安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题 PDF版含答案.pdf

1、即州刨即密情日V士H叶哥、MW叫我革旦在中我？！制样5器崽绝密食启用前8.己知矶，凡是双曲线乌；1（0,b 0）的左、右 焦点，过 F，的直线l与双曲线的左、右两支分别交L b 于点 A,B，若 6.ABF2 为 等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为A./i B./3C.土而D.于,x-y+20,9.已知耳，y满足约束条件x+y-m注0，若 z=3x-4y的最大值为9，则m的值为Lx-3：三0,理科数学A.-32B.-28C.2D.310.已知圆 C,:(x-1)2+(y+l)2=1，圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9，点M 和 N分别是圆cl 和圆C2 上的动点，P为z轴上的动点，则I

2、PNI-IPMI的最大值是A.7 B.9C.3/5+4D.3/5+211.在三棱锥 A-BCD 中，LBAC 乙BDC=60。，二面 角 A-BC-D 的余弦值为 上，当三棱锥 A-BCD 的3 体积的最大值为于日才，其外接球的表面积为考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将 考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位直2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回A.8 B.7C.6D.5，一、选择题：本题

3、共12小题，每小题5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.命题VxER,ex 二吉x+1的否定是12.如图，正方体 ABCD-A1B 1C1D1 的棱长为I,E,F分别是棱 AA,CC，的中点，过点 E,F 的平面分别与棱BB1,DD1 交于点G,H，给出以下四个命题：平面 EGFH与平面 ABCD 所成角的最大值为45。；H DltttT c,B,四边形 EGFH的面积的最小值为1;四棱锥 C,-E仰的体积为定时；点 B1 到平面 EGFH的距离的最大值为子其中正确命题的序号为A.B.(1c.A,E K二”，：到FA.V x E R,ex x+1C.:3 x f

4、f.R,ex x+1B.:lxR，矿 x+1D.Vxf/.R，矿 x+12.满足过点P(2,3）且在两坐标轴上截距相等的直线l的条数为A.1B.2C.3D.43.笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标 体系公式化而被认为是解析几何之父据说在 他生病卧床时，还在反复思考一 个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立A,了笛卡尔 坐标系的雏形 在如图所示的空间直角 坐标系 中，单位正方体顶点A关于 y轴对称的点的坐标是A B A B D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 20分13.两平行直线 x+3y-5=0与 2

5、x+6y-9=0 的距离是14.为迎接 2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等 6名队员参加选拔赛，已知比赛结果没有并列名次记“甲得第一名”为p，“乙得第一名”为q，“丙得第一名”为r，若pv q是真命题，（q)v r是真命题，则得第一名的是15.已知抛物线 y x2(0）的焦点为F，点P为 抛物线上的动点，点M为 其准线上的动点，若 6.FPM为边长是 2的等边三角形，则此抛物线的方程为16.如图，在一 个底面 面积为4，侧棱长为 A百的正四棱锥 P-ABCD 中，大球。1 内切于该四棱锥，小球 02与大球 o，及四棱锥的四个 侧面相切，则小球 02 的体积为p A.(-1,-1,

6、1)B.(1,-1,1)C.(1,-1,-1)D.(-1,-1,-1)4.己知直线l，：即 2y+1=0,l2:8x 町 2=0，若l,/l2，则实数的值为A.土4B.-4C.4D.05.某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是腰长为1的等 腰直角三角形，队队则该几何体的体积 等于 A 土B 1._ c 上1一一D.二正视图侧视图.3.3.3 6.己知直线 m爪，平面，n n,m，ml_n，那么ml_ 是i的I/,IA.充分 不必要条件B.必要不充分 条件1,/I C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件俯视图7.在 正方体 ABCD-A1B1 C1D1 中，M,N,P,Q分别为 A1 B

7、,B 1D1,A,D,CD1 的中点，则异面 直线 MN与 PQ 所成角的大小是IT A 6丁TB 4IT C.3IT D.2A R 理科数学试题第1页（共4页）理科数学试题第 2页（共4页）2019级高二上学期期末考试三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(10分）己知点 A(-2,0),B(2，则，动点 M(x,y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为上，记M的轨迹为曲线 c.2(I）求C的方程，并说明C是什么曲线；(II）若直线 l:x-y+l=0和 曲线C相交于P，。两点，求IPQI.18.(12分）已知直线l经过点 P(-2,4).(I）若原点到直线l的距

8、离为2，求直线l的方程；(II）若直线l被两条相交直线 l1:2x-y-2=0和 l2:x+y+3=0 所截得的线段恰被点P 平分，求直线l的方程，19.(12分）已知圆cl 过点 A(0,6），且与圆 C2:x2+y2+lOx+lOy=0 相切于原点，直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-6m-4=0.(I）求圆cl 的方程；(II）求直线l被圆cl 截得的弦长的最小值理科数学试题第 3 页（共 4 页）20.(12分）在四棱锥 P-ABCD 中，LABC 二三ACD 二90，三BAG 二三CAD=60。，PA i平面 ABCD,E 为PD 的中点，M为AD 的中点，PA=2AB=4.(I

9、）求证：EM 平面 PAC;(II）取 PC 的中点 F，证明：PC1-平面 AEF;(ill）在（II）的条件下，求二面角 F-AE-C 的余弦值21.(12分）如图1，在L.ABC 中，D,E分别为AB,AC 的中点，0为DE 的中点，AB=AC=2y5,BC=4.将 L.ADE 沿 DE折起到 L.A1DE 的位置，使得平面 A1DE1-平面 BCED，如图2.A A1 D;_:_ J”B cB 阁1阁2(I）求证：A1 01-BD.(II）求直线 A1C和平面 A1BD 所成角的正弦值J35 A1f0）的离心率 为主点 P(1，子）在椭圆E 上D.：，飞J I(I）求椭圆E 的方程；(

10、II）过点 M(l,1）任作一条直线 l,l 与椭圆E交于不同于P 点的 A,B 两点，直线 l 与直线 m:8x+9y-72=0交于C点，记直线 PA,PB,PC 的斜率分别为kl，儿，h，试探究 kl+k2 与 h 的关系，并证明你的结论理科数学试题第 4 页（共 4 页）2019级高二上学期期末考试笨安仨司:;,-:理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分6.C5.D4.B3.A2.BDU 112.D11.CRH A9.D8.C7.C由专视图可知，该几何体是芝棱锥 A-BCD，如图，BC=CD=l,BC l.CD，高为l，所以该几何体的体积等于土 xi 土 l x l

11、土3 2 5.解析A 二一二叫D:6.ABF2 为等边三角形，：.IABI=IAF2 I=IBF2 I，且 LABF2=60，由双曲线的定义可得2 IBF1 I-8.解析IBF2 I=IABI+IAF 1 I-IBF2 I=IAF1 I,IAF2 I-IAF1 I=2，.IAF2 I=4趴在6.AF1 F2 巾，IAF1 I=2，IAF2 I=如，LF1Af=120。，由余弦定理可得IFJ2 I=2c=JIAF1 12+IAF2 l2-21AF1 I IBF2 lcos 120=2/f，l!D 专汀，所以，士在！子（百立=/6.因此，该双曲线的渐近线的斜率为d困C1 的圆心为E(l,-1），半

12、径为1，圆C2 的困，中为F(4,5），半径为3，耍使IPNI-IPMI最大，需IPNI10.解析最大，且IPMI最小，IPNI最大为I PF I+3,I PM I最小为IPEI-1，故IPNI一IPMI的最大值是IPFI+3一(I峦I-1)=IPFI-IPEI+4,F关于z轴的对称点为F （4,-5),IPFI-IPEI=IPFI-IPEI运 IEF,/(4-1)2+(-5+1)2=5，故IP川IPMI的最大值是5+4=9.七运动，点D如阁，设球，心。在平面 ABC 内的射影为0 1，在平面 BCD 内的射影为02，点 A在截面肉。l11.解析在截面圆。2 上运动，由图知，当 AB=AC,B

13、D=CD 时，三棱锥A-BCD的体职最大，此时！：.ABC 与 6.BDC 是等边三角形，取叫中点为M，则二面角 A D的平面角为LAMD，设 BC ，则 AM 耻手山（.）=./6 I,fi3 J6 72,h=AMsin(IT-LAMD)了，飞 HC/J了S M肌.h=12 4，解得汀，所以 DM 言，D02=1,州，设 LAMD 川叫二2c山1=，解得阳 fi,.002=02M叫号，球。的半径 R=JDO;叫手，所求外接球的表面积为 S=4TJR2=671.一.I瓦12.解析对于，设平面 EGFH 与平面ABCD所成角为0，由题口l 知巳运cos 8运l，口J得所成角的最大值不为3 45，

14、故错误；对于，由5运GH运厅，可得菱形 EGFH的面职的最小值为土/ix/i=l，故tf确；对于2 1 1 1 1，四幢锥C 1-EGFH的体积为V=2Vc,EGF=2VE GFC1=2 x了x，故正确；对于，设RC=x,I 1 XEO,l,V1,-EfG=Vv-x一l(1-x)xl(O:;x运1），设B，到平面 EGFH 的距肖为d，可得-1!1 fG-3 2 V111-n-1；d士!ixJ12（千（钉，所以d=,.1飞1=Y飞IIi（x)fi ,vt2-t 去I（其中 t=l-x），当x=o ent=1 时，d取得最大值子，故正确!ixJf去十1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2

15、0分13.手14.甲15.x2=2y 16.,JiIT-24.16.解析 由题巾条件知底而四边形ABCD是边长为2的正方形设。为正方形ABCD的巾，中，AB的巾点为M，连接 PM，例，PO，则OM=I,PM=/PA2AM2=II百-=-T=3,PO 斤-=-T=2/i，如同，在截面PMO中，设 N为球 o，与平面PAB的切点，则N在PM上，且 o,N上PM，设球。l 的半枉为R，则。I N=R，sin LMPO=OM I JVO I I Ii Pii，历：了，则P01 顶，PO=POI+oo,=4R=2/i，.肚子设球 o，与球 02 相切于点Q，则R J2 4习何时 P0-2R 拙，设球 0

16、2 的半径为r，同理可得PQ=4r,:.,.一 丘，故小球码的体积V=-7rr 巳2 4 3 24 p 02 Q a,M一二】。-2 一三、解答题：共 70 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(I）由题，吉；可知，k,HI kR,lf:_l_ _l_：一土11以x+2 x-2 2 17.解析化简得主一 L=l(x手2）即曲线C的方和为 1._=l(x手士2)4 2一”42 曲线 C 足一个椭圆，除去左右顶点.(5分）x+I(Il）联立r”消去y得 x2+2(x+1)2=4，整理得 3x2+4x-2=0.lx+2）=4,设 P（川I），帆，则X1+x2=-f,x1 X2=-+所以IPQI

17、=/1可2 Ix 1-x2 I=/1可2,4X 1X2=.日在二三斗.(10 分）(I）直线 l 的斜率不存在时，直线方程为x=-2，符合条件直线l的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x+2),18.解析由原点到直线 l 的距尚为 2 得旦兰主2，解得k=-+vk+I叶3 故直线l的方程7-1y-4=-(x+2），即 3x+4,y-10=0,4 J.(6分）综上，所求直线l的方程为x=-2或 3x+4y-lO=0.(Il）设直线 l 夹在直线 l,l2 之间的线段为AB(A 在 l1 上，B 在 l2 上）,A,B 的坐标分别设为（x,Yi),(x2,Ji),因为 AB被点P平分，所以 X

18、i 句 4,y1+y2=8，即X2=-4-x1，8-y,.A“丁句飞d是标坐aJHH AA nHV 口HHMAy句3工旦寸，hdq，解。，AU 句，叮J命，JEvd zl 守耳，、nHH俨口HUF上在B上在A几于由故直线l的方程是y二4.(12分），（）2+(6-b)2=r2 则！2+bl:r2 L（5)2+(b+5)2=5/i+r,所以因 c，的方程为“3)2+(y-3)2=18.(6分）(I）设C1:(x ）2+(y-b)2 二产，圆C2;x2+/+lOx+lOy=0的圆，心C2(-5,-5），半径为5/i,5句3句31v一一一一br，AEEE，、ZEB 得nk，用19.解析(II)I大i

19、为 l:(2m+1)x+(m+1)y-6m-4=0，即（2x+y-6)m+x+y-4=0,2x 6=0 rx=2.由！得所以直线l过定点B(2,2),lx+y-4=0 L:r=2,设固，心C1(3,3）到直线l的距离为d，则d主主IC1BI=/(3-2)2+(3-2)2=fi,当且仅三与 l.1BC1 时，等号成立，故直线l被圆C1 截得的弦长的最小值为8.(12分）(I）因为 E 为 PD 的中杰，M 为 AD 的中点，所以在 6.PAD 中，EM/PA,又因为PA C平雨 PAC,EM（！平雨 PAC，则EM矿平而 PAC.(3分）所以弦氏为2 飞17歹二主2 jf82=8.20.解析(I

20、I）因为PC 的巾点是F，在 Rt6.ABC 巾，AB=2,LBAC=60。，则 BC=2/f,AC=4.-3 一而l计4，则在等腰芝角形 APC 中 PC 1-AF 又在t:,.PCD 中，PE=ED,PF=FC，则 EF/CD,因为 PAi平面 ABCD,CDC 平面 ABCD，贝IJ PAl_CD,又 LACD=90 ，即 AC1-CD,ACnPA=A,所以 CD i平面 PAC，所以 PCl_ CD，因此 EF 1-PC 义 EF门 AF=F，由知 PCl_ 平面 AEF.（7分）（皿）思路l：从点F向 AE 作主在线，王在足为C，连接 cc，由三平线定理知 FCC 即为所求二面角的平

21、面角，通过解直角三角形即可得二面角 F-AE-C 的余弦值为子；思路2：以A为坐标原点，AC 所在直线为z轴，AP 所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用法向量 m=(1,/6 0,-1),n=(0,1,-ff）可求二面角 F-AE-C 的余弦值为.(12分）21.解析(I）冈为在！：，.ARC 中，D,E分别为 AB,AC 的中点，所以 DEII RC,AD=AE.所以 AI D=A 1 E，又0为 DE 的中点，所以 A,01-DE.4 因为平面 A,DE 1-平面 BCED，且 A,Oc 平面 A,DE，所以 A,01-平面 BCED,所以 A1 0l.BD.（3分）(II）取 BC 的

22、中点C，连接 OG，所以 OE 牛 oc.由（I）得 A,01-E,A，上 OG.如因建立空间直角坐标系。均z.由题意得，A1(0,0,2),B(2,-2,0),C(2,2,0),D(O,-1，。）一所以A1 B=(2,-2，一匀，A1 D=(O,-1,-2),A 1C=(2,2，一2).设平面 A1 BD 的法向量为n=(x,y,z),一rn.A1 B=0,r2x-2 2z=0.则1即In AiD 二o,l-y-2z=0.令 x=1，则 y=2,z=-1，所以 n=(1,2，一1).设直线A 1C和平面 A1 BD 所成的角为，lnA,CI 2n则自in O=lcos0）的离心率为，所以e

23、司2=9c2 3 因为2=b2+c2，所以b2=8c2.故可设椭圆E的方程为主，乓 1,9cL 8cL 64 口1 9 因为点P(l,t）在椭圆E上，所以将其代入椭圆E的方程得寸一 I:c2=1.J 9c 8c2 所以椭圆E的方和为主一 1._=I.（5分）9 8(II）依题意，直线l不可能与z轴垂直，故可设直线l的方程为y-l=k(x-l),设A(x,y,),B（屿，）为l与椭圆E的两个交点将 y=kx-k+l代入方：程1._=l，消去y并整理得9 8(9k2+8)x2-18(k2-k)x+9k2-18k-63=0.18k2-18k 9k2-18k-63 所以x，叫，一一，x,x,=9kL

24、毡A牛9kL+8 Y,立Y2 立k(x 1一 I)立k(x2一 1)立，、5 I 1 1 所以k,+k,一 一二+=2 k-I 一一一 一一I=2 k 一 J,x,-1 X2-1 x,-I X2-1 3飞x,X2 I 1sk2-1sk _ X 1+X2-2 5 9k2+8“16(3k-1)=2k-街x 1 x2-(x 1+x2)+1 3 9k2-lSk-63 18k2-18k 33 句 一一一了一一一 l9kL+8 9k+8 rr=kx-k+I，”63 64k+8又由1叭”S)x-9k-63=0，解得x=lsx+9y-72=0 9k+8 J 9k+8 64k+8 89k+8 3 8(3k一I)所以k，二二 9k+63.33 9k+8-因此，k,鸟与h的关系为k,+k2=2k3.，（12分）-5 一