2022-2023学年度北师大版八年级数学上册第一章勾股定理重点解析试题（详解）.docx

1、北师大版八年级数学上册第一章勾股定理重点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（）A1

2、60B150C140D1302、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A1B2021C2020D20193、如图，在中，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（）.ABCD4、观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（）ABCD5、如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足

3、为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（）ABCD6、如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把ABD沿着AD翻折，得到AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DGGE，AF6，BF4，ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（）ABCD7、如图，在22的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的点中任取一点C，使ABC为直角三角形的概率是（）ABCD8、如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两直角边分别是a、b，且，大正方形的面积是9，则小正方形的面积是（）A3B4C5D69、

4、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A13米B12米C5米D米10、如图，OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且ABx轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一直线上若，则_2、如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为_长3、如图所示，所有的四边形都是正方形，所

5、有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、B、C的面积分别是，则正方形D的面积是_4、已知一直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm,则此直角三角形斜边上的高为_5、已知，在中，则的面积为 _三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在ABC和DEB中，ACBE，C90，ABDE，点D为BC的中点， （1）求证：ABCDEB （2）连结AE，若BC4，直接写出AE的长2、（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形（2）如果（1）中

6、分割成的直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理（3）应用：测量旗杆的高度：校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）3、如图所示的一块地，求这块地的面积4、一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？5、如图，A

7、D是ABC的中线，DEAC于点E，DF是ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8(1)求证：；(2)求DF的长-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在中，根据勾股定理得，即PA+PB的最小值是；如图所示，延长AB交MN于点，当点

8、P运动到点时，最大，过点B作，则， ，在中，根据勾股定理得，即，故选A【考点】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系2、B【解析】【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积

9、和为2021，故选：B【考点】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c23、D【解析】【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出APBC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可【详解】解：如图，连接AP，AB=3，AC=4，BC=5，EAF=90，PEAB于E，PFAC于F，四边形AEPF是矩形，EF，AP互相平分且EF=AP，EF，AP的交点就是M点当AP的值最小时，AM的值就最小，当APBC时，AP的值最小，即AM的值最小AP

10、BC=ABAC，APBC=ABAC，AB=3，AC=4，BC=5，5AP=34，AP=，AM=故选：D【考点】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解题的关键是求出AP的最小值4、C【解析】【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案【详解】标记如下：，（ab）2a2+b24a22ab+b2故选：C【考点】此题考查的是利用勾股定理的证明，可以完全平方公式进行证明，掌握面积差得算式是解决此题关键5、A【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对顶角

11、相等得出CEF=CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【详解】过点F作FGAB于点G，ACB=90，CDAB，CDA=90，CAF+CFA=90，FAD+AED=90，AF平分CAB，CAF=FAD，CFA=AED=CEF，CE=CF，AF平分CAB，ACF=AGF=90，FC=FG，B=B，FGB=ACB=90，BFGBAC，AC=3，AB=5，ACB=90，BC=4，FC=FG，解得：FC=，即CE的长为故选A【考点】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出CEF=CFE6、C【解析】【分析】

12、先求出ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据BDhBFDF，求出BD即可解决问题【详解】解：DGGE，SADGSAEG8，SADE16，由翻折可知，ADBADE，BEAD，SABDSADE16，BFD90，（AF+DF）BF16，（6+DF）416，DF2，DB，设点F到BD的距离为h，则有BDhBFDF，h42，h，点F到BC的距离为故选：C【考点】此题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题7、C【解析】【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可【详解】解：如图，均可与点

13、和组成直角三角形，故选：C【考点】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）8、A【解析】【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2=15，大正方形的面积为9，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案【详解】解：(a+b)2=15，a2+2ab+b2=15，大正方形的面积为：a2+b2=9，2ab=159=6，即ab=3，直角三角形的面积为：，小正方形的面积为：，故选：A【考点】此题主要考查了完全平方公式及勾股定理的应用，熟练应用完全平方公式及勾股定理是解题关键9

14、、A【解析】【分析】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可.【详解】如图所示，过D点作DEAB，垂足为E,AB=13，CD=8，又BE=CD，DE=BC，AE=ABBE=ABCD=138=5,在RtADE中，DE=BC=12, AD=13（负值舍去）,故小鸟飞行的最短路程为13m,故选A.【考点】考查勾股定理，画出示意图，数形结合是解题的关键.10、D【解析】【分析】利用HL证明ACOBCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解【详解】解：ABx轴，ACO=BCO=90，OA=OB，OC=OC，ACOBCO(HL)，AC=BC=AB=3，OA=5，OC=4，点A的坐标是（4，3）

15、，故选：D【考点】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题二、填空题1、【解析】【分析】如图，先利用等腰直角三角形的性质求出 ，再利用勾股定理 求出 DF，即可得出结论【详解】如图，过点作于，在中，两个同样大小的含角的三角尺，在中，根据勾股定理得，故答案为【考点】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题 的关键2、20m【解析】【分析】试题分析：要求登梯的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理【详解】将圆柱表面按一周半开展开呈长方形，圆柱高16m，底面周长8m，设

16、螺旋形登梯长为xm，x2=（18+4）2+162=400， 登梯至少=20m故答案为：20m【考点】本题考查圆柱形侧面展开图新问题，涉及勾股定理，掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法，会利用圆周，高与对角线组成直角三角形，用勾股定理解决问题是关键3、15【解析】【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积【详解】解：如图，根据勾股定理可知， S正方形1+S正方形2=S大正方形=49， S正方形C+S正方形D=S正方形2， S正方形A+S正方形B=S正方形1， S大正方形=S正方

17、形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49 正方形D的面积=49-8-12-14=15（cm2）； 故答案为：15【考点】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积4、4.8cm.【解析】【分析】根据勾股定理可求出斜边然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答【详解】直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，斜边为 =10(cm)，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为68=10h，解得：h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm.故答案为4.8cm.【考

18、点】此题考查勾股定理，解题关键在于列出方程.5、2或14#14或2【解析】【分析】过点B作AC边的高BD，RtABD中，A=45，AB=4，得BD=AD=4，在RtBDC中，BC=4，得CD=5，ABC是钝角三角形时，ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解【详解】解：过点作边的高，中，在中，是钝角三角形时，；是锐角三角形时，故答案为：2或14【考点】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想三、解答题1、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行可得DBE90，再由HL定理证明直角三角形全等即可；（2）构造，利用矩形性质和勾股定理即可求出AE长【详解】（1）A

19、CBE，CDBE180DBE180C 1809090ABC和DEB都是直角三角形点D为BC的中点，ACDBABDE，RtABCRtDEB（HL） （2）过程如下：连接AE、过A点作AHBE，C90，DBE90，AH=BC=4， ，在中，【考点】本题主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形，解题关键是构造直角三角形，利用用平行线间的距离处处相等得线段AH=BC，从而利用勾股定理求AE2、（1）见解析；（2）见解析；（3）在四边形ABCD中，ABBC，DCBC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长；8米【解析】【分析】(1)将图1分割成五块：四个直角边分别为1、2的

20、直角三角形，一个边长为2的正方形，再在图2中，拼成边长为的正方形即可(2)根据20个小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积，根据勾股定理确定截线的长度即可；(3)根据题意，画出图形，可将该问题抽象为解直角三角形问题，该直角三角形的斜边比其中一条直角边多1m，而另一条直角边长为5m，可以根据勾股定理求出斜边的长即可【详解】解：（1）如图（2）= (3)如图，在四边形ABCD中，ABBC，DCBC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长解：过点D作DEAB，垂足为E ABBC，DCBCB=C=DEB=90四边形BCDE是矩形ED=BC=4，BE=DC=0.5设AB=，则AD

21、=+0.5，AE=-0.5在RtAED中AD2=AE2+ED2(+0.5)2=(-0.5)2+42 解得：=8答：旗杆的高为8米【考点】本题考查作图的运用及设计作图和勾股定理的应用，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型3、384【解析】【分析】连接，勾股定理求得，勾股定理的逆定理证明为直角三角形，进而根据三角形的面积公式计算和的面积之差即可【详解】解：连接，在直角中，由，解得，在中，为直角三角形，要求这块地的面积，求和的面积之差即可， ，答：这块地的面积为【考点】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键4、（1）12米；（2）7米【解析】

22、【分析】（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解；（2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解【详解】解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，在Rt，由勾股定理得：AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，解得AO=12米，答：这个梯子的顶端距地面有12米高；（2）由题意得，AC=7米，由（1）得AO=12米，CO=AO-AC=12-7=5米，在Rt，由勾股定理得：OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，解得OD=12米BD=OD-OB=12-5=7米，答：梯子的底端在水平方向滑动了7米【考点】本题主要考查

23、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键5、 (1)见解析(2)DF的长为5【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明ADC是直角三角形，即可得出ADC是直角；（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可(1)证明：DEAC于点E，AED=CED=90，在RtADE中，AED=90，AD2=AE2+DE2=82+42=80，同理：CD2=20，AD2+CD2=80+20=100，AC=AE+CE=8+2=10，AC2=100，AD2+CD2=AC2，ADC是直角三角形，ADC=90；(2)解：AD是ABC的中线，ADC=90，AD垂直平分BC，AB=AC=10，在RtADB中，ADB=90，点F是边AB的中点，DF=AB=5DF的长为5【考点】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键