2022版新教材数学人教B版选择性必修第一册学案：2-6-2 双曲线的几何性质 WORD版含答案.docx

1、2.6.2 双曲线的几何性质课标解读课标要求素养要求1.了解双曲线的简单几何性质.2.通过双曲线的学习，进一不体会数形结合的思想.1.直观想象能依据双曲线的方程和图形研究其几何性质.2.数学运算能利用双曲线的简单几何性质求其方程，或根据双曲线的方程求其简单几何性质.自主学习必备知识教材研习教材原句1.双曲线的几何性质标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形性质焦点F1(-c，0)，F2(c,0)F1(0,-c)，F2(0,c)焦距|F1F2|=2c范围 x-a或xaya或y-a对称性对称轴： x轴、y轴，对称中心： 坐标原点顶点A1(-a,0)，A2

2、(a,0)A1(0,-a)，A2(0,a)轴长实轴长= 2a，虚轴长= 2b离心率e=ca(e1)渐近线y=baxy=abx2.等轴双曲线实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，它的渐进线方程是 y=x，离心率为2 .自主思考1.双曲线y22-x24=1的焦点在哪个坐标轴上？答案：提示y轴.2.双曲线x23-y2=1的离心率是多少？答案：提示e=233 .3.等轴双曲线的渐进线方程与双曲线的方程有关吗？答案：提示没有关系，所有等轴双曲线的渐进方程都是y=x .名师点睛1.对双曲线渐近线的四点说明（1）随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点（2）由渐近线方程可确定a

3、与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置（3）由双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，然后变形（4）e=ca=a2+b2a=1+b2a2，故当ba的值越大，渐近线y=bax的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反应了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大2.等轴双曲线的性质（1）渐近线方程为y=x；渐近线互相垂直；离心率e=2（2）等轴双曲线可以设为x2-y2=(0)，当0时，焦点在x轴上；当0时，焦点在y轴上互动探究关键能力探究点一双曲线的几何性质精讲精练例（1）（2021山东济宁高二期中）点M为双曲线y22-x2=1上的任意一点

4、，点O是坐标原点，则|OM|的最小值是( )A.1B.2 C.2D.22（2）求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.答案：（1）B解析：（1）设M(x,y)，则|OM|=x2+y2，点M在双曲线y22-x2=1上，x2=y22-1，|y|2，|OM|=y22-1+y2=32y2-12，|OM|的最小值是2 .答案：（2）将方程x2-3y2+12=0化为标准方程为y24-x212=1，a2=4，b2=12，a=2，b=23，c=a2+b2=16=4 .双曲线的实轴长2a=4，虚轴长2b=43，焦点坐标为(0,-4),(0,4)，顶点坐标为(0,-

5、2),(0,2)，渐近线方程为y=33x，离心率e=2 .解题感悟迁移应用1.（2021山东威海高二期中）若双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)与双曲线D:x24-y26=1有相同的渐近线，且C经过点(2,6)，则双曲线C的实轴长为( )A.4B.230 C.12D.45答案：B解析：双曲线C与双曲线D有相同的渐近线，可设双曲线C的方程为x24-y26=(0)，将(2,6)代入可得=1-6=-5，双曲线C的方程为y230-x220=1，双曲线C的实轴长为230 .2.（多选）（2020山师附中高二月考）关于双曲线C1:x29-y216=1与双曲线C2:y29-x216=-1，下列说法

6、中正确的是( )A.它们有相同的渐近线B.它们有相同的顶点C.它们的离心率不相等D.它们的焦距相等答案：C ; D解析：双曲线C1的渐近线方程为y=43x，双曲线C2的渐近线方程为y=34x，故A中说法错误；双曲线C1的顶点坐标为(3,0)，双曲线C2的顶点坐标为(4,0)，故B中说法错误；双曲线C1的离心率e1=c1a1=1+b12a12=1+169=53，双曲线C2的离心率e2=c2a2=1+b22a22=1+916=54，e1e2，故C中说法正确；双曲线C1的焦距2c1=10，双曲线C2的焦距2c2=10，故D中说法正确.探究点二由双曲线的性质求方程精讲精练例（1）已知双曲线的渐近线方程

7、为y=22x，实轴长为8，则该双曲线的方程为( )A.x24-y22=1B.x24-y22=1或y24-x28=1C.x216-y28=1D.x216-y28=1或y216-x232=1（2）若双曲线过点(3,92)，离心率e=103，则双曲线的方程为 .答案：（1）D（2）y281-x29=1解析：（1）解法一：当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=1(a0,b0)，由ba=222a=8，解得a=4b=22，此时双曲线的方程为x216-y28=1；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程可设为y2a2-x2b2=1(a0,b0)，由ba=222a=8，解得a=4b=4

8、2，此时双曲线的方程为，y216-x232=1 .所以双曲线的方程为x216-y28=1或y216-x232=1 .解法二：因为双曲线的渐近线方程为y=22x，所以设双曲线的方程为x22-y2=(0)，即x22-y2=1(0)，因为双曲线的实轴长为8，所以当0时，22=8，解得=8，所以双曲线的方程为x216-y28=1；当0时，2-=8，解得=-16，所以双曲线的方程为y216-x232=1 .所以双曲线的方程为x216-y28=1或y216-x232=1 .（2）由e2=109，得c2a2=109，设a2=9k(k0)，则c2=10k，b2=c2-a2=k .所以所求双曲线的方程为x29k

9、-y2k=1 或y29k-x2k=1 .把(3,92)代入，得k=-161，与k0矛盾，舍去；把(3,92)代入，得k=9，故所求双曲线的方程为y281-x29=1 .解题感悟由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法.（1）当焦点位置明确时，直接设出双曲线的标准方程即可；当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论，直接把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn0) .（2）当双曲线的渐近线方程为y=bax时，可以将双曲线方程设为x2a2-y2b2=(0)迁移应用1.（2020江西临川一中高二期中）已知双曲线的渐近线方程为y=2x，且双曲线过点P(1,3)，则该双曲线的标准方程

10、为( )A.x24-y2=1 B.x214-y2=1C.x212-y2=1 D.y22-x22=1答案：B解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0)，则渐近线方程为y=bax，即ba=2，所以双曲线的方程为x2a2-y24a2=1，所以1a2-34a2=1，解得a2=14，所以双曲线的方程为x214-y2=1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0)，则渐近线方程为y=abx，即ab=2，所以双曲线的方程为y24b2-x2b2=1，所以34b2-1b2=1，无解.所以该双曲线的标准方程为x214-y2=1 .2.已

11、知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点坐标为(2,0)，直线x=2与双曲线的一个交点为P，若点P到双曲线的两条渐近线的距离之和是23，则双曲线C的方程为( )A.x2-y23=1 B.x23-y2=1C.x22-y22=1 D.x24-y23=1答案：A解析：由题意可知双曲线C的渐近线方程为bxay=0，c=2，将x=2代入双曲线方程，可得y=b2a，则P(2,b2a)，则点P到两条渐近线的距离之和为2b+b2a2+b2+2b-b2a2+b2=23，a2+b2=4，b=3，a=1，因此双曲线C的方程为x2-y23=1 .探究点三双曲线几何性质的应用精讲精练例（1）（2021陕

12、西宝鸡高二期末）若双曲线y25-x2m=1的离心率e(1,2)，则m的取值范围是( )A.(0,5)B.(5,10)C.(0,15)D.(-15,0)（2）（2021山东枣庄高二期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)，A，B是双曲线C上关于原点对称的两点，P是双曲线C上异于A，B的一点，若直线PA与直线PB的斜率都存在，且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是( )A.2 B.3C.2D.5答案：（1）C（2）B解析：（1）双曲线的方程为y25-x2m=1，m0，e=ca=5+m5，e(1,2)，15+m52，15+m54，0m15 .即m的取值范围是(0,15).（2

13、）根据题意，设点A(m,n)，P(k,t)，则B(-m,-n)，m2a2-n2b2=1，k2a2-t2b2=1，kPA=t-nk-m，kPB=t+nk+m，所以kPAkPB=t-nk-mt+nk+m=t2-n2k2-m2=t2-n2a2(1+t2b2)-a2(1+n2b2)=b2a2=2，所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=3 .解题感悟求双曲线离心率的常见方法：（1）依据条件求出a，c，再计算e=ca . （2）依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成关于离心率e的方程求解；另一种方法是消去c转化成含ba的方程，求出ba后，利用e=1+b2a2求解.迁移应用1.（20

14、20山东济南高二期末）设双曲线x2a2-y2b2=1(ab0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0,b)两点，已知原点到直线l的距离为34c，则双曲线的离心率为( )A.2B.2或233 C.2 D.233答案：D解析：易知直线l的方程为xa+yb=1，化为一般式得bx+ay-ab=0，原点到直线l的距离为|-ab|a2+b2=34c，4ab=3c2，即16a2b2=3c4，将b2=c2-a2代入得16a2(c2-a2)=3c4，16a2c2-16a4=3c4，即3e4-16e2+16=0，解得e=233或e=2，0ba，e=233（e=2舍去）.2.（2021广东珠海斗门第一中学高二月考）

15、已知椭圆C:x216+y212=1的离心率与双曲线C:x24-y2b2=1(b0)的离心率互为倒数，则b= ( )A.22B.23C.4D.6答案：B解析：因为椭圆C:x216+y212=1的离心率为16-1216=12，所以双曲线C:x24-y2b2=1(b0)的离心率为4+b24=2，解得b=23 .评价检测素养提升1.（2021天津河东高二期末）双曲线4x2-9y2=36的渐近线方程是( )A.y=32x B.y=23xC. y=94x D.y=49x答案：B2.（2020山东聊城二中高二月考）已知双曲线C:y2-x2a2=1(a0)的实轴长是一条渐近线的斜率的4倍，则双曲线C的虚轴长为( )A.4B.2C.2D.22答案：A3.（2021陕西西安长安一中高二期末）某双曲线的一条渐近线方程为y=32x，且一个焦点坐标为(0,26)，则该双曲线的方程是( )A.x26-y24=1 B.y26-x24=1C.x218-y28=1 D.y218-x28=1答案：D4.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)，其中y=2x为其一条渐近线方程，则该双曲线的离心率为( )A.2 B.3 C.5 D.3答案：C