2,.)，求()的常数项。解.若=2,则常数项为1+1(2);若为奇数，则常数项为 0.下面证明该结论。定义映射:为()=,映射:为()=(0).则()=(+)(),.个(1)=(+)(1)=1 2.(1),其中 ,.对每个序列12.定义新的序列为 =1,若+1=1,若+1=则 1 2.(1)的常数项=1,若对=1,2,.,1,=1 0 且 =1=00,其它情况 从而 .个(1)的常数项等于满足 1,1,对=1,2,.,

6、1,=1 0 且=1=0的序列的个数。根据卡特兰数的组合描述，这样的数列的个数为 1+1(2),若=20,其它情况 通过以上对应我们可以得到 .个(1)=2+2+20,(2)(+2).我们也可以在猜测出上式以后归纳证明。#QQABZQIEogggAAJAABhCUQUSCEIQkBCCCIgGxEAEsAAAiBFABAA=#3.设()为次整系数多项式(2)。若存在无穷多个正整数，使得()至多有 1个不同的素因子，证明()至多有 1个不同的有理根。证明：反证法。假设()0p x=的 n 个不同的有理数根(1,2,)iib ina=，其中ia 为正整数，ib 为与ia 互质的整数，则1()()n

7、iiip xAa xb=，其中 A 为非零整数。易知，对任意的,(1)i jijn，有0ijjia ba b。根据题意，可取正整数m，使得()P m 仅含有(11)ttn 不同的素因子12,tP PP，且对任意1,2,in=，均有,tiia mbk其中1maxijjiij nka ba b =。对每个1,2,in=，可设,1,2,12iii tiita mbppp=，其中,1,2,iii t为非负整数。将,1,2,12,iii ttppp 的最大者记为ix，则有(1,2,)tiiixa mbk in=（1）因为12,nx xx 仅可能含下列某个素因子12,tP PP 的方幂，而tn，故由抽屉原

8、理知，存在1212,(1)jjjjn，使得1jx和2jx均为同一个数(1)lplt 的方幂，不妨设12,j lj l，则12jjxx。故由111222,jjjjjjxa mbxa mb，可知()()1211122jjjjjjkjxaa mbaa mb，即()11221jjjjjxa ba b，注意到12210jjjja ba b，可知11221jjjjjxa ba bk。与（1）矛盾。所以()p x 至多有1n 个不同的有理根。#QQABZQIEogggAAJAABhCUQUSCEIQkBCCCIgGxEAEsAAAiBFABAA=#4.给 定正 整数，和 玩 如下 游戏：有2023枚 硬币

9、首尾相 连排 成一 圈，标 号为1,2,2023(标号按模2023理解).每枚硬币有正反两面，一开始所有硬币都是正面朝上，的目标是让尽可能多的硬币反面朝上.在每一轮操作中，选择标号为和+3的两枚正面朝上的硬币（若无法选取则游戏结束）；然后选择标号为+1或+2的一枚硬币，并将这枚硬币翻面.若某一个时刻有枚硬币反面朝上，则获胜.求最大的使得有必胜策略。答案：n=675除了全正的状态以外，对于 2023 个硬币一种状态，设有 k 个硬币为反，它们把正硬币分为了 k 段，每段1,个，那么非负整数列(1,)完全决定的硬币的状态，所以我们可以用数列(1,)来指代当前的局面。对两个数列(1,)和(1,)，若

10、存在 t，=+对任意 1ik 成立（下标模 k 处理），则称这两个数列是循环等价的。等价的数列对应相同的局面。对于数列(1,)，构造一个简化数列如下：首先将数列(1,)中 2 3的那些项都去掉，再将 1 3的项都换成 1，0 3的项都换成 3，得到一个简化数列(1,)我们称一个局面为好的，若它满足：没有两个反硬币相邻，且满足下面三者之一（a）全正状态（b）对应的简化数列循环等价于（0,0,1,0,1,0,1）（01 间隔，再加一个 0）（c）对应的简化数列循环等价于（1,1,0,1,0,1,0,1）（01 间隔，再加连续的两个 1）对于局面(1,)，在一轮操作中：若 B 将反硬币变正，则局面会

11、变为(1,1,+1+1,+2,)，或者变回全正状态。若 B 将正硬币变反，则局面会变为(1,1,1,+1,)，B 可以在某两个连续的正整数中选择一个作为 k。首先，我们考虑 B 的策略。在每一轮中，B 有两个硬币可以选择翻面，若其中有反硬币，则将其翻正，否则，B 必须将数列中拆成两项(,1)，对模 3 讨论：(1)若 0 3,拆分后模 3 有三种情况：(0,2),(2,0),(1,1)(2)若 1 3,拆分后模 3 有三种情况：(1,2),(2,1),(0,0)(3)若 2 3,拆分后模 3 有三种情况：(0,1),(2,2),(1,0),总之，模 3 意义下，拆成两项有三种可能，B 需要在其

12、中两种中选择一种。下证 B 有策略能保持始终是好局面，并且在好局面下反硬币始终少于 676。先证若局面是好局面，那么一轮后 B 能使得局面仍然是好局面，从而 B 可以一直保持局面是好局面。（具体讨论：若某一轮把,+1,合并成一项，容易验证；若某一轮把拆成两项，对于全正状态，一轮后简化数列为（0），对于情况(1)(2)B 可以避免最后一种情况，从而不改变简#QQABZQIEogggAAJAABhCUQUSCEIQkBCCCIgGxEAEsAAAiBFABAA=#化数列，对于(3)简单讨论可知 B 可插入连续的 01 或者 10，使得仍是好局面）于是只要证明在好局面下，反硬币个数676 即可。设一

13、个好状态对应的数列为(1,)，设(1,)中，模 3 余 i 的共有项，那么1 0+22023 =1+1+22+30 2(1+2+0)2=2 2，故2025 3，k675.于是 A 要得到 675 个反硬币，需要设法得到好局面中（3）的情形。n=675 时，我们构造 A 的必胜策略：引理1：对于连续的的x枚正硬币，A总可以将其中(x-1)/3枚硬币变反而不改变其他（2023-x）枚硬币。证明：归纳即可，x=1,2,3 已经成立，假设对于 xk 成立，对 k 枚硬币，首先对最左侧 4 枚硬币操作，再对右侧 x-3 枚硬币用归纳假设即可。第一轮操作过后，不妨设 0 号硬币变反，然后第二轮 A 选择标

14、号为 3，6 的两枚正硬币。那么局面会变为(4，2017)或者(3，2018)。对(4，2017)，由引理 1，两段正硬币分别可以贡献 1，672 枚反硬币，加上已有的两个反硬币，总和 675 个。对(3，2018)，第三轮 A 选择标号为 7，10 的两枚正硬币。B 可以选择翻 9 号或者 8 号硬币，对应的局面分别为：(3，4，2013)和(3，3，2014)对(3，4，2013)，A 选择 2023 号，2 号两个正硬币，那么局面会变为(0，2，4，2013)或者(4，2017)，由引理 1 都可以达到 675 个反硬币。对(3，3，2014)，A 选择 2，5 两个正硬币，那么局面会变为(2，0，3，2014)或者(7，2014)，由引理 1 都可以达到 675 个反硬币。#QQABZQIEogggAAJAABhCUQUSCEIQkBCCCIgGxEAEsAAAiBFABAA=#