2021年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 质量评估（A）（含解析）新人教A版必修第一册.docx

1、第二章质量评估(A)(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.不等式x2+5x-60的解集是()A.x|x3B.x|-2x3C.x|x1D.x|-6x0,所以(x-1)(x+6)0,所以x1或x0,则a2+4b2+1ab的最小值为()A.8B.6C.4D.2解析:实数a,b满足ab0, 则a2+4b2+1ab4ab+1ab4,当且仅当a2=1,b2=14时等号成立.答案:C3.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数解析式为y=3 000+20x-0.1x2(0x240,xN),若每台

2、产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台解析:由题意,得3 000+20x-0.1x225x,即x2+50x-30 0000,解得x150或x-200(舍去).故选C.答案:C4.若集合A=x|x2-10x+210,B=x|-75-2x4,则AB=()A.x12x3B.x|3x6C.x|-2x7D.x|6x7解析:因为A=x|3x7,B=x12x6,所以AB=x|3x6.答案:B5.若a,b都为正实数,2a+b=1,则ab的最大值是()A.29B.18C.14D.12解析:因为a,b都为正实数,2a+b=1,

3、所以ab=2ab2122a+b22=18,当且仅当2a=b,即a=14,b=12时,ab取得最大值18.答案:B6.若关于x的不等式x2+x+m20的解集不是空集,则实数m的取值范围为()A.m12B.-12m12C.-12m12D.m12解析:因为关于x的不等式x2+x+m20,即1-4m20,所以-12m12.答案:B7.如图所示,在锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()A.15x20B.12x25 C.10x30 D.20x30解析:设矩形花园的宽为y m,由三角形相似,得x40=40-y40,且0x40,0y4

4、0,xy300.整理,得y+x=40,将y=40-x代入xy300整理,得x2-40x+3000,解得10x30.答案:C8.若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且不等式x+2y-m2-2m0恒成立,则实数m的取值范围为()A.m4B.m2C.-2m4 D.-4m2解析:由题意,得x+2y8,解得m2.答案:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1-14C.当m0时,2x1x20时,x1230,b0,a+b=2,则

5、下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是()A.ab1B.a+b2C.a2+b22D.1a+1b2答案:ACD11.若关于x的一元二次不等式x2-6x+a0(aZ)的解集中有且仅有3个整数,则a的取值可以是()A.6B.7C.8D.9答案:ABC12.对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)0的解集可能为()A.B.(-1,a)C.(a,-1)D.R答案:ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设xR,使不等式3x2+x-20成立的x的取值范围为-1x23.解析:由3x2+x-20,得(x+1)(3x-2)0,所以-1x0,y0,x+2y=4,则

6、(x+1)(2y+1)xy的最小值为92.解析:由x+2y=4,得x+2y=422xy,所以xy2.所以(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy2+52=92,当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.故所求的最小值为92.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知不等式x2-3x-40的解集为A,不等式x2-x-60的解集为B.(1)求AB;(2)若关于x的不等式x2+ax+b0的解集为AB,求a,b的值.解:(1)由x2-3x-40,得(x-4)(x+1)0,解得-1x4,所以A=x|-1x4

7、.由x2-x-60,得(x-3)(x+2)0,解得-2x3,所以B=x|-2x3.所以AB=x|-1x3.(2)因为关于x的不等式x2+ax+b0的解集为x|-1x0,b0.(1)若1a+4b=1,求证:a+b9;(2)求证:a+b+1ab+a+b.证明:(1)因为a0,b0,且1a+4b=1,所以a+b=(a+b)1a+4b=1+4+ba+4ab5+2ba4ab=9,当且仅当2a=b=6时取等号,所以a+b9.(2)因为a+b2ab,a+12a,b+12b,上面三式相加,得2(a+b+1)2ab+2a+2b,所以a+b+1ab+a+b(当a=b=1时取等号).19.(12分)某地区上年度电价

8、为0.8元/(kWh),年用电量为akWh,本年度计划将电价降低到0.55元/(kWh)至0.75元/(kWh),而用户期望电价为0.4元/(kWh),经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k),即新增用电量=k实际电价-期望电价,该地区电力的成本价为0.3元/(kWh).(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y(单位:元)与实际电价x单位:元/(kWh)的函数解析式.(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?解:(1)由题知,下调后的实际电价为x元/(kWh).用电量增至kx-0.4+a,电力部门的收益

9、为y=kx-0.4+a(x-0.3)(0.55x0.75).(2)由已知,得(0.2ax-0.4+a)(x-0.3)a(0.8-0.3)(1+20%),0.55x0.75,解得0.60x0.75,所以当电价最低定为0.60元/(kWh)时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.20.(12分)已知a0,b0,且a2+b22=1,求a1+b2的最大值.解:因为a0,b0,a2+b22=1,所以a1+b2=a2(1+b2)=2a21+b22=2a21+b222a2+12+b2222=21+1222=324,当且仅当正数a,b满足a2=1+b22,且a2+b22=1,即a=32,b=22时等号

10、成立.所以a1+b2的最大值为324.21.(12分)已知关于x的不等式x2+2x+1-a20.(1)当a=2时,求不等式的解集;(2)当a为常数时,求不等式的解集.解:(1)当a=2时,不等式为x2+2x-30,即(x-1)(x+3)0,解得-3x1.所以不等式的解集为x|-3x1.(2)当a为常数时,由题意,得原不等式为x+(1-a)x+(1+a)0,不等式对应的方程的两根为x1=-a-1,x2=a-1.当a0时,则-a-1a-1,解得-a-1xa-1;当a=0时,不等式为x2+2x+1=(x+1)20,解得x=-1;当a0时,则a-10时,不等式的解集为x|-a-1xa-1;当a=0时,

11、不等式的解集为-1;当a0时,不等式的解集为x|a-1x-a-1.22.(12分)在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底作业.潜水员用氧量包含3个方面:下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为52v2;在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;返回水面时,平均速度为v2(米/单位时间),每个单位时间用氧量为0.2.记该潜水员此次考古活动中总用氧量为y.(1)将y表示为v的函数;(2)设00).(2)由(1)可知y=75v+2+12v2+275v12v=62,当且仅当75v=12v,即v=25时,等号成立.故当下潜速度v=0.4(米/单位时间)时,总的用氧量最小,最小值为62.