2024届广州执信中学高三第二次调研数学试卷.pdf

1、试卷第 1 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司广州市执信中学 2024 届高三第二次调研数学本试卷共 22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟.一单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1“cos0 且sin 20”是“为第四象限角”的（）A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 2在复平面内，复数32i,23i+对应的向量分别是,OA OB，其中O 是坐标原点，则向量 AB 对应的复数为（）A1 i+B5i C53i D 5i+3已知集合Ax xa=C1a a D1a a

2、”的否定是“Zx，20 x”C若不等式20 xaxb+的解集是()3,2D“(3,0k ”是“不等式23208kxkx+对一切 x 都成立”的充要条件 11“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知 M 是 ABC内一点，,BMCAMCAMB的面积分别为,ABCSSS，且0ABCSMASMBSMC+=.以下命题正确的有（）试卷第 3 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司A若:1:1:1ABCSSS=，则 M 为 AMC的重心 B若 M 为 ABC的内心，则0BC MAAC

3、MBAB MC+=C若45,60BACABC=，M 为 ABC的外心，则:3:2:1ABCSSS=D若 M 为 ABC的垂心，3450MAMBMC+=，则6cos6AMB=12小明热爱数学，九章算术几何原本数学家的眼光奥赛经典高等数学都是他的案头读物一日，正翻阅高等数学，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数()f x 在区间 I 有定义，且对1x，2xI，12xx，若恒有()()121222f xf xxxf+，则称函数()f x 在区间 I 上“严格上凸”现已知函数()21elnln212xf xxxx=，()fx为()f x 的导函数，下列说法正确的是（）注：e为自然对数的底数，e2.71

4、8，ln 20.693 A()fx有最小值，且最小值为整数 B存在常数01,12x，使得()f x 在()00,x“严格下凸”，在()0,x+“严格上凸”C()f x 恰有两个极值点 D()f x 恰有三个零点 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13在3456(1)(1)(1)(1)xxxx+的展开式中，含3x 的项的系数是 .（用数字作答）14应越共中央总书记阮富仲越南国家主席武文赏邀请，中共中央总书记中国国家主席习近平于 2023 年12 月 12 日至 13 日对越南进行国事访问，期间，共同探讨了经济政治等领域的诸多问题，构建了具有战略意义的中越命运共同体，访问受到了越南

5、各层各界的隆重欢迎，引起了全世界的广泛关注.“访越南”三个汉字的笔画数，经过适当调整能构成一个等差数列，则此等差数列的公差为 .15过双曲线22124yx=的右支上一点 P，分别向()221:54Cxy+=和()222:51Cxy+=作切线，切点分别为,M N，则22PMPN的最小值为 .试卷第 4 页，共 5 页 16已知正三棱台的高为 1，上下底面的边长分别为3 3 和 4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本题 10 分）在 ABC中，,a b c 分别是 ABC的内角,A B C 所

6、对的边，且 sinsinsinsinbacACBC=+.(1)求角 A 的大小；(2)若1sinsin4BC=，2bc=，求边a.18（本题 12 分）已知数列 na满足*1111,22nnaana+=N.(1)证明：数列11na是等差数列，并求数列 na的通项公式；(2)记1(1)nnnnbaa=，求数列 nb的前n 项和nS.19（本题 12 分）如图，在五边形 PADCB 中，四边形 ABCD 是梯形24ABCDABBCABCDPAB=，是等边三角形将 PAB沿 AB 翻折成如图所示的四棱锥(1)求证：PDDC；(2)若 BC 平面 PAB，且1BC=，求平面 PBD 与平面 PAD 所

7、成二面角的正弦值 20（本题 12 分）2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日、第 19 届亚运会在中国杭州举行树人中学高一年级举办试卷第 5 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司了“亚运在我心”乒乓球比赛活动比赛采用21n 局 n 胜制()*Nn的比赛规则，即先赢下n 局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为 p，乙获胜的概率为1p，比赛结束时，甲最终获胜的概率nP (1)若1,22pn=，结束比赛时，比赛的局数为 X，求 X 的分布列与数学期望；(2)若采用 5 局 3 胜制比采用 3 局 2 胜制对甲更有利，即32PP，求 p 的取值范围 21（本题 12 分）设椭

8、圆 C1：2222xyab+=1（ab0）的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率是 12，已知 A 是抛物线 C2：y22px（p0）的焦点，F 到抛物线 C2的准线 l 的距离为 12 (1)求 C1的方程及 C2的方程；(2)设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 交 C1于点 B（异于点 A），直线 BQ 交 x 轴于点 D，若APD 的面积为62，求直线 AP 的斜率 22（本题 12 分）设函数()()2 eaxf xx=(1)若曲线()yf x=在点()()0,0f处的切线方程为30yxb+=，求 a，b 的值；(2)若当0 x 时，恒有()2f xx ，求实数 a 的

9、取值范围；(3)设*nN 时，求证：()()2222223521ln112231nnnn+因为在 ABC中，2221 34ACBCAB+=+=，所以 ABC是直角三角形，且90,60,30ACBAB=因为73CN=，所以点 N 在以点C 为圆心，73为半径的圆C 上 作CDAB于点 D，因为点C 到直线 AB 的距离3sin2CDACA=，且37123，所以点 M 在线段1N B 上 因为点 N 在 BCM内部，所以点 N 在弧23N N 上（不含点2N 和3N）答案第 2 页，共 12 页 设 AMA Mt=，当点 N 在点2N 时，223MNMNt=在 RtA MN中，222A MMNA

10、N+=，即222239tt=+，解得12t=当点 N 在点3N 时，3MNMN=在 RtA MN中，222A MMNA N+=，即22329tMN=+，则22329MNt=在3BMN中，372,3,303BMt BNB=，由余弦定理得2223332cosMNBMBNBM BNB=+，代入数据，解得213425t=，则ex，此时()h x 递增，令()0h x，则0ex，此时()h x 递减，()h x最小值为()11e,2e2eha=.故选：A.9AC 10BCD【详解】对于 A：当11,23xy=时，11231xy+=+=，但111236xy+=+=，故 A 错误；对于 B：修改量词，否定结

11、论可得命题的否定为：“Zx，20 x”，故 B 正确；答案第 3 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司对于 C：因为20 xaxb+，解得()3,2x，故 C 正确；对于 D：当0k=时，308恒成立，当0k 时，若不等式23208kxkx+对一切 x 都成立，则2034 208kkk=，解得()3,0k ，综上，(3,0k 时，不等式23208kxkx+对一切 x 都成立，所以“(3,0k ”是“不等式23208kxkx+对一切 x 都成立”的充要条件，故 D 正确；故选：BCD.11ABD【详解】对于 A，取 BC 的中点 D，连接,MD AM，由:1:1:1ABCSSS=，则0M

12、AMBMC+=，所以2MDMBMCMA=+=，所以 A，M，D 三点共线，且23ADMA=，设 E，F 分别为 AB，AC 的中点，同理可得23CMCE=，23BMBF=，所以 M 为 AMC的重心，故 A 正确；对于 B，由 M 为 ABC的内心，则可设内切圆半径为 r，则有111,222ABCSBC r SAC r SAB r=，所以 1110222r BC MAr AC MBr AB MC+=，即0BC MAAC MBAB MC+=，故 B 正确；答案第 4 页，共 12 页 对于 C，由 M 为 ABC的外心，则可设 ABC的外接圆半径为 R，又45,60BACABC=，则有290,2

13、120,2150BMCBACAMCABCAMBACB=，所以222111sinsin90222ASRBMCRR=，222113sinsin120224BSRAMCRR=，222111sinsin150224CSRAMBRR=，所以:2:3:1ABCSSS=，故 C 错误；对于 D，如图，延长 AM 交 BC 于点 D，延长 BO交 AC 于点 F，延长 CO交 AB 于点 E，由 M 为 ABC的垂心，3450MAMBMC+=，则:3:4:5ABCSSS=，又ABCABCSSSS=+，则4ABCASS=，3ABCBSS=，设,MDx MFy=，则3,2AMx BMy=，所以coscos23xy

14、BMDAMFyx=，即2232xy=，所以6cos6BMD=，所以()6coscos 6AMBBMD=，故 D 正确.答案第 5 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司故选：ABD 12ACD【详解】()21elnln212xf xxxx=，()lnln1eln1 2eln1 2e2xxxxxxxxxxfxxxxx+=，设()e1xg xx=，易得：()()e100 xg xxg=，所以()lneln1 2ln1 ln1 21xxxxxxxxfxxx+=，当ln0 xx+=时，等号成立，故 A 对;1x，2xI，12xx，若恒有()()121222f xf xxxf+，等价于切线一直在割

15、线上方，即()fx单调递减.即函数()f x 在区间 I 上“严格上凸”.设()()ln1e2xxh xfxxx=，()22221 ln1elnexxxxxh xxxx+=+=，易得2elnxxx+在()0,+为增函数.112211e4lne4ln 22.7184 0.693022h=+=，所以存在常数01,12x，()00h x=，使得()h x在()00,x上，()0h x，()h x 单调递增，即()fx单调递增,在()0,x+“严格下凸”.故 B 错误；由 B 知，()fx在()00,x上单调递减,在()0,x+上，单调递增()1e30f=，答案第 6 页，共 12 页()22ln 2

16、1152e22.7180.69302222f=，所以()f x 恰有两个极值点，故 C 正确；由 C 知，()f x 恰有两个极值点，设为12,x x，10202xxx，且01,12x，所以()f x 在()10,x 和()2,x+单调递减，()12,x x单调递增()220000111limlim elnln21limlnlnlimlnln10222xxxxxf xxxxxxxx=+，()1e3，所以函数()f x 在()110,1,1,22+各有一个零点，故 D 正确.故选：ACD 13 3514 31517【详解】由22124yx=，得212425c=+=，所以双曲线的焦点坐标为(5,0

17、)，由圆的方程知：圆1C 圆心的坐标为1(5,0)C，半径 12r=，圆2C 圆心的坐标为2(5,0)C，半径 11r=，,PM PN分别为两圆切线，22222222111222|4,|1PMPCrPCPNPCrPC=，()()2222121212|33PMPNPCPCPCPCPCPC=+，答案第 7 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司P为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为1212,2C CPCPC=，又121210PCPCC C+=（当为双曲线右顶点时取等号），()()221212|32 10317PMPNPCPCPCPC=+=，即22PMPN的最小值为17.故答案为：17.16 5

18、003【详解】由题意设三棱台为111ABCA B C，如图，上底面111A B C 所在平面截球所得圆的半径是11233 3332O A=，（1O 为上底面截面圆的圆心）下底面 ABC 所在平面截球所得圆的半径是1234 3432O A=，（2O 为下底面截面圆的圆心）由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O 在直线12O O 上，设球的半径为 R，当O 在线段12O O 上时，轴截面中由几何知识可得2222341RR+=，无解；当O 在12O O 的延长线上时，可得2222341RR=，解得225R=，得5R=，因此球的体积是3450033VR=.故答案为：5003.17【详解】（1）由 si

19、nsinsinsinbacACBC=+和正弦定理可得：bacacbc=+，整理得：222bcabc+=，答案第 8 页，共 12 页 由余弦定理得：2221cos22bcaAbc+=，因0180A，得 112p）的焦点，F 到抛物线2C 的准线l 的距离为 12，所以 2pa=，12ac=，解得：1a=，12c=，2p=，此时22234bac=.所以椭圆1C 的方程为：22413yx+=，抛物线2C 的方程为：24yx=.（2）如图：不妨设直线 AP 的方程为：1xmy=+（0m）联立11xmyx=+=解得：21,Pm ，可得21,Qm.联立221413xmyyx=+=，消去 x 并整理得：(

20、)223460mymy+=.答案第 11 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司解得：0y=或2634mym=+，所以222346,3434mmBmm+,可得直线 BQ的方程为：()222623421103434mmxymmmm+=+.令0y=解得：222332mxm=+，所以2223,032mDm+可得222223613232mmADmm=+.因为 APD的面积为62，所以2216262322mmm=+63m=63m=.所以直线 AP 的斜率：162km=.22【详解】（1）因为()()2 eaxf xx=，则()()e2 eaxaxfxa x=+，则()02f=，()01 2fa=，

21、即切点坐标为()0,2，斜率12ka=，由题意可得：23 001 23ba +=，解得1,2ab=.（2）令()()()22 e2axg xf xxxx=+=+，则()()()e2 e121 e1axaxaxgxa xaxa=+=+，由题意可知：当0 x 时，恒有()0g x，且()00g=，则()01 210ga=+，解得1a ，若1a ，则有：当 a，可知()2 e0axx+，令()41e2axh xx=+，因为41,e2axyyx=+在()0,+内单调递增，可得()h x 在()0,+内单调递增，则()()00h xh=，即()()()2 e0axg xxh x=+，符合题意；答案第 1

22、2 页，共 12 页 当0a=时，则()2220g xxxx=+=在()0,+内恒成立，符合题意；当01a，则22220axaa+，e0ax，可知()()22 e0axxa axa+=在()0,+内恒成立，则()x在()0,+内单调递增，可得()()0220 xa=，则()g x 在()0,+内单调递增，可得()()00g x=，符合题意；综上所述：实数 a 的取值范围为(,1.（3）由（2）可知：当1,0ax时，()2 e20axxx+，令1a=，可得()2 e20 xxx+，令12e1xt=，则2e,2lnxtxt=，则()22ln22ln20ttt+，整理得221ln1ttt N，则22111ln11nnnnnn+，整理得()()2221ln1ln1nnnnn+，则()()2222223521ln 2ln1,ln3ln 2,ln1ln12231nnnnn+，所以()()()2222223521ln1ln1ln112231nnnnn+=+.