专题7 唯一零点求值问题（解析版）.pdf

1、专题 7 唯一零点求值问题 1已知函数|2|2221()2(22)2xxxf xeaa=+有唯一零点，则负实数(a=)A 2 B12 C 1 D12或 1 【解析】解：函数|2|2221()2(22)2xxxf xeaa=+有唯一零点，设2xt=，则函数|21()2(22)2ttth teaa=+有唯一零点，则|212(22)2ttteaa+=，设|1()2(22)2tttg tea=+，|1()2(22)()2tttgteag t=+=，()g t为偶函数，函数()f t 有唯一零点，()yg t=与2ya=有唯一的交点，此交点的横坐标为 0，22aa=，解得2a=或1a=（舍去），故选：A

2、 2已知函数222()4()xxf xxxm ee=+有唯一零点，则实数(m=)A12 B2 C 12 D 2 【解析】解：因为22()(4)()xxf xxxm ee=+，所以22(4)(4)()()xxfxx xm eef x=+=所以(4)()fxf x=即函数图象关于2x=轴对称，故函数的图象与 x 轴的交点也关于2x=对称，又因为函数有唯一零点，故根据函数的对称性可知，只能交在(2，0 即 f（2）420m=+=，所以2m=故选：D 3已知函数211()2()xxf xxxa ee+=+有唯一零点，则(a=)A12 B 13 C 12 D1【解析】解：因为2112111()2()1(

3、1)()0 xxxxf xxxa eexa ee+=+=+=，所以函数()f x 有唯一零点等价于方程21111(1)()xxxa ee=+有唯一解，等价于函数21(1)yx=的图象与111()xxya ee=+的图象只有一个交点 当0a=时，2()21f xxx=，此时有两个零点，矛盾；当0a 时，由于21(1)yx=在(,1)上递增、在(1,)+上递减，且111()xxya ee=+在(,1)上递增、在(1,)+上递减，所以函数21(1)yx=的图象的最高点为(1,1)A，111()xxya ee=+的图象的最高点为(1,2)Ba，由于 201a 时，由于21(1)yx=在(,1)上递增、

4、在(1,)+上递减，且111()xxya ee=+在(,1)上递减、在(1,)+上递增，所以函数21(1)yx=的图象的最高点为(1,1)A，111()xxya ee=+的图象的最低点为(1,2)Ba，由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件，即 21a=，即12a=，符合条件；综上所述，12a=，方法二：211211()2()(1)()1xxxxf xxxa eexa ee+=+=+，令1tx=，则2()1ttyta ee=+为偶函数，图象关于0t=对称，若0y=有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当0t=时，120ya=+=，所以12a=故选：C 4已知函数211()2()cos(1)1xx

5、f xxxa eex+=+有唯一零点，则(a=)A1 B13 C 13 D 12 【解析】解：令1tx=，则1xt=+，则函数211()2()cos(1)1xxf xxxa eex+=+可化为：2()()cos2ttg tta eet=+，显然()()gtg t=该函数()g t 为偶函数，且由题意知()g t 有唯一零点，所以(0)0g=，即 210a =，解得12a=故选：D 5已知函数|1|112()3(22)xxxf xeaa=+有唯一零点，则负实数(a=)A13 B12 C 3 D 2 【解析】解：函数|1|112()3(22)xxxf xeaa=+有唯一零点，设1xt=，则函数|2

6、()3(22)tttf teaa=+有唯一零点，则|23(22)ttteaa+=，设|()3(22)tttg tea=+，|()3(22)()tttgteag t=+=，()g t为偶函数，函数()f t 有唯一零点，()yg t=与2ya=有唯一的交点，此交点的横坐标为 0，232aa=，解得3a=或1a=（舍去），故选：C 6若函数22()cos38f xxaxaa=+有唯一零点，则(a=)A 2 B2 或 4 C 4 D2【解析】解：()f x 的定义域为 R，22()()cos()38()fxxaxaaf x=+=，所以()f x 为偶函数，又()f x 有唯一零点，根据偶函数的对称性

7、得(0)0f=，即2380aaa+=，2280aa+=，解得2a=或4a=，当4a=时，2()4cos4f xxx=+，因为22(0)0,()40,()8024fff=，所以根据零点存在性定理可知2()4cos4f xxx=+的零点不唯一，故4a=不合题意，舍去，当2a=时，22()2cos22(1cos)0f xxxxx=+=+，所以2a=满足题意 故选：D 7已知函数2()4(sin)54f xxxax=+有唯一的零点，则常数(a=)A14 B1 C 14 D 1 【解析】解：由题意，函数2()4(sin)54f xxxax=+有唯一的零点，即函数245yxx=+与sin 4yax=，只有

8、一个交点，当2x=时，函数245yxx=+的最小值为 1，其顶点坐标为(2,1)，那么函数sin 4yax=的最大值的坐标为(2,1)，所以1sin(2)4a=，所以1a=故选：B 8已知函数222()4()xxf xxxa ee+=+有唯一零点，则(a=)A12 B 2 C 12 D2【解析】解：222222()4()(2)()4xxxxf xxxa eexa ee+=+=+，令2tx=，则2()()4ttf tta ee=+为偶函数，图象关于0t=对称，若()0f t=有唯一零点，则根据偶函数的性质可知(0)420fa=，所以2a=故选：B 9已知函数11()9sin()(22)63xxf

9、 xxa=+有唯一零点，则实数 a 的值为()A 4 B 3 C 2 D 1 【解析】解：111()9sin()(2)632xxf xxa=+，令1xt=，则1xt=+，11()9sin(1)(2)9cos()(2)63262ttttg ttata=+=+为偶函数，由题意可知，1()9cos()(2)62ttg tta=+只有一个零点，根据偶函数的对称性可知，只能交于原点，即0t=时(0)9120ga=+=，4a=故选：A 102222236()()cos()33xxxxeef xm eex=+有唯一零点，则(m=)A3 B2 C 32 D 12 【解析】解：2222222222363(1)3

10、()()()cos()cos(1)333xxxxxxeexeef xmmeeeexx=+=+，222222222233331(1)()()coscos33xxxxxeexf xmm eeeexx+=+=+，显然，函数(1)f x+为偶函数，其图象关于 y 轴对称，函数()f x 的图象关于1x=对称，又函数()f x 有唯一零点，必有 f（1）0=，即22223()01eem ee+=，解得32m=故选：C 11设函数222()4()xxf xxxa ee=+有唯一的零点，则实数(a=)A 2 B0 C1 D2【解析】解：由222()4()xxf xxxa ee=+，得22()24()xxfx

11、xa ee=+，令()0fx=，得2x=而22()2()xxfxa ee=+的符号在 a 确定时恒正或恒负，与 x 值无关，则()fx为单调函数，即2x=为()f x 的唯一极值点，也就是最值点 要使函数222()4()xxf xxxa ee=+有唯一的零点，则 f（2）0=，即 4820a+=，得2a=故选：D 12已知函数22()cos38f xxmxmm=+有唯一的零点，则实数 m 的值为()A2 B 4 C 4 或 2 D 2 或 4【解析】解：由题意，函数为偶函数，在0 x=处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为 0，则220cos0380mmm+=，4m=或 2，4m=代回原式，2

12、()4cos4f xxx=+分离得两个函数24yx=，4cosyx=画图存在有 2 个零点，不符题意，仅2m=存在唯一零点 故选：A 13已知|()21xf xea=+有唯一的零点，则实数 a 的值为()A 1 B0 C1 D2【解析】解：函数|xye=是偶函数，且在0，)+上是增函数，且当0 x=时，0201ye=+=，若()f x 有唯一的零点，则121a=，0a=，故选：B 14若函数222()log(|4)8f xaxxa=+有唯一的零点，则实数 a 的值是()A 4 B2 C 2 D 4 或 2【解析】解：显然()f x 是偶函数，()f x有唯一一个零点，(0)0f=，即2280a

13、a+=，解得2a=或4a=当2a=时，22()2 log(|4)4f xaxx=+，()f x在0，)+上单调递增，符合题意；当4a=时，22()4log(|4)8f xxx=+，作出24log(|4)yx=+和28yx=+的函数图象如图所示：由图象可知()f x 有三个零点，不符合题意；综上，2a=故选：B 15已知|2()21xf xxa=+有唯一的零点，则实数 a 的值为()A 3 B 2 C 1 D0【解析】解：函数|22 xyx=+在 R 上是偶函数，且在0，)+上是增函数，且|0|2201y=+=，若|2()21xf xxa=+有唯一的零点，则110a+=，解得，0a=；故选：D

14、16已知函数2()2lnxkf xxexx=+有且只有一个零点，则 k 的值为()A21ee+B21ee+C221ee+D1ee+【解析】解：函数2()2lnxkf xxexx=+的定义域为(0,)+，令2()20lnxkf xxexx=+=可得22lnxkxexx=+；设2()2lnxg xxexx=+，则2()2()eln xg xxex=；故当()0g x时，则 0 xe；当()0g x；当()0g x=时，则 xe=；2()2lnxg xxexx=+在(0,)e 上单调递增，在(,)e+上单调递减；故 xe=时()g x 最大值为 g（e）21ee=+，函数2()2lnxkf xxex

15、x=+有且只有一个零点，函数 yk=与()g x 只有一个交点，故结合图象可知，21kee=+，故选：B 17已知关于 x 的方程2220 xalnxax=有唯一解，则实数 a 的值为()A1 B 12 C 13 D 14 【解析】解：由选项知0a，设2()22g xxalnxax=，(0)x，若方程2220 xalnxax=有唯一解，即()0g x=有唯一解，则222()()22axaxag xxaxx=，令()0g x=，可得20 xaxa=，0a，0 x，2142aaax+=（另一根舍去），当1(0,)xx时，()0g x，()g x 在1(x，)+上是单调递增函数，当1xx=时，1()

16、0g x=，1()()ming xg x=，()0g x=有唯一解，1()0g x=，11()0()0g xg x=，21112112200 xalnxaxxaxa=，1120alnxaxa+=0a，11210lnxx+=，设函数()21h xlnxx=+，0 x 时，()h x 是增函数，()0h x=至多有一解，h（1）0=，方程11210lnxx+=的解为11x=，即21412aaax+=，12a=，当0a，方程()2f xax=有唯一解时 a 的值为 12 故选：B 18已知关于 x 的方程22222 log(2)30 xaxa+=有唯一解，则实数 a 的值为()A1 B 3 C1 或

17、 3 D 1 或 3【解析】解：方程22222 log(2)30 xaxa+=有唯一解，又函数2222()2 log(2)3f xxaxa=+是偶函数；方程22222 log(2)30 xaxa+=的唯一解为 0；故2230aa+=，故1a=或3a=；经验证，当1a=时，成立；当3a=时，方程有三个解；故选：A 19已知函数2222()4()()(xxf xxxmm eee+=+为自然对数的底数）有唯一零点，则 m 的值可以为()A1 B 1 C2 D 2 【解析】解：2222()4()()xxf xxxmm ee+=+2222(2)4()()xxxmm ee+=+，令2tx=，则22()4(

18、)()ttg ttmm ee=+，定义域为 R，22()()4()()()ttgttmm eeg t=+=，故函数()g t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x=对称，要使函数()f x 有唯一零点，则 f（2）0=，即2482()0mm+=，解得1m=或 2，故选：BC 20已知函数()sinf xxxx=，则()f x 在点(0，(0)f处的切线方程为 yx=；若()()g xf xxa=在(0,)上有唯一零点0 x，则00cos1cos2axx的值为 【解析】解：()sinf xxxx=的导数为()1(sincos)fxxxx=+，可得()f x 在点(0，(0)f处的切线斜率

19、为1k=，又切点为(0,0)，可得切线方程为 yx=；可令()0g x=，即sinaxx=在(0,)上只有一个实根，设()sinh xxx=，导数为()sincosh xxxx=+，可得sincos0 xxx+=在(0,)内只有一个实数解0 x，即000sincos0 xxx+=，且00sinaxx=，则000000020000cossincoscossin11cos222sin2sin2axxxxxxxxsin xxx=故答案为：yx=，12 21若函数2()2814f xxlnxxm=有唯一零点，则实数 m 的值为 16 224ln 【解析】解：2()2814f xxlnxxm=有唯一零点

20、，82(21)(4)()414xxfxxxx+=，0 x 当4x 时，()0fx，函数单调递增，当 04x时，()0fx，函数单调递减，故当4x=时，函数取得极大值 f（4）16 224lnm=，若2()2814f xxlnxxm=有唯一零点，则 16 2240lnm=，所以16 224mln=故答案为：16 224ln 22已知关于 x 的方程22|2 log(|2)3xaxa+=有唯一实数解，则实数 a 的值为 1 【解析】解：设22()|2 log(|2)f xxaxa=+，则函数()f x 在定义域(,)+上为偶函数，若关于 x 的方程22|2 log(|2)3xaxa+=有唯一实数解，则等价为(0)3f=，即222(0)2 log 223faaaa=+=，则2230aa=，得3a=或1a=，当3a=时，方程等价为2|6log(|2)93xx+=，即2|66log(|2)xx+=+，作出函数|6yx=+和26log(|2)yx=+的图象如图，此时两个函数有 3 个交点，不满足条件 当1a=时，方程等价为2|2log(|2)13xx+=，即22log(|2)2|xx+=，作出函数2|yx=和22log(|2)yx=+的图象如图，此时两个函数有 1 个交点，满足条件，综上1a=，故答案为：1