高中数学基础知识考点.pdf

1、专题 01 三角函数与三角恒等变换【命题规律】高考对三角恒等变换、三角函数图象和性质的考查，往往在通过小题考查的同时，在大题中将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查.具体的，先利用三角公式将三角函数式化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档为主.主要考查数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养.在解题过程中,要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性,注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法,灵活地实现问题的转化.【知识技能方法】1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ)函数y

2、sin xycos xytan x图象定义域RR|,2x xkkZ值域 1,1RR周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(,0)k(,0)2k(,0)2k对称轴方程2xkxk无2三角函数的周期性(1)函数sin()yAx的最小正周期2|T应特别注意函数|sin()|yAx的周期为|T，函数|sin()|yAxb(0b)的最小正周期2|T(2)函数cos()yAx的最小正周期2|T应特别注意函数|cos()|yAx的周期为|T函数|cos()|yAxb(0b)的最小正周期均为2|T 第1页,共40页(3)函数tan()yAx的最小正周期|T应特别注意函数|tan()|yAx|的周期为|T，函

3、数|tan()|yAxb(0b)的最小正周期均为|T3三角函数的奇偶性(1)函数sin()yAx是奇函数k(kZ)，是偶函数2k(kZ)；(2)函数cos()yAx是奇函数2k(kZ)，是偶函数k(kZ)；(3)函数tan()yAx是奇函数k(kZ)4三角函数的对称性(1)函数sin()yAx的图象的对称轴由2xk(kZ)解得，对称中心的横坐标由xk(kZ)解得；(2)函数cos()yAx的图象的对称轴由xk(kZ)解得，对称中心的横坐标由2xk(kZ)解得；(3)函数tan()yAx的图象的对称中心由2kxkZ)解得5两角和与差的正弦、余弦、正切公式C()cos()coscossinsinC

4、()cos()coscossinsinS()sin()sincoscossinS()sin()sincoscossinT()tantantan()1tantan变形：tantantan()(1tantan)T()tantantan()1tantan；变形：tantantan()(1tantan)6辅助角公式：22sincossin()axbxabx，（其中 tanba）；7二倍角公式 第2页,共40页S2sin 2x2sinxcosx；变形：1sin 2x(sinxcosx)2，1sin 2x(sinxcosx)2C2cos 2xcos2xsin2x2cos2x112sin2x；变形-降幂公式

5、：21cos2sin2xx21cos2cos2xxT222tanxtan 21tanxx8.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：22()1sincosR(2)商数关系：(sintan,)2kkZcos=.9.应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用(2)对给定的式子进行化简或求值问题要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错10.“sincossincos，”关系的应用2(

6、1)2sincossincos，2()12sincossincos，21()2sincossincos.因此在解题中已知 1 个可求另外 2 个11.解决三角函数综合问题的一般步骤第一步：将()f x 化为sincosaxbx的形式第二步：构造222222()(sincos)abf xabxxabab.第三步：和角公式逆用，得22()sin()f xabx(其中为辅助角)第四步：利用22()sin()f xabx研究三角函数的图象与性质第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 第3页,共40页专题 02 解三角形【命题规律】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题

7、的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查正弦定理、余弦定理以及解三角形问题，主要考查：1边和角的计算2三角形形状的判断3周长、面积的计算4有关的最值、范围问题.5.平面几何（三角形中线）问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视，在新高考中很多题目开始以开放性题型命.由于 2019 版 A 版教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量的结合考查大概率上升.无论怎样都离不开与三角恒等变换的结合.预测试题难度控制在中等或中等以上，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想【知识技能方法】1、正弦

8、定理及其变形12 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC（）(边化角公式）2 sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3:sin:sin:sina b cABC（）2、余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab3、常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）BcaAbcCabS ABCsin21sin21sin21（两边夹一角）；第4页,共40页4、基本不等式2abab222abab5、向量化(三角形中线问题）如图在 AB

9、C中，D 为CB 的中点，2ADACAB(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）6仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)7方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)8方向角：相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似9在ABC 中，常有以下结论：（1）ABC.（2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.（3）sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC；si

10、n2AB12cos 2C；第5页,共40页cos2ABsin 2C.（4）三角形中的射影定理在ABC 中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB.10解三角形的基本元素的计算(1)已知三边 a，b，c.运用余弦定理可求三角 A，B，C.(2)已知两边 a，b 及夹角 C.运用余弦定理可求第三边 c.(3)已知两边 a，b 及一边对角 A.先用正弦定理，求 sinB，sinBsinbAa.A 为锐角时，若 absinA，无解；若 absinA，一解；若 bsinAab，一解.(4)已知一边 a 及两角 A，B(或 B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边.11.

11、判断三角形形状的两种思路（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用ABC这个结论.12.三角形面积公式的应用原则（1）对于三角形面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.13.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤（1）分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图.（2）建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.（3）求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形

12、，求得数学模型的解.（4）检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.14.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三角恒等变形化简三角函数式进行解三角形.(2)解三角形与三角函数图象与性质的综合应用.15.平面几何中解三角形问题的求解思路（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理 第6页,共40页求解.（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.提醒：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.16.解三

13、角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.（1）求角的三角函数值的最值：关键是熟练地运用余弦定理、两角差的正余弦公式以及辅助角公式.（2）求边的最值：边的最值一般通过三角形中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解.有时也可利用均值不等式求解.（3）利用三角函数的有关公式，结合三角形的面

14、积公式及正、余弦定理，将问题转化为边或角的关系，利用函数或不等式是一种解决此类问题的常规方法.第7页,共40页专题 03 数列之通项问题【命题规律】数列问题是高考的必考内容，主要考查：1等差等比数列的证明2数列求通项3数列求和4数列不等式问题.5.与概率、导数结合问题在新高考中开放性题型命题值得关注【知识技能方法】1、2,111nSSnSannn，说明：此公式考点为两个方向：方向一，1(2)nnnaSSn即在求通项问题中，用na 替换题目中的1nnSS；此考点为主要考点；方向二：1(2)nnnSSan，即在求通项问题中，用1nnSS 替换题目中的na，此法和方向一刚好是反方向的；此考点出现频率

15、较少。2.累加法（叠加法）若数列 na满足)()(*1Nnnfaann，则称数列 na为“变差数列”，求变差数列 na的通项时，利用恒等式)2()1()3()2()1()()()(1123121nnffffaaaaaaaaannn求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：21(1)aaf32(2)aaf43(3)aaf1(1)nnaaf n将上述1n 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：2132431()()()()nnaaaaaaaa=(1)(2)(3)(1)ffff n整理得：1naa=(1)(2)(3)(1)ffff n3.累乘法（叠乘法）第8页,共40页若数列 na满足)()(*1Nn

16、nfaann，则称数列 na为“变比数列”，求变比数列 na的通项时，利用)2()1()3()2()1(113423121nnffffaaaaaaaaaaannn求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：21(1)afa 32(2)afa 43(3)afa 1(1)nnaf na 将上述1n 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：2341231(1)(2)(3)(1)nnaaaaffff naaaa 整理得：1(1)(2)(3)(1)naffff na 4.构造法类型 1：用“待定系数法”构造等比数列形如pkaann1（pk,为常数，0kp）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为)(1makm

17、ann（其中：1 kpm），由此构造出新的等比数列man，先求出man 的通项，从而求出数列 na的通项公式。类型 2：用“同除法”构造等差数列（1）形如)(*11Nnqpqaannn，可通过两边同除1nq，将它转化为pqaqannnn11，从而构造数列nnqa为等差数列，先求出nnqa的通项，便可求得 na的通项公式。（2）形如)0(11kakaaannnn，的数列，可通过两边同除以nn aa1，变形为kaann111 第9页,共40页的形式，从而构造出新的等差数列na1，先求出na1的通项，便可求得 na的通项公式5.用“倒数变换法”构造等差数列类型 1：形如qpaqaannn1（qp,为

18、常数，0pq）的数列，通过两边取“倒”，变形为qpaann111，即：qpaann111，从而构造出新的等差数列na1，先求出na1的通项，即可求得na.类型 2：形如1nnnkaapaq（qp,为常数，0p，0q，0k）的数列，通过两边取“倒”，变形为111nnqpak ak，可通过换元：1nnba，化简为：1nnqpbbkk（此类型符合专题四类型 1：用“待定系数法”构造等比数列：形如pkaann1（pk,为常数，0kp）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为)(1makmann（其中：1 kpm），由此构造出新的等比数列man，先求出man 的通项，从而求出数列 na的通项公式。）第1

19、0页,共40页专题 04 数列之综合问题【命题规律】数列问题是高考的必考内容，主要考查：1等差等比数列的证明2数列求通项3数列求和4数列不等式问题.5.与概率、导数结合问题在新高考中开放性题型命题值得关注【知识技能方法】（一）求和公式1.等差数列的前 n 和的求和公式：11()(1)22nnn aan nSnad.2等比数列前 n 项和公式一般地，设等比数列123,na a aa的前 n 项和是nS123naaaa，当1q时，qqaSnn1)1(1或11nnaa qSq；当1q 时，1naSn（错位相减法）.3.数列前 n 项和重要公式：（1）1nkk1 23n 2)1(nn（2）1(21)n

20、kk1 3521n 2n（3）31nkk2333)1(2121nnn（4）21nkk)12)(1(613212222nnnn等差数列中，m nmnSSSmnd；等比数列中，nmm nnmmnSSq SSq S.（二）常见数列求和问题1.倒序相加法，即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则 第11页,共40页可使用倒序相加法求数列的前n 项和（满足mn maaA（A 为常数）的数列）.2.分组求和法，如果一个数列可写成nnncab的形式，而数列 na，nb是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求

21、和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。(2)常见的裂项技巧类型)11(1)(1knnkknn特别注意nnnnknnnnk111)1(1,1;111)1(1,1类型)(11nknknkn类型)121121(211412nnn（尤其要注意不能丢前边的 21）理论上来讲像形如)(11(11qpqppqpq其中都可以裂项的像)11(1)(1CAnBAnBCCAnBAn也是这种类型类型)2)(1(1)1(1(21)2)(1(1nnnnnnn类型kkkknnnnn112121)2)(2(24错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即

22、可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列 nc的通项公式nnncab，其中 na、nb中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和这种方法叫 q 倍错位相减法易错提醒：（1）错位相减过程中最后一项是“”，易错为把原来的“”抄下来；第12页,共40页（2）错位相减后，其中一部分构成新的等比数列，应避免等比数列项数数错或漏掉其余的项；5.奇数项、偶数项讨论法.第13页,共40页专题 05 立体几何之线面角问题【命题规律】利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主

23、要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.【知识技能方法】（一）直线与平面所成的角1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的

24、一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.如图，直线l 是平面 的一条斜线，斜足为 M，斜线上一点 A 在平面 上的射影为O，则直线 MO 是斜线l 在平面 上的射影.2、直线和平面所成角：（有三种情况）（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角.由定义可知：斜线与平面所成角的范围为 0,2；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为 2；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为 0.结论：直线与平面所成角的范围为 0,2.3、向量法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向

25、向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；第14页,共40页(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.（3）设直线l 的方向向量为a，平面 的一个法向量为n，直线l 与平面 所成的角为，则cos,|a na na n ，sin|cos,|a n .第15页,共40页专题 06 立体几何之二面角问题【命题规律】利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是

26、主要命题方向空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.【知识技能方法】1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点 P，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线 PA、PB,则APB称为二面角的平面角。2、二面角的范围：0,3、向量法求二面角平面角（1）如图，AB，CD 是二

27、面角l 的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD （2）如图，1n，2n分别是二面角l 的两个半平面,的法向量，则二面角的大小 满足：121212cos,|nnn nnn ；12coscos,n n ，二面角的大小12,n n (或12,n n )第16页,共40页（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角）第17页,共40页专题 07 解析几何之“三定”问题【命题规律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆

28、锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与抛物线和椭圆的位置关系问题，椭圆出现的更多，近年出现了直线与双曲线位置关系或与圆综合的题目，难度、位置比较稳定；命题的主要特点有：一是结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程（轨迹方程），进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究直线方程、斜率、弦长、图形面积等，比如中点弦（弦中点）问题、定点问题、定值问题、定直线问题、范围与最值问题、探索性问题等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强

29、，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题.【知识技能方法】（一）常用的计算弦长的公式:1.若直线 AB 的方程设为,),(,2211yxByxAmkxy则akxxxxkxxkAB221221221214112.若直线 AB 的方程设为,),(,2211yxByxAtmyx,则amyyyymyymAB22122122121411注:其中 a 指的是将直线的方程代入圆锥曲线方程后,化简得出的关于 x 或 y 的一元二次方程的平方项系数,指的是该方程的判别式.通常用akAB21或amAB21计算弦长较为简便 第18页,共40页（二）中点弦问题与“点

30、差法”设直线与圆锥曲线交于BA,两点，AB 中点为 M，这类与圆锥曲线的弦和弦中点有关的问题，一般叫做中点弦问题，点差法是解决中点弦问题的重要方法.其解题的一般步骤是：（1）设BA,两点的坐标分别为 11 yxA,、22 yxB,；（2）代入圆锥曲线的方程；（3）将所得方程作差，结合中点公式222121yxxyyyMM、斜率公式2121xxyykAB等化简，得出结果.（三）在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为定值问题对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用1.探索圆锥曲线的定值问题

31、常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2.解题的一般步骤为:（1）设出直线的方程bkxy或tmyx、点的坐标;（2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距离等)表示成直线方程中引入的变量，通过计算得出目标变量为定值3.常考题型：面积有关的定值问题；与角度有关的定值问题；与比值有关的定值问题；与参数有关的定值问题；与斜率有关的定值问题（四）证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中的一类重要题型,这类问题解题一般有两种解法.第19页,共40页方法 1：设直线

32、，求解参数，一般的解题步骤为：(1)设出直线的方程bkxy或tmyx；(2)通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,找到 k 和mb,和t 的关系，或者解出tb,的值；(3)根据(2)中得出的结果,找出直线过的定点.方法 2：求两点，猜定点，证向量共线.一般的解题步骤为：(1)通过题干条件，求出直线上的两个点BA,的坐标(含参)；(2)取两个具体的参数值，求出对应的直线 AB，并求出它们的交点 P，该点即为直线过的定点；(3)证明 PA 与 PB 共线，得出直线 AB 过定点 P.注：上面的两个解法中，解法 2 的计算量通常要大一些，故一般首选解法 1.当解法 1 失效或处理起来较为复杂时再考

33、虑解法 2.（五）解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；利用条件找到 过定点的曲线 之间的关系，得到关于 与 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.第20页,共40页专题 08 解析几何之最值与范围问题【命题规律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是

34、对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与抛物线和椭圆的位置关系问题，椭圆出现的更多，近年出现了直线与双曲线位置关系或与圆综合的题目，难度、位置比较稳定；命题的主要特点有：一是结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程（轨迹方程），进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究直线方程、斜率、弦长、图形面积等，比如中点弦（弦中点）问题、定点问题、定值问题、定直线问题、范围与最值问题、探索性问题等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，

35、综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题.【知识技能方法】1、解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围2.求最值(范围)问题解题的一般步骤是：(1)设出直线的方程bkxy

36、或tmyx、点的坐标；(2)将直线的方程代入圆锥曲线中,计算弦长、点到直线的距离等中间量；(3)将求范围的目标量表示成直线中引入的参数的函数关系式;第21页,共40页(4)运用函数、均值不等式等基本方法求出最值(范围).(5 范围问题:首选均值不等式，其次用二次函数，最后选导数.3.均值不等式222(,)abab a bR变式：22(,);()(,)2ababab a bRaba bR作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”4.圆锥曲线问题常用到的均值不等式形式：（1）222

37、6464tSttt（注意分0,0,0ttt三种情况讨论）（2）224222121212333196123696kABtkkk 当且仅当2219kk时，等号成立（3）2222200002222000025925934259342 25964925925yxyxPQxyxy 当且仅当22002200259259925yxxy时等号成立.（4）22222131111812(8)222222223mmmSmmm当且仅当228mm 时，等号成立(5)222112222211112222221221(21)22 2 14 24 22 21212121kmmmkmkmmSkkkkk 当且仅当221212km

38、 时等号成立.第22页,共40页专题 09 解析几何之探索性问题【命题规律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与抛物线和椭圆的位置关系问题，椭圆出现的更多，近年出现了直线与双曲线位置关系或与圆综合的题目，难度、位置比较稳定；命题的主要特点有：一是结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程（轨迹方程），进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定

39、义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究直线方程、斜率、弦长、图形面积等，比如中点弦（弦中点）问题、定点问题、定值问题、定直线问题、范围与最值问题、探索性问题等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题.【知识技能方法】（一）探索、存在性问题1存在性问题的解法：2先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在要注意的是：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论

40、；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.3.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值4.解题的一般步骤为:（1）设出直线的方程bkxy或tmyx、点的坐标;（2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距 第23页,共40页离等)表示成直线方程中引入的变量，通过计算得出目标变量为定值（二）三点共线问题1.处理方法一般来说有三个：斜率相等

41、；向量共线；先由其中两点确定直线方程，证明其过第三点.2.证明三点共线问题的解题步骤：（1）求出要证明共线的三点的坐标；（如果已给出，则无需这一步）（2）运用斜率相等或向量共线来证明三点共线，或先由其中两点确定直线方程，证明其过第三点特别提醒：三点共线问题的两个处理方法中，向量共线往往更方便，因为无需考虑斜率不存在的情形，所以大题一般用向量共线，小题用斜率相等。（三）求轨迹方程的方法：1.定义法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2.直译法：如果动点 P 的运动规律是否合乎

42、我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的坐标(,)x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立 P 点坐标,x y 与该参数t 的函数关系()xf t，()yg t，进而通过消参化为轨迹的普通方程(,)0F x y.4.代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)P x y，用(,)x y 表示出

43、相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。第24页,共40页5.点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x yB xy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12xx，12yy，12xx，12yy等关系式，由于弦 AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122xxx，122yyy且直线 AB 的斜率为2121yyxx，由此可求得弦 AB 中点的轨迹方程.第25页,共40页专题 10 导数之恒成立问题【命题规律】导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值

44、与最值、函数的零点等解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势其中涉及不等式恒成立问题是常见类型题目之一.【知识技能方法】1利用导数研究函数的单调性在(,)a b 内可导函数()f x，()fx 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于 0.()0()fxf x在(,)a b 上为增函数()0()fxf x在(,)a b 上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其它点的函数值都小，f(

45、a)0，而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的

46、最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值4、与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理 第26页,共40页()f xa：minmaxmax()()()f xaf xaf xa恒成立有解无解5.分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下

47、，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题有时需要构造新函数，通过借助导函数，求出新构造函数的最大（小）值；往往涉及到二阶导数.（1）一般地，若不等式 af(x)恒成立，a 的取值范围是 af(x)max；若不等式 af(x)恒成立，则 a 的取值范围是 af(x)min（2）含参数的不等式()()f xg x恒成立、有解、无解的处理方法：()yf x的图象和()yg x图象特点考考虑；构造函数法，一般构造()()()F xf xg x，转化为()F x 的最值处理；参变分离法，将不等式等价变形为()ah x，或()

48、ah x，进而转化为求函数()h x 的最值.第27页,共40页专题 11 导数之零点问题【命题规律】导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势其中涉及函数零点问题是常见类型题目之一，主要有零点的确定、零点所在区间的判断、零点个数的判断、根据零点的存在或零点个数确定参数（参数的范围）、根据零点情况证明不等式等.【知识技能方法】1利用导数确定函数零点的常用方法(1

49、)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数2.利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数()ag x)后，将原问题转化为()yg x的值域(最值)问题或转化为直线ya与()yg x的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解3.零点个数问题讨论函数零

50、点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零点存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数.4.隐零点问题“隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题我 第28页,共40页们称这类问题为“隐零点”问题处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等。第29页,共40页专题 12 导数之不等式

51、问题【命题规律】导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势其中涉及不等式的证明问题是常见类型题目之一，主要有函数值或函数之间、零点之间、极值点之间、参数之间等不等式证明问题.另外还有类型如：不等式恒成立求参数（参数范围）、不等式有实数解，求参数的取值范围等【知识技能方法】一、不等式的证明对策 1：移项作差构造法待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构

52、造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证.对策 2：特征分析法这种方法往往要在前面问题中证明出某个不等式，在后续的问题中应用前面的结论，呈现出层层递进的特点.对策 3：隔离分析法若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.对策 4：破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.二、不等式恒成立问

53、题不等式恒成立问题的求解策略1已知不等式 f(x，)0(为实参数)对任意的 xD 恒成立，求参数的取值范围.利用导数解决此类问题可以运用分离参数法.2如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a0，0 或 a0，0)为参数，我们称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质：曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 x对称；曲线在 x处达到峰值12；曲线与 x 轴之间的面积为 1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形

54、状由确定，越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小曲线越“瘦高”总体分布越集中，如图乙所示：第36页,共40页甲乙2正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作 N(，2)如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 XN(，2)3正态总体三个特殊区间内取值的概率值P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；P(3X3)0.997443原则通常服从正态分布 N(，2)的随机变量 X 只取(3，3)之间的值八.利用均值、方差进行决策的方略随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据

55、一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断(2)若两随机变量均值相同或相差不大则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策 第37页,共40页专题 14 统计案例【命题规律】1.命题的考查重点有：（1）统计图表；（2）频率分布图、表及其应用；（3）回归分析；（4）独立性检验的应用2.从命题类型看，小题多独立考查统计图表的辨识，考查平均数、方差等数字特征的概念或简单计算；大题有以下类型，一是独立考查回归分析的应用、独立性检验的应用，二是将二者综合考查，三是将回归分析的应用、独立性检验的应用之一与随机

56、变量的分布列综合考查.【知识技能方法】一.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系体现的不一定是因果关系.(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关二两个变量的线性相关1.从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线2.回归方程为ybxa，其中1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，a

57、ybx3.求最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法 第38页,共40页4.相关系数：当 r0 时，表明两个变量正相关；当 r0 时，表明两个变量负相关r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强r 的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系通常|r|大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性5.技能方法（1）求线性回归方程利用公式，求出回归系数b，a.待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数（2）利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值（3）利用回归直线判断正、负相关，决定正相

58、关还是负相关的是系数b.（2）模型拟合效果的判断残差平方和越小，模型的拟合效果越好相关指数 R2 越大，模型的拟合效果越好回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于 1 时，两变量的线性相关性越强三独立性检验1.22 列联表设 X，Y 为两个变量，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(22 列联表)如下：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd2.独立性检验利用随机变量 K2(也可表示为2)的观测值22()()()()()n adbcKa b c d a c b d(其中 nabcd 为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验独

59、立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断3.技能方法（1）比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 第39页,共40页通过计算 K2 的大小判断：K2 越大，两变量有关联的可能性越大通过计算|adbc|的大小判断：|adbc|越大，两变量有关联的可能性越大（2）独立性检验的一般步骤根据样本数据制成 22 列联表根据公式 K2nadbc2abacbdcd，计算 K2 的观测值 k.比较观测值 k 与临界值的大小关系，作统计推断【常用结论】1求解回归方程的关键是确定回归系数a，b，应充分利用回归直线过样本中心点(x，y)2根据 K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若 K2越大，则两分类变量有关的把握越大3根据回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值 第40页,共40页