24.5 圆周角定理【十大题型】（举一反三）（沪科版）（教师版）.docx

1、专题24.5 圆周角定理【十大题型】【沪科版】【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】2【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】5【题型3 直径所对的圆周角是90的运用】9【题型4 翻折中的圆周角的运用】13【题型5 利用圆周角求最值】18【题型6 圆周角中的证明】22【题型7 圆周角中的多结论问题】28【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】32【题型9 圆周角与量角器的综合运用】37【题型10 利用圆周角求取值范围】40【知识点1 圆周角定理及其推论】圆周角定理定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角，是所对的圆周角，推论1：同

2、弧或等弧所对的圆周角相等和都是所对的圆周角推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径是的直径是所对的圆周角是所对的圆周角 是的直径【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】【例1】（2022鼓楼区校级模拟）如图，CD是O的直径，O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且ABC78，则AOD的度数为（）A12B22C24D44【分析】利用圆周角定理求出AOC156，可得结论【解答】解：AOC2ABC，ABC78，AOC156，AOD180AOC24，故选：C【变式1-1】（2022温州）如图，AB，AC是O的两条弦，ODAB于点D，OEAC于点E，连结OB，OC若DOE

3、130，则BOC的度数为（）A95B100C105D130【分析】根据四边形的内角和等于360计算可得BAC50，再根据圆周角定理得到BOC2BAC，进而可以得到答案【解答】解：ODAB，OEAC，ADO90，AEO90，DOE130，BAC360909013050，BOC2BAC100，故选：B【变式1-2】（2022蓝山县一模）如图，点A，B，C在O上，140，C25，则B（）A100B70C55D65【分析】根据圆周角定理得出BOC2180，根据三角形内角和定理得出1+B+ADB180，C+BOC+ODC180，求出1+BBOC+C即可【解答】解：设OB交AC于D，140，BOC2180

4、，1+B+ADB180，C+BOC+ODC180，ADBODC，1+BBOC+C，C25，40+B80+25，B65，故选：D【变式1-3】（2022春汉阳区校级月考）如图，AB，CD为O的两条弦，若A+C120，AB2，CD4，则O的半径为（）A25B27C2153D2213【分析】连接OB，OA，OC，OD，证明AOB+COD90，在O上点D的右侧取一点E，使得DEAB，过点E作ETCD交CD的延长线于点T，则AB=DE，利用勾股定理求解即可【解答】解：如图，连接OB，OA，OC，OD，BOC2CAB，AOD2ACD，CAB+ACD120，BOC+AOD240，AOB+COD120，在O上

5、点D的右侧取一点E，使得DEAB，过点E作ETCD交CD的延长线于点T，则AB=DE，AOBDOE，COE120，CDE120，EDT60，DEAB2，DT1，ET=3，CTCD+DT4+15，CE=CT2+ET2=52+(3)2=27，作OFCE，则COF60，CF=7，OCOE=732=2213，故选：D【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【例2】（2022保亭县二模）如图，AB为O的直径，点C、D在圆上，CEAB于点E，若D48，则1（）A42B45C48D52【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AD48，ACB90，求出ABC，根据垂直求出CEB，再求出1即可【解答】解：连接A

6、C，由圆周角定理得：AD，D48，A48，AB是O的直径，ACB90，ABC90A42，CEAB，BEC90，190ABC48，故选：C【变式2-1】（2022南充）如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，OFBC于点F，BOF65，则AOD为（）A70B65C50D45【分析】先根据三角形的内角和定理可得B25，由垂径定理得：AC=AD，最后由圆周角定理可得结论【解答】解：OFBC，BFO90，BOF65，B906525，弦CDAB，AB为O的直径，AC=AD，AOD2B50故选：C【变式2-2】（2022十堰二模）如图，在RtABC中，ACB90，A54，以BC为直径的O交AB于点DE是O

7、上一点，且CE=CD，连接OE过点E作EFOE，交AC的延长线于点F，则F的度数为（）A92B108C112D124【分析】连接OD，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出DOCEOC，根据直角三角形的两锐角互余得出B90A36，根据圆周角定理求出DOC2B72，求出EOCDOC72，再根据四边形的内角和等于360求出即可【解答】解：解法一、连接OD，CD=CE，DOCEOC，ACB90，A54，B90A36，DOC2B72，EOCDOC72，OEEF，OEF90，ACB90，BCF90，F360OEFBCFEOC360909072108；解法二、ACB90，A54，B90A36，DC=CE，COE

8、2B72，OEEF，OEF90，ACB90，BCF90，F360OEFBCFEOC360909072108；故选：B【变式2-3】（2022本溪模拟）如图，在O中，AB=BC，直径CDAB于点N，P是AC上一点，则BPD的度数是 30【分析】连接OA、OB，如图，先根据垂径定理得到AC=BC，所以AB=BC=AC，利用圆心角、弧、弦的关系得到AOCBOCAOB120，所以BOD60，然后根据圆周角定理求解【解答】解：连接OA、OB，如图，CDAB，AC=BC，AB=BC，AB=BC=AC，AOCBOCAOB=13360120，BOD18012060，BPD=12BOD30故答案为：30【题型3

9、 直径所对的圆周角是90的运用】【例3】（2022中山市三模）如图，AB是O的直径，若AC2，D60，则BC长等于（）A4B5C3D23【分析】根据圆周角定理得出ACB90，CABD60，求出ABC90CAB30，根据含30度角的直角三角形的性质求出AB2AC4，再根据勾股定理求出BC即可【解答】解：AB是O的直径，ACB90，D60，CABD60，ABC90CAB30，AC2，AB2AC4，BC=AB2-AC2=42-22=23，故选：D【变式3-1】（2022潍坊二模）如图，已知以ABC的边AB为直径的O经过点C，ODAC交O于点D，连接BD若BAC36，则ODB的度数为（）A32B27C

10、24D18【分析】设AC与OD相交于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得ACB90，从而求出ABC54，再根据垂直定义可得AEO90，从而可得ODBC，然后利用等腰三角形和平行线的性质可得BD平分ABC，即可解答【解答】解：设AC与OD相交于点E，AB是O的直径，ACB90，BAC36，ABC90BAC54，ODAC，AEO90，AEOACB90，ODBC，ODBDBC，ODOB，ODBOBD，OBDDBC=12ABC27，ODBOBD27，故选：B【变式3-2】（2022江夏区校级开学）如图，O的直径AB为8，D为AC上的一点，DEAC于点E，若CE3AE，BAC30，则DE的长是（）A85

11、B13-2C3D32【分析】在30的直角三角形ABC中求出AC43，根据CE3AE得到AE=3，再分别求出DF、ME、MF的长度即可得解【解答】解：如图，连接连接BC、OD，作OFDE，交DE的延长线于点F，DF、AB交于点MAB为直径，ACB90，又BAC30，BC4，AC43，CE3AE，AE=3，DEAC，BAC30，EM1，AM2，OMOAAM422，在RtOMF中，OFM90，OMFAME903060，OM2，MF1，OF=3，F90，DF=OD2-OF2=42-3=13，DEDFMEMF=13-2故选：B【变式3-3】（2022秋如皋市校级期中）在O中，AB为直径，点C为圆上一点，

12、将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC2，求O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，BAC25，求DCA的度数【分析】（1）过点O作OEAC于E，由垂径定理可知AE=12AC=1221，根据翻折后点D与圆心O重合，可知OE=12r，在RtAOE中，根据勾股定理可得出r的值；（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出ACB，根据直角三角形两锐角互余求出B，再根据翻折的性质得到ADC所对的圆周角，然后根据ACD等于ADC所对的圆周角减去CD所对的圆周角，计算即可得解【解答】解：（1）如图1，过点O作OEAC于E则AE=12AC=1221，翻折后点

13、D与圆心O重合，OE=12r，在RtAOE中，AO2AE2+OE2，即r212+（12r）2，解得r=233；（2）连接BC，AB是直径，ACB90，BAC25，B90BAC902565，根据翻折的性质，AC所对的圆周角为B，ABC所对的圆周角为ADC，ADC+B180，BCDB65，DCACDBA652540【题型4 翻折中的圆周角的运用】【例4】（2022春福田区校级月考）如图，AB是O的直径，BC是O的弦，先将BC沿BC翻折交AB于点D，再将BD沿AB翻折交BC于点E若BE=DE，则BCD的度数是（）A22.5B30C45D60【分析】证明CAB3，利用三角形内角和定理求出，可得结论【解

14、答】解：设ABC，则DE，CD，AC的度数都为2，BD的度数4，翻折，BD的度数4，CB的度数2+46，CB的度数+AC的度数180，2+6180，22.5BD的度数90BCD45故选：C【变式4-1】（2022秋萧山区期中）如图，在O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，若BAC25，则BDC的度数为（）A45B55C65D70【分析】解法一、补齐翻折后的弧为圆P，根据圆周角定理得出BC=DC，求出BDCDBC，根据圆周角定理求出ACB90，再求出ABC即可；解法二、过D作DEAC于E，延长DE交O于F，连接AF、CF、BC，根据圆周角定理得出ACB9

15、0，根据翻折变换得出FACBAC25，DCAFCA，根据圆内接四边形的性质得出BAF+BCF180，求出ACF40，求出ACDACF40，再根据三角形的外角性质求出即可【解答】解：解法一、补齐翻折后的弧为圆P则O和P为等圆，BAC在O和P中分别对应弧BC和弧DC，BC=DC（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），BCDC，BDCDBC，AB为O直径，DBC90BAC65，BDC65；解法二、过D作DEAC于E，延长DE交O于F，连接AF、CF、BC，AB是O的直径，ACB90，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，BAC25，FACBAC25，DCAFCA，点A、F、C、B四点共

16、圆，BAF+BCF180，25+25+90+ACF180，解得：ACF40，即ACDACF40，BAC25，BDCBAC+ACD25+4065，故选：C【变式4-2】（2022秋硚口区期末）如图，AB为O的一条弦，C为O上一点，OCAB将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D若D为翻折后弧AB的中点，则ABC（）A110B112.5C115D117.5【分析】如图，连接OA，OB，BD设DABx用x表示出BDC，BCD，DBC，利用三角形内角和定理，构建方程求解【解答】解：如图，连接OA，OB，BD设DABxAD=BD，DADB，BD=BC，BDCD，DABDBAx，BDCBCDD

17、AB+ABD2x，OCAB，OCADABx，OAOCOB，OCBOBC3x，OADOCAx，OABOBA2x，OBDx，CBD4x，在BDC中，BDC+DCB+DBC180，2x+2x+4x180，x22.5，ABC5x112.5，故选：B【变式4-3】（2022秋丹江口市期中）已知O的直径AB长为10，弦CDAB，将O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B，若AB6，CB的长为（）A45B25或45C25D25或43【分析】分点B在线段AB上，点B在BA延长线上两种情况讨论，根据勾股定理可求MB的长度【解答】解：如图1中：当点B在线段AB上，连接OCAB10，AB6，AOBO5OC，BB4，B

18、O1，B，B关于CD对称，BEBE2，OEOB+EB3，在RtOCE中，CE2OC2OE225916，在RtBCE中，BC=EC2+EB2=42+22=25若点B在BA的延长线上，连接OC，AB6，AB10，BB16，AOBOOC5，B，B关于CD对称，BEBE8，OEBEBO3，在RtCEO，CE2CO2OE225916，在RtBCE中，BC=EC2+EB2=16+82=45，综上所述BC25或45，故选：B【题型5 利用圆周角求最值】【例5】（2022瑶海区三模）如图，AB是O的直径，AB8，点M在O上，MAB20，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN2，则PMN周长的最小值为

19、（）A4B5C6D7【分析】根据轴对称的性质得到：点N关于AB的对称点N，连接MN交AB于P，此时PM+PN最小，即PMN周长的最小，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可【解答】解：如图，作点N关于AB的对称点N，则点N在O上，连接MN交AB于P，此时PM+PN最小，即PM+PNMN，点N是BM的中点，BAM20，MN=NB=BN，BAN10，MAN20+1030，MON60，MON是正三角形，OMONMN=12AB4，又MN2，PMN周长的最小值为2+46，故选：C【变式5-1】（2022陈仓区一模）如图，ABC中，ABC45，ACB75，AB4，D是边BC上的一个动点，以A

20、D为直径画O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 6【分析】如图，由题意当ADBC时，O的半径最小，因为EAF60，是定值，所以此时EF的值最小【解答】解：如图，ABC45，ACB75，BAC180754560，由题意当ADBC时，O的半径最小，EAF60，是定值，此时EF的值最小，过OD的中点K作MNAD交O于M、N，连接ON、AN、AM，则AMN是等边三角形，在RtABD中，ABC45，AB4，ADBD22，OKKD=22，ON=2，在RtONK中，NKKM=ON2-OK2=62，MN=6，EAFMAN60，EF=MN，EFMN=6，EF的最小值为6，故答案为：

21、6【变式5-2】（2022秋大连期末）如图，AB是O的直径，AB2，点C在O上，CAB30，D为BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（）A1B2C3D2【分析】作点D关于AB的对称点为D，连接OC，OD，OD，CD，交AB于点E，则CE+DE的最小值就是CD的长度，根据已知易证COD90，然后利用勾股定理进行计算即可解答【解答】解：作点D关于AB的对称点为D，连接OC，OD，OD，CD，交AB于点E，DEDE，CE+DECE+DECD，CAB30，COB2CAB60，D为BC的中点，CD=DB，DB=BD，CD=DB=DB，CODDOBBOD30，COD90，AB2，OCOD

22、1，CD=OC2+OD2=12+12=2，CE+DE最小值为：2，故选：B【变式5-3】（2022杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB=32，BCAB2，E为射线BA上一动点，连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为34【分析】取BC的中点G，连接BH，HG，DG解直角三角形求出GH，DG，根据DHDGGH即可判断【解答】解：取BC的中点G，连接BH，HG，DG四边形ABCD是矩形，ABCD=32，BCAB2=94，DCG90，CGBG=98，DG=CD2+CG2=(32)2+(98)2=158，BE是直径，BHEBHC90，BGGC，HG=12BC=98，DHDGH

23、G，DH158-98=34，DH的最小值为34故答案为34【题型6 圆周角中的证明】【例6】（2022秋定陶区期末）如图1在O中ABAC，ACB70，点E在劣弧AC上运动，连接EC，BE，交AC于点F（1）求E的度数；（2）当点E运动到使BEAC时，连接AO并延长，交BE于点D，交BC于点G，交O于点M，依据题意在备用图中画出图形并证明：G为DM的中点【分析】（1）求出A40，利用圆周角定理解决问题即可；（2）证明BDBM，BGDM，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可【解答】（1）解：如图1中，ABAC，ABCACB70，BAC18027040，弧BC弧BC，BECBAC40；（2）证明：

24、依据题意画图如下：连接BM，CMABAC，AB=AC，又AM=AM，BM=CM，BMCM，AMBC，BAMCAM20，MBCCAM20，BEAC，AMBC，BGDAFD90，BDGADF70，AB=AB，BMAACB70，BMABDG70，BDBM，又BGDM，GDGM，即点G为DM的中点【变式6-1】（2022春金山区校级月考）已知CD为O的直径，A、B为O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且B30（1）求证：D30；（2）F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DFAG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明【分析】（1）利用圆周角定理

25、证明即可；（2）结论：AF2CH延长DC到T，使得CTCO，证明CGTOFA（SAS），推出AFGT，再利用三角形中位线定理证明【解答】（1）证明：ABC30，又DABC，D30；（2）解：结论：AF2CH理由：延长DC到T，使得CTCOAOC2ABC60，OAOC，AOC是等边三角形，ACOAOC60，ACOAOC，CTOCOA，AOFGCT120，OAAC，DFAG，OFCG，在CGT和OFA中，CG=OFGCT=AOFCT=OA，CGTOFA（SAS），AFGT，OHHG，OCCT，GT2CH，AF2CH【变式6-2】（2022武汉）如图，以AB为直径的O经过ABC的顶点C，AE，BE分

26、别平分BAC和ABC，AE的延长线交O于点D，连接BD（1）判断BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB10，BE210，求BC的长【分析】（1）由角平分线的定义可知，BAECADCBD，ABEEBC，所以BEDDBE，所以BDED，因为AB为直径，所以ADB90，所以BDE是等腰直角三角形（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F因为DBCCADBADBCD所以BDDC因为OBOC所以OD垂直平分BC由BDE是等腰直角三角形，BE210，可得BD25因为OBOD5设OFt，则DF5t在RtBOF和RtBDF中，52t2（25）2（5t）2，解出t的值即可【解答】解：（1）BDE为等腰直角

27、三角形理由如下：AE 平分BAC，BE 平分ABC，BAECADCBD，ABEEBCBEDBAE+ABE，DBEDBC+CBE，BEDDBEBDEDAB为直径，ADB90BDE是等腰直角三角形另解：计算AEB135也可以得证（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.DBCCADBADBCDBDDCOBOCOD垂直平分BCBDE是等腰直角三角形，BE210，BD25AB10，OBOD5设OFt，则DF5t在RtBOF和RtBDF中，52t2（25）2（5t）2，解得t3，BF4BC8另解：分别延长AC，BD相交于点G则MBG为等腰三角形，先计算AG10，BG45，AD45，再根据面积相等

28、求得BC【变式6-3】（2022南召县四模）阅读下面材料，完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、阿基米德全集收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点如图1，AB和BC是O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BCABM是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CDAB+BD小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段CB上从C

29、点截取一段线段CNAB，连接MA，MB，MC，MN小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作MHAB于点H，连接MA，MB，MC任务：（1）请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程（2）就图3证明：MC2MB2BCAB【分析】（1）截长法：首先证明MBAMNC（SAS），进而得出MBMN，再利用等腰三角形的性质得出BDND，即可得出答案；垂线法：证明AHMCDM（AAS），推出MHDM，AHCD，再证明RtBMHBMD（HL），推出BHBD，可得结论；（2）由（1）可知，ACAM，BHBD，AHCD，整理等式即可证得结论【解答】（1）截长法：证明：如图2，在CB上截取CN

30、AB，连接MA，MB，MC和MNM是ABC的中点，MAMC，在MBA和MGC中，BA=NCA=CMA=MC，MBAMGC（SAS），MBMG，又MDBCBDGD，CDGC+GDAB+BD；垂线法：证明：如图3，过点M作MHAB于点H，连接MA，MB，MC，M是ABC的中点，AMCM，MHAH，MDBC，HCDM90，AC，在AHM和CDM中，H=CDMA=CAM=CM，AHMCDM（AAS），MHDM，AHCD，HBDM90，BMBM，RtBMHBMD（HL），BHBD，CDAHAB+BHAB+BD；（2）在RtAHM中，AM2AH2+MH2，在RtBHM中，BM2BH2+MH2，由（1）可知

31、，ACAM，BHBD，AHCD，MC2MB2AM2MB2AH2+HM2BH【题型7 圆周角中的多结论问题】【例7】（2022兰陵县二模）如图，在O中，AB是O的直径，AB10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：BOE30；DOB2CED；DMCE；CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】错误，证明EOBBOD60即可；正确证明CED30，可得结论；错误，M是动点，DM不一定垂直CE；正确，连接EM，证明MEMD，推出MC+MDMC+MECE10，可得结论【解答】解：AC=CD=DB，AOCCODDOB60，E，D关于

32、AB对称，EOBBOD60，故错误，CED=12COD30，DOB2CED，故正确，M是动点，DM不一定垂直CE，故错误，连接EM则MEMD，CM+DMMC+MECE10，故正确，故选：B【变式7-1】（2022秋淅川县期末）如图，已知：点A、B、C、D在O上，ABCD，下列结论：AOCBOD；BOD2BAD；ACBD；CABBDC；CAO+CDO180其中正确的个数为（）A2B3C4D5【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可【解答】解：ABCD，CBD=BCA，AC=BD，AOCBOD，故正确；圆周角BAD和圆心角BOD都对着BD，BOD2BAD，故

33、正确；AC=BD，ACBD，故正确；圆周角CAB和BDC都对着BC，CABBDC，故正确；延长DO交O于M，连接AM，D、C、A、M四点共圆，CDO+CAM180（圆内接四边形对角互补），CAMCAO，CAO+CDO180，故错误；即正确的个数是4个，故选：C【变式7-2】（2022秋厦门期末）在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC边于点D要使得O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是 （写出所有正确答案的序号）BAC60；45ABC60；BD12AB；12ABDE22AB【分析】结合等腰三角形的性质及圆周角定理对所给条件逐个进行分析判断【解

34、答】解：在ABC中，ABAC，当BAC60时，若BAC90时，此时点E与点A重合，不符合题意，故不满足；当ABC45时，点E与点A重合，不符合题意，当ABC60时，点E与点O不关于AD对称，当45ABC60时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故满足条件；当12ABBD22AB时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故不满足条件；12ABDE22AB时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故满足条件；故答案为：【变式7-3】（2022秋东台市月考）如图，AB是O的直径，C，D是O上的点，且OCBD，AD与BC，OC分别相交于点E，F，则下列结论：ADBD；AOCAEC；CB平分ABD；

35、AFDF；CEFBED其中一定成立的结论是（填序号）【分析】由直径所对圆周角是直角，由于AOC是O的圆心角，AEC是O的圆内部的角，由平行线得到OCBDBC，再由同圆的半径相等得到结论判断出OBCDBC；用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；得不到CEF和BED中对应相等的边，所以不一定全等【解答】解：AB是O的直径，ADB90，ADBD，故正确；AECABC+A，AOCABC+C，根据图形及已知不能推出CA，AOCAEC，故不正确；OCBD，OCBDBC，OCOB，OCBOBC，OBCDBC，BC平分ABD，故正确；AB是O的直径，ADB90，ADBD，OCBD，AFO90，点O为圆心，AFD

36、F，故正确；CEF和BED中，没有相等的边，CEF与BED不全等，故不正确；综上可知：其中一定成立的有，故答案为：【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】【例8】（2022春杏花岭区校级月考）如图，A，B两点的坐标分别为（2，0），（3，0），点C在y轴正半轴上，且ACB45，则点C的坐标为（）A（0，7）B（0，210）C（0，6）D（0，35）【分析】在x轴的上方作等腰直角ABF，FBFA，BAF90，以F为圆心，FA为半径作F交y轴于M，首先证明点C即为点M，根据FC=522，构建方程即可解决问题【解答】解：在x轴的上方作等腰直角ABF，FBFA，BAF90，以F为圆心，F

37、A为半径作F交y轴于M，ACB=12AFB45，点C即为点M，A（2，0），B（3，0），ABF是等腰直角三角形，F（12，52），FAFBFC=522，设C（0，m），则（12）2+（52-m）2（522）2，解得m6或1（舍弃），C（0，6），故选：C【变式8-1】（2022秋秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，ABBCBD若ABC112，则ADC124【分析】根据ABBDBC得出A、D、C在以B为圆心，以AB为半径的圆上，作圆周角AEC，根据圆周角定理得出E=12ABC56，根据圆内接四边形的性质得出ADC+E180，再求出答案即可【解答】解：ABBDBC，A、D、C在以B为圆心，以A

38、B为半径的圆上，如图，作圆周角AEC，ABC112，E=12ABC56，四边形ADCE是B的圆内接四边形，ADC+E180，ADC18056124，故答案为：124【变式8-2】（2022北京模拟）已知三角形ABC是锐角三角形，其中A30，BC4，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 43h4+23【分析】做出三角形的外接圆，根据hAO+OP求解即可【解答】解：如图1，作ABC的外接圆O，连接OA，OB，OC，过O作OPBC，BAC30，BOC60，OBOC，OBC是等边三角形，BC4，OABC4，PO23，hAO+OP4+23，如图2，A1BBC，A2CBC，则A1B43，三角形ABC是锐角

39、三角形，点A在A1A2之间，h的取值范围是：43h4+23，故答案为：43h4+23【变式8-3】（2022春西湖区校级月考）已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，ABBC4，B60，C105，点E为BC的中点，以CE为弦作圆，设该圆与四边形ABCD的一边的交点为P，若CPE30，则EP的长为2+6或4或23或2【分析】如图，连接AC，AE，根据已知条件得到ABC是等边三角形，求得BECE2，AEBC，EAC30，推出AC是以CE为弦的圆的直径，设圆心为O，当O与CD边交于P1，则EP1C30，过C作CHP1E于H，解直角三角形得到P1E=6+2；当O与AD交于P2，A（P3），由ADCE，

40、推出四边形AECP2是矩形，得到P2EAC4，P3E1E23，当O与AB交于P4，得到BP4E是等边三角形，求得P4EBE2，于是得到结论【解答】解：如图，连接AC，AE，ABBC4，B60，ABC是等边三角形，点E为BC的中点，BECE2，AEBC，EAC30，AC是以CE为弦的圆的直径，设圆心为O，当O与CD边交于P1，则EP1C30，ECP1105，P1EC45，过C作CHP1E于H，EHCH=22CE=2，P1H=3HC=6，P1E=6+2；当O与AD交于P2，A（P3），ADCE，ECP2AP2C90，四边形AECP2是矩形，P2EAC4，P3EP2C23，当O与AB交于P4，AP4

41、C90，EP4C30，BP4E60，BP4E是等边三角形，P4EBE2，综上所述，若CPE30，则EP的长为2+6或4或23或2，故答案为：2+6或4或23或2【题型9 圆周角与量角器的综合运用】【例9】（2022南召县模拟）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为50，那么BDE的大小为（）A100B110C115D130【分析】由圆周角定理得出ACE25，进而得出BCE65，再由外角的性质得出BDEBCE+CBD，代入计算即可得出答案【解答】解：如图，连接OE，点E所对应的读数

42、为50，AOE50，AB为直径，ACB90，点C在O上，ACE=12AOE=125025，BCE902565，BDE是BDC的外角，BDEBCE+DBC65+45110，故选：B【变式9-1】（2022秋南京期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆圆心上，点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160、72、50，则A24【分析】以EF为直径作半圆，延长BO交圆于M，连接OC，根据已知度数求出BOA、BOF、AOB的度数，根据圆周角定理求出B，根据三角形内角和定理求出即可【解答】解：如图，以EF为直径作半圆，延长BO交圆于M，连接OC，

43、点B，C，D对应的读数分别为160、72、50，BOA16050110，BOF18016020，COE72，COM72+2092，B=12COM46，A180BAOB1801104624故答案为：24【变式9-2】（2022秋高港区期中）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为50，则BCD的度数为 65【分析】根据圆周角定理分别求出ACB、ACD，计算即可【解答】解：由圆周角定理可知，ACD=125025，ACB90，BCDACBACD65，故答案为：65【变式9-3】（2022秋北京期末）如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度

44、线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是120【分析】首先连接OE，由ACB90，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数【解答】解：连接OE，ACB90，AB为半圆的直径，E、A、C、B四点共圆，ACP32060，AOE2ACP120，即第20秒点E在量角器上对应的读数是120，故答案为：120【题型10 利用圆周角求取值范围】【例10】（2022观山湖区模拟）如图，OB是O的半径，弦ABOB，直径CDAB若点P是线段OD上的动点，点P不与O，D重合，连接PA设

45、PAB，则的取值范围是6075【分析】当P点与D点重合是DAB75，与O重合则OAB60，OABPABDAB，即可得出结果【解答】解：连接DA，OA，则OAB是等边三角形，OABAOB60，DC是直径，DCAB，AOC=12AOB30，ADC15，DAB75，OABPABDAB，6075；故答案为：6075【变式10-1】（2022河南三模）如图，点O是以AC为直径的半圆的圆心，点B在AC上，ACB30，AC2点D是直径AC上一动点（与点A，C不重合），记OD的长为m连接BD，点A关于BD的对称点为点A，当点A落在由直径AC，弦AB，BC围成的封闭图形内部时（不包含边界），m的取值范围是 0m

46、12【分析】直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半，根据点A关于BD的对称点为点A，得到DADA，考虑点A进入该区域和离开该区域的两个m的值即可得出答案【解答】解：如图，AC是半圆的直径，ABC90，ACB30，AC2，AB1，点A关于BD的对称点为点A，DADA，当点D与点O重合时，DADAr，点A在BC上，m0；当点D在AO中点时，点A在直径AC上，m=12，m的取值范围为：0m12故答案为：0m12【变式10-2】（2022秋台州期中）如图，已知AB是O的一条弦，点C是O的优弧ACB上的一个动点（不与A，B不重合），（1）设ACB的平分线与劣弧AB交于点P，

47、试猜想点P劣弧AB上的位置是否会随点C的运动而变化？请说明理由（2）如图，设AB8，O的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请求出ACBP的面积的取值范围【分析】（1）点P位置不会随点C的运动而变化，根据角平分线的定义得到ACPBCP，于是得到AP=BD，即P是劣弧AB的中点即可得到点P位置不会变化（2）如图，连接OP，交AB于E，根据垂径定理得到OPAB，AE=12AB4根据勾股定理得到OE=52-42=3，PE2求得SABP=1282于是得到当CP经过圆心O时，如图，C到AB距离最大，即ABC的AB边上的最大高线是CE8求得四边

48、形ACBP的最大面积是40即可得到结论【解答】解：（1）点P位置不会随点C的运动而变化，理由：如图1，CP平分ACB，ACPBCP，AP=BD，即P是劣弧AB的中点点P位置不会变化（2）ABC的面积不是定值，ABP的面积为定值四边形ACBP的面积不是定值如图，连接OP，交AB于E，AP=PB，OP是半径OPAB，AE=12AB4OA5OE=52-42=3，PE2SABP=1282当CP经过圆心O时，如图，C到AB距离最大，即ABC的AB边上的最大高线是CE8AB8，ABC的最大面积是32四边形ACBP的最大面积是40综上，四边形ACBP的面积不是定值，它的取值范围是8S四边形ACBP40【变式

49、10-3】（2022秋高新区校级期末）如图，A、B为O上的两个定点，P是O上的动点（P不与A、B重合），我们称APB是O上关于A、B的滑动角若O的半径是1，2AB3，则APB的取值范围为45APB60或120APB135【分析】首先连接OA，OB，AB，先假设AB=2求出APB的度数，同理得出当AB=3时，APB的度数即可【解答】解：连接OA，OB，AB，假设AB=2圆O半径为1，AB=2，OA2+OB2AB2，AOB90，若点P在优弧AB上，则APB=12AOB45，若点P在劣弧AB上，则APB180APB135APB的度数为45或135假设AB=3，圆O半径为1，OAB30，AOB120，若点P在优弧AB上，则APB=12AOB60，若点P在劣弧AB上，则APB180APB120故APB的取值范围为：45APB60或120APB135故答案为：45APB60或120APB135