26.3 二次函数ax2＋bx＋c的图像（1）（沪教版）（解析版）.docx

1、26.3二次函数ax2bxc的图像（1）一、单选题1抛物线y（x3）21的顶点坐标是（ ）A（3，1）B（3，1）C（3，1）D（3，1）【答案】D【分析】根据二次函数顶点式的特点即可求解【解析】抛物线y（x3）21的顶点坐标是（-3，1）故选D【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数y（x-h）2+k的顶点为（h，k）2把配方成的形式后，h和k对应的值分别是（ ）A-2，-3B2，-3C2，3D-2，3【答案】A【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，得到答案【解析】解：=2（x2+4x）+5=2（x+2）2-3，则h=-2，k=-3，故选：A【点睛】本题考查的是二次函数的

2、三种形式的互化，掌握完全平方公式是解题的关键3二次函数yx2+x2的图象与x轴交点的横坐标是（）A2和1B2和1C2和1D2和1【答案】B【分析】令，把函数转化为方程，利用因式分解法求出方程的根，从而求出二次函数的图象与轴交点的横坐标【解析】解：令，则，解得或1，二次函数的图象与轴交点的横坐标是和1；故选：【点睛】点题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与轴无交点，两者互相转化，要充分运用这一点来解题4在同一平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，得到新图象的顶点坐标是（ ）ABCD【答案】B【分析】先将二次函

3、数一般式改为顶点式确定顶点坐标，再利用点平移的坐标规律求解即可【解析】二次函数改为顶点式为：该二次函数的顶点为，把点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的对应点为，即故选：B【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，熟练掌握点平移的坐标规律是解答本题的关键5将抛物线yx2+2x1的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）Ayx2+6x+10Byx2+4x+2Cyx2+2x+3Dyx2+38x+2【答案】A【分析】将抛物线解析式转化为顶点式，再根据图象平移规律，可得答案【解析】解：的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得，即，故选：A【点睛】本

4、题考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图像的平移规律，“上加下减，左加右减”6二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y与正比例函数y（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（）ABCD【答案】B【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定a0，再根据对称轴在y轴右，可确定a与b异号，然后再根据对称轴可以确定2a+c0，再根据反比例函数图象的性质和正比例函数图象的性质确定出两个函数图象所在象限，进而得到答案【解析】解：抛物线开口向下，a0，ba0，ab0，反比例函数y在第二、四象限，当x1时，y0，即a-b+c0，把ba代入得，2a+c0，正比例函数y（2a+c）x的图象经过

5、原点，且在第二、四象限，故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正比例函数和反比例函数图象与比例系数的关系，解题关键是通过二次函数图象得出关于正比例函数和反比例函数比例系数的符号解决问题7二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中( )A(1，1)B(1，1)C(1，1)D(1，1)【答案】D【分析】将p+q=0代入二次函数，变形得y=x2+p（x-1），若图象一定过某点，则与p无关，令p的系数为0即可【解析】p+q=0，y=x2+px+q=x2+px-p=x2+p(x-1)，图象必经某点，图像与p的值无关，x-1=0，即x=1，当x=1时，y=1，它的

6、图象必经过（1，1）故选D.【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把p当做变量，令其系数为0进行求解8在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（2，2）、（0.5，0.5），都是和谐点，若二次函数yax2+7x+c（a0）的图象上有且只有一个和谐点（1，1），则此二次函数的解析式为（）Ay3x2+7x+3By2x2+7x+4Cyx2+7x+5Dy4x2+7x+2【答案】A【分析】设和谐点为（t，t），把（t，t）代入yax2+7x+c得at2+7t+ct，则624ac0，所以ac9，再把（1，1）代入yax2+7x+c得c

7、6a，然后解关于a、c的方程组即可【解析】解：设和谐点为（t，t），把（t，t）代入yax2+7x+c得at2+7t+ct，整理得at2+6t+c0，t有且只有一个值，624ac0，即ac9，把（1，1）代入yax2+7x+c得a7+c1，即c6a，把c6a代入ac9得a（6a）9，解得a3，c633，此二次函数的解析式为y3x2+7x+3故选：A【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，把和谐点（t，t）代入yax2+7x+c得到关于t的方程有两相等的实数根是解题关键9如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，则下列关系：；其中正确的有（ ）

8、A4个B3个C2个D1个【答案】B【解析】【分析】抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且ABE是等腰直角三角形，可得对称轴为y轴，b=0，方程ax2+bx+c=0的两根为c与-c，即可得出答案；【解析】抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且ABE是等腰直角三角形，对称轴为y轴，b=0，y=ax2+c，令x=1，得到y=a+c，而x=1对应的函数值不一定为0，故a+c不一定为0；OA=OB=OE，方程ax2+bx+c=0的两根为c与-c，ac2+c=0，c0，c（ac+1）=0，ac=-1，SABE=|2c|c|=c2，故正确的有三个，故选B【点睛

9、】本题考查了二次函数与系数的关系，属于基础题，关键是根据已知条件结合二次函数与系数的关系进行求解10二次函数的图象如图所示，下列结论：；对任意实数都有；其中正确结论的个数是（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】D【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解析】解：由抛物线的开口方向向下可推出a0，因为对称轴在y轴右侧，对称轴为0，而a0，所以b0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，可知c0，故abc0，故错误；由图象可知：当x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等，所以当x=-1时

10、y0，即a-b+c0，故正确；由图象可知：对称轴=1，对任意实数都有，即，故正确；由图象可知：对称轴=1，即b=-2a，a-b+c0，所以，即，故正确综上可得：正确故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右侧（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点， 抛物线与y轴交于（0，c）二、填空题11抛物线的顶点坐标是_【答案】（-

11、1，-7）【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标【解析】解：y=2x2+4x-5=2（x+1）2-7，抛物线y=2x2+4x-5的顶点坐标是（-1，-7），故答案为：（-1，-7）【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式12将二次函数化成的形式，则_【答案】【分析】利用配方法，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式【解析】解：，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，顶点式：；两根式：正确利用配方法把一

12、般式化为顶点式是解题的关键13把抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为，则a+b+c=_。【答案】1【解析】由抛物线y=ax2+bx+c先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y=x2-3x-5，可知抛物线y=x2-3x-5=（x-）2-先向上平移2个单位，再向左平移3个单位可得抛物线y=ax2+bx+c，根据平移法则可知平移后解析式为y=（x-+3）2-+2=（x+）2-=x2+3x-3，则a=1，b=3，c=-3，则a+b+c=1.故答案为1.点睛：熟记平移规律：左加右减，上加下减.14有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：开

13、口向下；乙：对称轴是直线；丙：与轴的交点到原点的距离为2，满足上述全部特点的二次函数的解析式为_【答案】【分析】由开口向下，可知a0，对称轴是直线x=2，可得k=2，与y轴的交点到原点的距离为2，可得与y轴的交点的坐标为（0，2），利用待定系数法求出解析式【解析】解：二次函数y=a（x-k）2的图象开口向下，a0，对称轴为直线x=2，k=2，二次函数y=a（x-k）2的解析式为y=a（x-2）2，与y轴的交点到原点的距离为2，与y轴交于点（0，2）或（0，-2），把（0，2）代入得，2=4a，（舍去），把（0，-2）代入得，-2=4a，解析式为：故答案为：【点睛】本题主要考查用待定系数法求二次

14、函数的解析式，此题是开放题，解题的关键理解题意注意利用待定系数法求函数解析式15抛物线一定经过非坐标轴上的一点，则点的坐标为_【答案】（3，4）【分析】y=m（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=-1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）【解析】解：抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m，y=m（x2-2x-3）+x+1，抛物线过定点说明在这一点y与m无关，显然当x2-2x-3=0时，y与m无关，解得：x=3或x=-1，当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；当x=-1时，y=0，定点坐标为（-1，0），P不在坐标轴上，

15、P（3，4），故答案为：（3，4）【点睛】本题考查了二次函数解析式，根据函数过定点得到y与m无关是解题的关键16已知抛物线与x轴一个交点的坐标为，则一元二次方程的根为_【答案】【分析】将x1，y0代入抛物线的解析式可得到c3a，然后将c3a代入方程，最后利用因式分解法求解即可【解析】解：将x1，y0代入得：a2ac0解得：c3a将c3a代入方程得：ax22ax3a0a（x22x3）0a（x1）（x3）0x11，x23故答案为：x11，x23【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，求得a与c的关系是解题的关键17根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，求出代数式的值为_x357111

16、3【答案】104【分析】根据题意可求出此二次函数的对称轴，即可求出利用二次函数对称的性质即可求出再化简得：，最后整体代入求值即可【解析】根据题意可知此二次函数的对称轴为，即x=7，y=13，x=1，y=13当x=1时，又，故答案为：【点睛】本题考查二次函数的性质及代数式求值，掌握二次函数的图象是轴对称图形和求出该二次函数的对称轴是解答本题的关键18如图在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，若与的面积比为3：5，则值为_【答案】【分析】推导出顶点的纵坐标，结合抛物线顶点坐标公式列式计算即可，同时要结合图形对参数进行判断【解析】解：点为抛物线与轴的交点，令，得，

17、点D为抛物线顶点，且在第四象限 又 故答案为：【点睛】本题考查抛物线顶点坐标的求法、与坐标轴交点坐标的求法等相关知识点，根据图象数形结合是解题的关键三、解答题19已知抛物线yx2+bx+c的图象经过A（1，12），B（0，5）（1）求抛物线解析式；（2）求该二次函数的顶点坐标【答案】（1）yx26x+5；（2）（3，4）【分析】（1）把A（1，12），B（0，5）代入抛物线的解析式yx2+bx+c，再列方程组，解方程组可得答案；（2）把抛物线的一般式化为顶点式： 再根据顶点式可得答案.【解析】解：（1）抛物线yx2+bx+c的图象经过A（1，12），B（0，5），解得 ，二次函数解析式为yx2

18、6x+5；（2）yx26x+5 （x3）24，该二次函数的顶点坐标为（3，4）【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，把一般式化为顶点式，抛物线的顶点坐标，掌握“利用待定系数法求解抛物线的解析式”是解题的关键.20已知一个二次函数的图像经过三点（1）求这个二次函数的解析式（2）求tanBAC的值.【答案】（1）yx24x3；（2）tanBAC【分析】（1）设二次函数解析式为yax2bxc，利用待定系数法列式计算出a、b、c的值，从而得解；（2）过点C作CMAB于点M，先求出点M的坐标，然后根据三角形函数的定义列式进行计算即可【解析】解：（1）设二次函数解析式为yax2bxc，解得

19、，二次函数的解析式为yx24x3；（2）如图，过点C作CMAB于点M，点M的坐标为（1，3），tanBAC【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的定义，正确的画出图象是解题的关键21如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在抛物线上，求的值【答案】（1）；（2）或【分析】（1）将，代入，用待定系数法求解即可；（2）将点代入抛物线表达式即可求出的值【解析】解：（1）把，代入，得：，解得：，抛物线的解析式为：（2）把代入，得：，解得：，的值为或【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式以及二次函数图像上点的坐标，掌握待定系数法求解是解题

20、的关键22如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线与直线交于、两点，连接，（1）求的值；（2）抛物线上有一点，满足，求点的坐标【答案】（1）；（2）或【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用方程组首先求出点D坐标由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；【解析】解：（1）抛物线过点，；（2）由得，当时，无实数根；当时，或【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型23已知抛物线yxbxc与x轴交于点A（1，0）和B（3，0

21、），且与y轴交于点C，抛物线顶点为点D，（1）求物线的解析式（2）求证：ACBABD（3）沿着y轴所在直线上下平移抛物线，使平移后的抛物线与x轴正半轴的交点为E且E在B的右侧，若EDB45，求平移后的抛物线表达式【答案】（1）y=x-2x-3；（2）见解析；（3）y=x-2x-143【分析】（1）直接把A、B两点的坐标代入抛物线解析式进行求解即可；（2）先求出C、D的坐标，从而得到OCB=OBC=45，由勾股定理的逆定理可得BCD=90，则，即可得到CBD=ACO，则ACB=ACO+OCB=OBC+CBD=ABD；（3）过点A作AFBC交y轴于F，则AFO=OCB=BDE=45，然后证明FAC

22、DBE，得到，然后求得AO=FO=1，得到，即可求出E点的坐标，然后设平移后的抛物线解析式为，代入E点坐标求解即可【解析】解：（1）抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），抛物线解析式为；（2）如图所示，连接AC，BC，BD，CD，A点的坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），OA=1，OB=3C是抛物线与y轴的交点，C点的坐标为（0，-3），OC=OB=3，COB=90，OCB=OBC=45，D是抛物线的顶点，D点的坐标为（1，-4），BCD=90，CBD=ACO，ACB=ACO+OCB=OBC+CBD=ABD；（3）如图所示，过点A作AFBC交y轴于F，AFO=OCB=BDE=45，A

23、CB=AND=ACF+OCB=ACF+AFC，FAC=180-ACF-AFC，DBE=180-ABD，FAC=DBE，FACDBE，AOF=90，AFO=FAO=45，AO=FO=1，B（3，0），E在x轴上且在B点右侧，E（13，0），设平移后的抛物线解析式为，平移后的抛物线解析式为【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质与判定，两点距离公式，三角函数，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求二次函数解析式24如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与BC相交于点E,与x

24、轴相交于点F. （1）求线段的长（2）联结，若点G在抛物线的对称轴上，且与相似，请直接写出点G的坐标（3）设点P为x轴上的一点，且时，求点P的坐标. 【答案】（1）2；（2）或；（3）或【分析】（1）根据抛物线的解析式可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，从而易得OB=OC，由EFOB即可求得EF的长，从而求得DE的长；（2）设点G的坐标为(1，x)，分两种情况考虑：COEEGB和COEEBG，根据相似三角形的性质即可求得x的值，从而可求得点G的坐标；（3）分两种情况考虑：点P在点A的右侧和点P在点A的左侧；当点P在点A的右侧时，由D(1，4)，则，得出 =DOF，然后根据三角形外角的性质可求得DP

25、O=ADO，进而可得ADPAOD，由相似三角形的性质可求得OP的长，从而求得P点的坐标；当点P在点A的左侧时， 作点P关于抛物线对称轴的对称点，则点也满足题意【解析】（1）当时，解方程得：抛物线与x轴的交点坐标分别为A（-1，0）、B(3，0)OB=3 在中，当x=0时，抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，3)OC=3抛物线的顶点坐标为D(1，4)DF=4，OF=1OB=OC=3，OCOBOCB=OBC=45EFOBFEB=OBC=45 EF=BF=OB-OF=3-1=2DE=DF-EF=4-2=2（2）设点G的坐标为(1，x)在RtOBC及RtFBE中，由勾股定理得：，若COEEGB则有，GE

26、B=OCE=45即OCBE=CEEG点G只能在点E下方由（1）可得点E的坐标为(1，2)EG=2-x解得：x=-4即点G的坐标为(1，-4)若COEEBG则有，BEG=OCE=45即OCEG=CEBE点G只能在点E下方EG=2-x解得：即点G的坐标为综上所述，满足条件的点G的坐标为或 （3）如图，当点P在点A的左侧时，连接DP、DA、DO，DOF=DAO+DPO，DOF=PDO+DPODAO=PDOOADODP，即OA=1OP=17点P的坐标为(-17，0)当点P在点A的右侧时，作点P(-17，0)关于抛物线的对称轴的对称点，则此时点满足题意，且其坐标为(19，0)综上所述，满足条件的点P的坐标为或【点睛】本题考查了求二次函数与x轴的交点、顶点坐标，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求得三角形相似是关键注意分类讨论