湖南天壹名校联盟2024年高二3月大联考数学试题 答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司机密启用前 2024 年上学期高二 3 月大联考数学本试卷共 4 页.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无放.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21 2,30AxxByyy=+，则 AB=（）A

2、.B.()0,3 C.(0,5 D.)1,3 2.已知()2i5z+=，则 z=（）A.2 B.5 C.3 D.4 3.过()()()1,2,3,2,1,6ABC三点圆的标准方程为（）A.22(2)(2)9xy+=B.22(1)(2)17xy+=C.22(1)(1)9xy+=D.22(2)(2)17xy+=4.某次公益教育活动中有三个班级的授课任务，现有甲乙丙丁 4 名老师报名参加，每个班级仅需要 1 名老师，每名老师最多在一个班级授课，若甲不能到第一个班级授课，则不同的安排方法共有（）A.18 种 B.32 种 C.22 种 D.36 种 5.已知正项等比数列 na的前n 项和为345,1,

3、6nSaaa=+=，则6S=（）A.612 B.14 C.634 D.632 6.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书中出现，其分布规律如图所示，记图中第i 行第 j 列的元素为,i ja，则10,6a的值为（）学科网（北京）股份有限公司 A.210 B.84 C.126 D.106 7.近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度 y（单位：米）与其存活时间 x（单位：年）近似满足函数模型：()13N12 xyx+=+.当该种果树的根茎长度大于2.9 米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的

4、水分和养料从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（）A.4 B.5 C.6 D.7 8.棱长为 2 的正方体，以上下底面中心的连线为对称轴旋转0,2 角度后与原正方体公共区域的体积为 203，则sincos+=（）A.75 B.95 C.1713 D.363+二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分.9.已知函数()13sincos(0)22f xaxx a=+的最大值为 3，则（）A.3a=B.()f x 在区间,3 3上单调递增 C.()yf

5、x=的图象关于点 5,06对称 D.曲线()yf x=的对称轴方程为,4xkk=+Z 10.已知 3nxx的展开式中第 4 项与第 5 项的二项式系数相等，则（）A.7n=B.所有项的系数和为 128 学科网（北京）股份有限公司C.常数项为 945 D.5x 的系数为 21 11.对于对称轴不为坐标轴的圆锥曲线，我们可以通过线性换元法来判断它的形状，如曲线221:1Cxxyy+=，我们令 xuvyuv=+=，可以将1C 转化为2231uv+=，进而得知曲线1C 的形状是椭圆；再如()22:(1)41Cyx=，我们令11xuyv=+=+，可以将2C 转化为24vu=，进而得知曲线2C 的形状是抛

6、物线.根据以上信息，下列说法正确的是（）A.曲线221:(1)1Exy=的形状是双曲线 B.曲线222:20Exxyyxy+=的形状是椭圆 C.曲线223:332221Exyxyxy+=的形状是椭圆 D.若曲线224:1Exaxyyxy+=的形状是双曲线，则a 的取值范围是()(),22,+三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.样本数据5,12,7,11,23的 40%分位数为_.13.函数()()()()32231,0,1xf xxx+=+的最大值为_.14.某省要求高考考场内最多安排 30 个座位，某地考点拟每个考场采用 7788 的行列分布座位（如图），则考生甲

7、与考生乙既不前后相邻，也不左右相邻的坐法共有_种.讲台 前门 1 16 17 30 2 15 18 29 3 14 19 28 4 13 20 27 5 12 21 26 6 11 22 25 7 10 23 24 后门 8 9 学科网（北京）股份有限公司四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明证明过程及演算步骤.15.（13 分）已知 ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c，且()sincos6ABC=+.（1）求 A；（2）若2 3,19bc a=，求 sinCa.16.（15 分）已知正项数列 na的前n 项和为nS，数列nSn和1nnSa+是公差分

8、别为 1 和 12的等差数列.（1）求 na的通项公式；（2）证明：()()()112211112333nnaSaSaS+.（1）若()()()u xf xg x=+，证明：102u；（2）若()()()(),24u xf xh xf=，且()0u x ，求k 的取值范围.19.（17 分）已知抛物线2:2(0)E ypx p=的准线方程为1x=，过点(),1P t作两条不重合的直线 1l 和21,l l 与 E 交于,A B 两点，2l 与 E 交于,C D 两点，且3,3BPAP CPDP=.设 AB 中点为,M CD 中学科网（北京）股份有限公司点为,N MN 中点为Q.（1）求 E 的

9、方程；（2）证明：Q 在定直线上，且 MN 的斜率为定值.2024 年上学期高二 3 月大联考数学参考答案提示及评分细则 1.【答案】D【解析】由题意可得15,03AxxByy=，则22142094320,4,4,9,4490,1 3660DEFDEFDEFxyxyDEF+=+=+=+=其标准方程为22(2)(2)17xy+=，故选 D.4.【答案】A【解析】若甲老师去第一个班级授课，则不同的安排方法有2232C A6=种，若对甲老师授课班级不限制，则不同的安排的方法有3343C A24=种，故安排方法共有24618=种，故选 A.5.【答案】C 学科网（北京）股份有限公司【解析】记等比数列

10、na的公比为()0q q，由题可知21341116a qa qa q=+=，解得1142aq=或1193aq=（舍去），所以()661 1 26341 24S=，故选 C.6.【答案】C【解析】由已知可得()()()1,110,61!C,126!1!ji jiiaaijj=，故选 C.7.【答案】C【解析】易知()1312 xyx+=+N 在)0,+上单调递增，()()4534833252.9,62.912171211ff=+，即()()52.96ff，则点O 到l 的距离为d=2|111 cos1 sin1,:(tan),1,1,coscossincos1tanmml yxBC=+11 co

11、ssinsincos11112sincossin cosABCDOS+=，sincos120sincos152 48,sin cos3sin cos6ABCDOVS+=共.令sincost+=，则()()22211257sin cos1,21165ttttt=+，故选 A.学科网（北京）股份有限公司9.【答案】BC【解析】因为()f x 的最大值为 3，所以2213322a+=，解得2a=，故 A 错误；()33 sincos3sin,2263 3f xxxxx=+=+时，,66 2x+，是sinyx=的增区间，故 B 正确；53sin06f =，故 C 正确；令,62xkk+=+Z，可得曲线

12、()yf x=的对称轴方程为,3xkk=+Z，故 D 错误.10.【答案】ABD【解析】因为第 4 项与第 5 项的二项式系数相等，所以34CCnn=解得7n=，故A 正确；令1x=，可得展开式中所有项的系数和为72128=，故 B 正确；在73xx中，第1r+项777271771C 3()C 3(1)rrrrrrrrrTxxx+=，取270r=，即72r=N，所以不存在常数项，故 C 错误；取275r=，即6r=，所以6165577C 3(1)21Txx=，所以5x 的系数为 21，故 D 正确，故选 ABD.11.【答案】AC【解析】令1xuyv=+=，则1E 转化为221uv=，其形状为

13、双曲线，故 A 正确；令 xuvyuv=+=，则2E 转化为22uv=，其形状为抛物线，故 B 错误；令 xuvyuv=+=，则3E 转化为22(21)412vu+=，再令12umvn=，则曲线3E 转化为22421mn+=，其形状为椭圆，故 C 正确；令 xuvyuv=+=，则4E 转化为()()22132222aaua vaa+=+，当 2a=或2a=时均不符合题意，再令12muanv=+=，则4E 转化为()()223222aa ma na+=+，若3a=，则2250nm=不为双曲线；若3a ，则()()220aa+或2a+.令()0fx，解得()0,1x；令()0fx，解得()1,x+

14、，故()f x 在区间()0,1 上单调递增，在()1,+上单调递减，所以()max()12f xf=，故答案为 2.14.【答案】774【解析】本题考查学生在具体情景下对排列组合多情况分类讨论以及计算能力，根据给出的考场排布图可以看出位置与位置之间具有共性，是可以等效的，所以分三种情况：1 30 8 9 24位置等效，有11527C C135=种情况.位于边界但不处于中位置的位置等效，有111426C C364=种情况.不位于所说位置的位置等效，有111125C C275=种情况，全部相加得到答案为 774 种.15.【解析】（1）由已知得()sincos 6AA=，即sincos6AA=，

15、即sin coscos sincos66AAA=，即3tan3A=，因为()0,A，所以56A=.（2）由余弦定理得，2222213193cos224 3bcacAbcc+=，解得1c=，由正弦定理得，11sinsin1 22aCcA=.16.【解析】（1）由题意知112112121121121aaaaaaaa+=+=+，解得1213aa=.学科网（北京）股份有限公司故()11nSnn=+，所以()21,212nnnnSnaSSnn=，又11a=也满足，故21nan=.注：如果考生只代入1,2n=的特殊情况得出答案，最多得 4 分.（2）由（1）得()()111112113nnn nn naS

16、=+，累加可得得()()()11221111111212333nnnaSaSaS+=，得2332.方法一：则 2233，因为函数23xy=单调递减，所以，由幂函数 yx=的性质可知，0，所以.()()()u xf xg x=+.因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以1111,2222ffgg=，则1111122222ufg=.因为，因此102u.（2）因为()224f=，所以()()()22,lnu xf xh xxkx=.显然0k.当0k 时，()u x 的定义域为()()21210,22kxuxxxkxxx+=，令()0ux=解得22x=（负根舍 去）.当202x时，()0u

17、x时，()0ux.所以()u x 在20,2单调递减，在2,2+单调递增，故()u x 的最小值为212ln222ku=.因为()0u x ，所以 12ln022k，解得2ek，所以02ek 符合题意.学科网（北京）股份有限公司当0k 时，()u x 的定义域为()()2121,0,22kxuxxxkxxx=，令()0ux=解得22x=（正根舍去）.当22x 时，()0ux；当()20,02xux.所以()u x 在2,2单调递减，在2,02单调递增，故()u x 的最小值为212ln222ku=.因为()0u x ，所以12ln022k，解得2ek，所以2e0k符合题意.综上所述，k 的取值

18、范围为)(2e,00,2e.19.【解析】（1）因为准线方程为1x=，所以2p=，所以 E 的方程为24yx=.（2）设()()112212,B x yA xyyy，由3BPAP=可得()12131yy=，所以1234yy+=，设 111222:,:lxm yn lxm yn=+=+，联立24yx=和11xm yn=+，得211440ym yn=.12112144yymy yn+=，所以1124ymy=，又因为1234yy+=，所以()()1112121112162,424,4226222,ymmyy ynmmym=+=，又由11ntm=，可化简得2113310mmt+=，同理可得2223310mmt+=，所以1m 和2m 是方程23310mmt+=的两个根，所以()212121211211111,224223tmmm mxxmyytmmmt+=+=+=+，2112Mxmmt=+，同理得222122,2,2NMNxmmt ym ym=+=，所以()1222MNyymm+=+=，所以Qy=1，点Q 在定直线1y=上.()122211221222222221MNMNMNyymmkxxmmtmmtmm=+，所以直线 MN 的斜率为定值 2.