3.2.1 双曲线的标准方程 （七大题型）（解析版）.docx

1、3.2.1 双曲线的标准方程 课程标准学习目标（1）能从几何情境中认识双曲线的几何特征，说出双曲线的定义，发展直观想象素养（2）能类比椭圆标准方程的建立过程，推导出双曲线的标准方程，并能用于解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.（2）掌握双曲线的标准方程及其求法.（3）能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题知识点01 双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距知识点诠释：1、双曲线的定义中

2、，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线【即学即练1】（2023全国高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（）A射线B直线C椭圆D双曲线的一支【答案】A【解析】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.故选：A.知识点02 双曲线

3、的标准方程标准方程的推导：如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤（1）建系设点取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴（2）建立直角坐标系设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数（2）点的集合由定义可知，双曲线就是集合：（3）代数方程，（4）化简方程将这个方程移项，两边平方得：化简得：两边再平方，整理得：（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导）由双曲线定义，即ca，所以设，代入上式得：即，其中这就是双曲线的标准方程双曲线的标准方程：1、当焦

4、点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据根据，（ab0），（a0，b0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）标准方程统一为：方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件方程可化为，即，所以只有A、B异号，方程表示双曲线当，时，双曲线的焦点在x轴上；当，时，双曲线的焦点在y轴上知识点诠释：1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式此时，双曲线的焦点在坐标轴上2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半

5、焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，且3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上【即学即练2】（2023全国高二专题练习）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（）ABC或D或【答案】C【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，若将点代入，得，又，联立两式得，所以双曲线的标准方程为.当的焦点在y轴上，设

6、双曲线的方程为，将点代入，得，又，联立两式得，所以双曲线的标准方程为，综上所述，双曲线的标准方程为或.故选：C.知识点03 求双曲线的标准方程待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、的值其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量若两种类型都有可能，则需分类讨论【即学即练3】（2023广东东莞高三校联考阶段练习）已知双曲线，四点、中恰有三点在上，则双曲线的标

7、准方程为 【答案】【解析】因为点、关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，故点、都在双曲线上，对于点，所以，即点不在双曲线上，所以，点、都在双曲线上，所以，解得，因此，双曲线的标准方程为.故答案为：.题型一：双曲线的定义例1（2023全国高三专题练习）已知点，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（）ABCD【答案】B【解析】由于，因此满足，的动点P的轨迹均不是双曲线，满足的动点P的轨迹是双曲线的右支，而满足的动点P的轨迹才是双曲线故选：B例2（2023全国高三专题练习）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（）ABC或D不确定【答案】C【解析】设双曲线的左、

8、右焦点为，则；则，由双曲线定义可得，即，所以或，由于，故点到它的左焦点的距离是或，故选：C例3（2023全国高二期中）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（）A2B4C8D12【答案】B【解析】双曲线中，得，则，由双曲线的定义可得，因为，所以，解得，故选：B变式1（2023全国高二专题练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（）A双曲线B两条射线C一条线段D一条直线【答案】B【解析】如图：设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，则若在线段（不包含两端点）上，有；若在直线外，有；若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），则有.故选：B变式2（2023全国高二

9、专题练习）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（）A5B6C8D12【答案】C【解析】双曲线C：，则，由双曲线的定义知：，所以.故选：C.题型二：双曲线的标准方程例4（2023全国高二期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)，焦点是，的双曲线；(2)离心率为，短轴长为6的椭圆.【解析】（1）由题意设双曲线方程为，由焦点坐标可知，又，故，所以双曲线的方程为.（2）当焦点在轴时，设椭圆方程为，由题可得，解得，所以椭圆方程为；当焦点在轴时，设椭圆方程为，由题可得，解得，所以椭圆方程为；所以，所求椭圆方程为或.例5（2023新疆喀什高一校考期末）求适合下列条件的圆

10、锥曲线的标准方程(1)中心在原点，实轴在轴上，一个焦点坐标为的等轴双曲线；(2)椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且它的一个顶点坐标为【解析】（1）设等轴双曲线的标准方程为，则，可得，因此，所求双曲线的标准方程为.（2）设椭圆的标准方程为，则，因此，所求椭圆的标准方程为.例6（2023高二课时练习）双曲线经过两点，则双曲线的标准方程是 【答案】【解析】设双曲线的方程为，由题意可得：，解得，所以双曲线的标准方程是.故答案为：.变式3（2023内蒙古呼伦贝尔高二海拉尔第一中学校考期末）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准

11、方程为（）ABCD【答案】A【解析】在椭圆中，由题知，解得，所以椭圆的焦点为，因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且，所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，所以曲线的虚半轴长为，故的标准方程为：.故选：A.变式4（2023全国高二专题练习）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（）ABCD【答案】A【解析】设双曲线的方程为（），代入点，得，故所求双曲线的方程为，其标准方程为故选：A题型三：双曲线方程的充要条件例7（2023高二单元测试）方程表示的曲线，下列说法错误的是（）A当时，表示两条直线B当，表示焦点在x轴上的椭圆C当时，表示圆D当时，表示焦点在x轴上的双曲线【答案】B【解析】对

12、于A：当时，方程为，表示与两条直线，则A说法正确；对于B：化为，当时，则，则表示焦点在轴上的椭圆，故B说法错误；对于C：当时，方程为，表示圆心为原点，半径为1的圆，则C说法正确；对于D：化为，当时，则，则表示焦点在x轴上的双曲线，故D说法正确；故选：B.例8（2023全国高二专题练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】可整理成，当，则且或且，此时方程即表示的曲线为双曲线，则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则即，则必要性成立，故选：C例9（2023全国高二专题练习）设，则“方程表示双曲线”

13、的必要不充分条件为（）ABCD【答案】B【解析】由，方程表示双曲线，则，所以，根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.故选：B.变式5（2023全国高二专题练习）“”是“为双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为方程表示双曲线，所以，又当时，方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故选：C变式6（2023全国高二专题练习）当时，方程所表示的曲线是（）A焦点在轴的椭圆B焦点在轴的双曲线C焦点在轴的椭圆D焦点在轴的双曲线【答案】D【解析】当ab0时，方程化简得，方程表示双曲线焦点坐标在y轴上；故选：D题型四：椭圆

14、中焦点三角形的周长与面积及其他问题例10（2023高二课时练习）设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 .【答案】22【解析】由题意知，又，故的周长为，故答案为：22例11（2023陕西安康高二校联考期末）设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是 【答案】【解析】如图：由得，由题意：，所以，故答案为：例12（2023全国高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 【答案】/【解析】因为双曲线，则，所以，因为为双曲线右支上一点，所以，又，所以，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案为：变式7（2023全国高二专题练习）已知点分别是

15、双曲线的下、上焦点，若点是双曲线下支上的点，且，则的面积为 .【答案】16【解析】因为是双曲线下支上的点，所以，两边平方得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100.在F1PF2中，由余弦定理，得cos F1PF2=0，所以F1PF2=90，所以|PF1|PF2|=32=16故答案为：变式8（2023全国高二专题练习）已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则的面积为 .【答案】16【解析】双曲线，所以，所以，是双曲线左支上的点，在中，由余弦定理得，的面积为.故答

16、案为：.变式9（2023全国高二专题练习）若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是 .【答案】16【解析】双曲线的标准方程为，所以，因为是等腰三角形，不设在双曲线的右支上，则，所以，所以的周长为6+6+10=16故答案为：.变式10（2023四川南充高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于点，连接交双曲线的左支于点，若，则的面积是 【答案】10【解析】连接，由，得，设，则，由得，即，得在中，在中，由余弦定理，得，所以，得，所以，即，故的面积为故答案为：10.变式11（2023全国高二专题练习）已知，为双曲线的左、右

17、焦点，点P在双曲线C上，则 【答案】/【解析】，则，.故答案为：.变式12（多选题）（2023全国高二专题练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，则（）AP的纵坐标为BC的周长为D的面积为4【答案】ABD【解析】依题意，因为，所以.由双曲线的定义可得，两边平方得，即，解得，故的面积为，D正确.设P的纵坐标为h，的面积，解得，A正确.，解得，的周长为，C错误.可得，B正确.故选：ABD题型五：椭圆上两点距离的最值问题例13（2023高二课时练习）已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 【答案】【解析】如下图所示：在双曲线中，圆的圆心为，半径长为，所以

18、，双曲线的左、右焦点分别为、，由双曲线的定义可得，所以，当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立，故的最小值是.故答案为：.例14（2023湖北高二校联考期末）已知圆与轴的交点分别为双曲线的顶点和焦点，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的取值范围为 .【答案】【解析】因为与轴交点的坐标分别为，由题意可知：，因为为右支上任意一点，根据双曲线的定义有，即，令，则，因为在上为增函数，所以，所以，所以，即.故答案为：.例15（2023高二课时练习）已知定点，且，动点满足，则的最小值是 .【答案】6【解析】因为动点满足，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，则，即，不妨设焦点在x轴

19、上，则双曲线方程为，左焦点为，右焦点为，设，则，所以，所以的最小值是6，故答案为：6变式13（2023高二单元测试）平面内，线段的长度为10，动点满足，则的最小值为 【答案】2【解析】因为，所以，因此动点在以为焦点的双曲线的靠近点的一支上，且，从而的最小值为故答案为：2.题型六：椭圆上两线段的和差最值问题例16（2023全国高二专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）当取最小值时，的值为（）ABCD【答案】A【解析】由双曲线定义得, 故如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，故方程为，联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，故 故选：A例17

20、（2023江苏盐城高二江苏省射阳中学校考阶段练习）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（）ABCD【答案】B【解析】因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，所以可设双曲线的方程为，又因为双曲线的焦距为8，所以，而，所以，故双曲线的标准方程为.由双曲线的定义可知，由题意可知，所以,故的最大值为，当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值.故选：B例18（2023全国高二专题练习）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，则的最小值为（）A5B6C7D8【答案】B【解析】由双曲线方程可知，故右焦点，左焦点，当点

21、在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而，又为定值，所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），故选：B.变式14（2023全国高二专题练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（）ABCD【答案】D【解析】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5,而，仅当共线且在之间时等号成立，所以，当共线且在之间时等号成立.故选：D变式15（2023全国高二专题练习）已知，双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（）A5B7C9D11【答案】C【解析】由双曲线，则，即，且，由题意，当且仅当共线时，等号成立.故选：C.变式16

22、（2023全国高二专题练习）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，所以，且，所以，的周长为，当且仅当M，P，A三点共线时取等号，则周长的最小值为故选：B变式17（2023全国高二专题练习）已知，双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（）A5B7C9D11【答案】C【解析】由双曲线，则，即，且，由题意，作图如下：，当且仅当共线时，等号成立.故选：C.变式18（2023吉林高二统考期中）已知双曲线的下焦点为，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（）ABCD【答案】D【解析】由题意得双曲

23、线焦点在轴上，所以下焦点，设上焦点为，则，根据双曲线定义：，在上支，,在中两边之差小于第三边，,.故选：D.变式19（2023高二课时练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（）AB8CD9【答案】B【解析】由，所以有，设圆的圆心为，半径为，设该双曲线另一个焦点为，所以，求的最小值转化为求的最小值，因此当点依次共线时，有最小值，即，故选：B变式20（2023全国高二专题练习）设P是双曲线上一点，MN分别是两圆和上的点，则的最大值为（）A6B9C12D14【答案】B【解析】因为双曲线方程为，故，则其焦点为，根据题意，作图如下：则，当且仅

24、当三点共线，且在之间时取得等号；，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；则，故可得，故的最大值为：.故选：B.变式21（2023全国高二随堂练习）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（）A3B1CD【答案】C【解析】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为，所以，当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号.故选：C变式22（2023河南洛阳高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线AP，BP相交于点P，且它们斜率之积是.当时，的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】设点坐标为，则直线的斜率；直线的斜率由已知有，化简得点的轨迹方程为又，所以点的轨迹方程为，即点的

25、轨迹为以、为顶点的双曲线的左支（除点），因为，设，由双曲线的定义可知，所以，当且仅当、三点共线时取得最小值，因为，所以，所以，即的最小值为；故选：A题型七：求轨迹方程例19（2023江西宜春高二江西省宜丰中学校考阶段练习）已知动圆与圆，圆中的一个外切一个内切，求动圆圆心的轨迹方程为 【答案】【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为，由圆，可得圆心，半径，圆，可得圆心，半径根据题意，可得或，所以或，可得又因为，可得，根据双曲线的定义，可得点的轨迹为以为焦点的双曲线，且，所以，则，所以所求曲线的轨迹方程为.故答案为：.例20（2023全国高二课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，

26、则动圆圆心M的轨迹方程为 .【答案】【解析】圆：，圆心，半径，圆：，圆心，半径.设动圆M的半径为R，则有，点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，于是.故动圆圆心M的轨迹方程为.故答案为：.例21（2023全国高二课堂例题）如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 .【答案】【解析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，.由正弦定理，得，（R为的外接圆半径）.，即.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）. 由题意，设所求轨迹方程为，.故所求轨迹方程为.故答案为：变式23（20

27、23全国高二专题练习）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为 .【答案】，【解析】定圆的圆心为，与关于原点对称，设动圆的半径为，则有，因为与圆外切，所以，即，所以点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，则，所以轨迹方程为，即，.故答案为：，变式24（2023全国高二专题练习）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是 【答案】【解析】设动圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为动圆过点，且与圆外切，所以，所以，所以，由双曲线的定义得的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支，因为实轴长为，焦点为，所以，动圆圆心的轨迹方程是，即故答案为：变式25（2023全国高二专题练习）已知

28、圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，由于动圆E与圆，都外切，设动圆E的半径为，则，所以，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，设方程为，则，所以E的轨迹方程为.故答案为：.变式26（2023全国高二专题练习）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是 【答案】【解析】圆N：的圆心，半径，点在圆N外，则圆P包含圆N，设圆P的半径为，由题意可得：，即，可得，故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支，可得，则，故动圆圆心P的轨迹方程是.故答案为：.变式27（2023上海高二专题练习）已知，两点，则满足的动点

29、的轨迹方程为 .【答案】【解析】由于，是两个定点，则满足,因此动点的轨迹是的延长线上,且点在轴上点的右侧（包含B），故其方程为，故答案为：变式28（2023湖北恩施高二校考阶段练习）已知椭圆的方程为，其左右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .【答案】【解析】由题意知，设直线为，由三点共线及三点共线，得，两式相乘化简，得，又，所以，即，又，即，所以点的轨迹方程为.故答案为：变式29（2023浙江杭州高二杭州四中校考期末）法国数学家蒙日发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线对应的蒙日圆方程为，则 .【答案】

30、2【解析】由双曲线的方程可得，由蒙日圆的定义可得双曲线对应的蒙日圆方程，所以，即，可得.故答案为：2.变式30（2023全国高二专题练习）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 【答案】【解析】设， 则，即，又，则，整理得，即点M的轨迹方程为.故答案为：变式31（2023全国高二专题练习）已知圆C1：（x3）2y21和圆C2：（x3）2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .【答案】【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为，则由题意可得，相减可得，故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，由题意可得，故点的轨迹方程为故答案为：变式32（202

31、3高二课时练习）已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为 【答案】【解析】设直线l的方程为，直线m的方程为，所以，不妨设点，所以，因为，所以，所以，即故答案为：一、单选题1（2023陕西咸阳高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则的值为（）A2B4CD【答案】A【解析】椭圆的长轴端点为，所以双曲线的焦点为，故，故选：A2（2023安徽安庆高二安庆市第七中学校考阶段练习）以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（）ABCD【答案】B【解析】由题意得双曲

32、线的焦点在轴上，设双曲线的方程为，所以，所以双曲线的方程为.故选：B.3（2023安徽阜阳高二阜阳市第三中学校考阶段练习）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】由题意知，解得，所以实数m的取值范围是.故选：D.4（2023四川遂宁高二射洪中学校考期中）设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（）ABC4D【答案】A【解析】由，得解得因为是双曲线左支上的动点，所以.由双曲线的定义可知故选：A.5（2023重庆沙坪坝高二重庆一中校考阶段练习）设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（）A4BC3D2【答案】D【解析】由，所以是以原点为圆

33、心，为半径的圆与双曲线的交点，又，即它们也在点所在的圆上，且为直径，所以为直角三角形，如上图，且，所以，则，故的面积为.故选：D6（2023全国高二专题练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（）ABCD【答案】C【解析】因为双曲线的下、上焦点分别为，所以设双曲线的方程为，半焦距为；又因为是双曲线上一点且，所以，即，则；所以双曲线的标准方程为.故选：C.7（2023广东深圳高二校考期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，则的面积是（）ABtC2tD4t【答案】B【解析】设，不妨设交点P在第一象限，分别为左右焦点，则，可得2：，是直角三角形，：，

34、故选：B8（2023江西上饶高二上饶市第一中学校考阶段练习）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（ ）A直线B圆C椭圆D双曲线【答案】D【解析】，即圆，故，因为平行与，所以，故，故点的轨迹为双曲线.故选：D二、多选题9（2023江苏南京高二南京市第五高级中学校考阶段练习）已知曲线.有（）A若，则是焦点在轴上的椭圆B若，则是半径为的圆C若，则是双曲线，且渐近线的方程为D若，则是两条直线【答案】AD【解析】A选项，若，曲线的方程可化为，则，所以是焦点在轴上的椭圆，A选项正确.B选项，若，曲线的方程可化为，则是半径为的圆，所以B选项错误.C选项，若，曲线的

35、方程可化为，表示双曲线，由得，所以C选项错误.D选项，若，曲线的方程可化为，表示两条直线，所以D选项正确.故选：AD10（2023江苏无锡高二辅仁高中校考阶段练习）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A当时，曲线C是椭圆B当或时，曲线C是双曲线C若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则【答案】BC【解析】对于A，当时，则曲线是圆，A错误；对于B，当或时，曲线是双曲线，B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，D错误故选：BC.11（2023江西上饶高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知点P在双

36、曲线C：上，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（）ABC点P到x轴的距离为4D【答案】BC【解析】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则右焦点的横坐标为，由双曲线的定义可知，故错误；设点，则，所以，故C正确；由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，由双曲线的定义，得，所以，故B正确；由余弦定理,得，所以，故D错误故选：BC12（2023江西萍乡高二萍乡市安源中学校考期中）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（）A双纽线关于原点中心对称；B；C双纽线

37、上满足的点有两个；D的最大值为.【答案】ABD【解析】对于A，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以，用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以A正确，对于B，设，故B正确；对于C，由知在的垂直平分线（方程为）上将代入得即，解得，这样的点只有一个，故C错误；对于D，因为，所以，由余弦定理得，所以，所以的最大值为，故D正确；故选：ABD.三、填空题13（2023陕西咸阳高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）已知双曲线的一个焦点在直线上，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的方程为 【答案】【解析】由题意可得双曲线的焦点在轴上，又直线与的交点为，所以右焦

38、点为，故，渐近线方程为，所以到渐近线的距离为，又，故双曲线方程为，故答案为：14（2023江苏南通高二校联考阶段练习）写出一个同时满足下列条件的双曲线的标准方程 .焦点在x轴上；渐近线方程为.【答案】（答案不唯一）【解析】双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为，由于双曲线的渐近线方程为，所以，.所以可取，此时双曲线的一个标准方程为.故答案为：（答案不唯一）15（2023全国高二课堂例题）已知双曲线的方程是，点P在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为10，点N是的中点，O为坐标原点，则 .【答案】1或9/9或1【解析】设双曲线的另一个焦点为，连接，易得ON是的中位线，所以，因为，所以或，故或.

39、故答案为：1或9.16（2023全国高二专题练习）双曲线C：的左、右焦点为，点P在双曲线C的右支上，点P关于原点的对称点为Q，则 .【答案】4【解析】由题意.如图，连接，则点Q在双曲线C的左支上，由双曲线的对称性知，所以四边形为平行四边形，所以，所以由双曲线的定义得.故答案为：4四、解答题17（2023新疆和田高二校考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点(1)求双曲线的方程；(2)求的面积.【解析】（1）由且，则，又点在双曲线上，则，综上，即双曲线的方程为.（2）由（1）知：，而到轴距离为，所以的面积为.18（2023江西南昌高二校考阶段练习）已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，动

40、圆与圆和圆均外切，记动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)若是上一点，且，求的面积.【解析】（1）设动圆的半径为，因为圆与圆和圆均外切，所以，则，根据双曲线的定义可知，的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支.设方程为，由，又，所以，所以的方程为.（2）设，则.因为.所以，即，解得或（舍去）.故的面积为：.19（2023福建三明高二三明一中校考阶段练习）求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)顶点在轴上，两顶点间的距离是10，且经过点；(2)一个焦点坐标为，一条渐近线方程为【解析】（1）设双曲线方程为，因为两顶点间的距离是10，且经过点，则，解得，则双曲线方程为.（2）因为一个焦点坐

41、标为，可设双曲线方程为，且，由一条渐近线方程为，可得，则，设，则，解得，则，所以双曲线方程为.20（2023全国高二随堂练习）如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m试选择适当的坐标系求此双曲线的方程【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，因为，点的横坐标分别为25，13，所以设（），所以，解得，因为高为55米，所以，即，得，所以所求双曲线方程为.21（2023福建泉州高二校考期中）已知圆： ，圆： ，圆，圆(1)若动圆与圆内切与圆外切. 求动圆圆心的轨迹的方程；(2)若动圆与圆、圆都外切. 求动圆圆心的轨迹的方程【解析】（1）设动圆的半径为，动圆与圆内切，与圆外切，且.于是，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，所以.故动圆圆心的轨迹的方程为（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，因此，圆心的轨迹方程为.