3.2函数的基本性质 讲义（知识点 考点 练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册.docx

1、3.2 函数的基本性质一、 增函数与减函数的定义1. 前提条件：设函数f(x)的定义域为I，区间DI条件x1，x2D，x1x2条件图示都有f(x1)f(x2)结论f(x)在区间D上单调递增特殊情况当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数f(x)在区间D上单调递减思考1所有的函数在定义域上都具有单调性吗？举例说明思考2在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2I”改为“存在x1，x2I”？举例说明思考3x1，x2D，若(x2x1)f(x2)f(x1)0或0，则yf(x)在某个区间D上单调递增吗？简要说明原因二、函数的单调区间如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那

2、么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间三、函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：xI，都有f(x)Mf(x)Mx0I，使得f(x0)M结论称M是函数yf(x)的最大值称M是函数yf(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标思考1若函数f(x)M，则M一定是函数的最大值吗？思考2若函数yf(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)在区间a，b上的最大值与最小值分别是多少？四、求函数最值的常用方法1图象法：作出yf(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐

3、标即为函数的最大(小)值2运用已学函数的值域3运用函数的单调性：(1)若yf(x)在区间a，b上单调递增，则ymaxf(b)，yminf(a)(2)若yf(x)在区间a，b上单调递减，则ymaxf(a)，yminf(b)4分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个五、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称思考具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？六、用奇偶性求解析式

4、如果已知函数的奇偶性和一个区间a，b上的解析式，求关于原点的对称区间b，a上的解析式，其解决思路为(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)七、函数的奇偶性与单调性1若f(x)为奇函数且在区间a，b(ab)上单调递增，则f(x)在b，a上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)2若f(x)为偶函数且在区间a，b(ab)上为单调递增，则f(x)在b，a上单调递减，即在对称区间上单调性相反思考若奇函数f(x)在区间a，b上单调递增，那么它在区间b，aa，b上单调递增吗？考点

5、一 性质法求单调性(单调区间)【例1】函数的单调递减区间为ABCD【练1】(2020林芝市第二高级中学高二期中(文)函数的单调递增区间为( )ABCD考法二 定义法求单调性(单调区间)【例2】(2020全国高一课时练习)求证：函数f(x)x在1，)上是增函数.【练2】(2020全国高一)利用单调性的定义，证明函数在上是减函数考法三 图像法求单调性(单调区间)【例3】(2020全国高一)求下列函数的单调区间(1)f(x)3|x|；(2)f(x)|x22x3|【练3】(2020全国高一课时练习)如图是定义在区间，上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考法

6、四 利用单调性求参数【例4】(2020开鲁县第一中学高二期末(文)函数在上是减函数则()ABCD【练4】(2020全国高一课时练习)已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围为_考法五 奇偶性的判断【例5】(2020全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性(1)f(x)2x；(2)f(x)2|x|；(3)f(x)； (4)f(x).【练5】(2019全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)考法六 利用奇偶性求解析式【例6】(1)(2020陕西渭滨.高二期末(文)已知是上的奇函数，且当时，则当时， 。(2)已知函数在R上为偶函数，且当时，则当时，的解析式是_【练6】(2020浙江高

7、一课时练习)函数在上为奇函数，且当时，则当时，_考法七 利用奇偶性求参数【例7】如果定义在区间3-a,5上的函数f(x)为奇函数，则a= _【练7】(2020林芝市第二高级中学高二期末(文)已知函数，若，则的值为( )ABCD考法八 单调性与奇偶性的综合运用【例8】(2020浙江高一课时练习)函数的最大值是：( )ABCD【练8】(2019哈尔滨市第一中学校高三开学考试(文)已知函数为偶函数，当时，则的解集是( )ABCD课后练习1. 定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,f(x3)=12f(x) ， 且当0x1x21时，有f(x1)f(x2) ， 则f1201

8、2的值为（）A.1256B.1128C.164D.1322. （2021高二下鹤岗期末）已知 y=f(x) 是定义在 R 上的周期为4的奇函数，若当 x0,1 时， f(x)=log2(x+a) ，则 f(2021)= （ ） A.-1B.0C.1D.23. （2019高一上静海月考）已知 f(x)=ax2+(b-2)x 是定义在 a-1,3a 上的偶函数，那么a+b的值是（ ） A.-94B.94C.-32D.-324. （2020高二下长春期末）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A.y=log0.5xB.y=sinxC.y=cosxD.y=tanx5. （2019高一上平遥月考

9、）若函数 y=(x+1)(x-a) 为偶函数，则 a= _ 6. （2020高二下沈阳期中）若0x1x21，且1x3lnx4-lnx3 ； ex2-ex1lnx2-lnx1 ； x3ex2x1ex2 ；其中正确的有 7. （2020高一上芜湖期中）已知函数 f(x) 是定义在R上的偶函数，当x0时， f(x)=x3+x2+1 ，则当x1 （1）求 f(x) 的定义域； （2）判断 f(x) 的奇偶性，并给予证明； （3）求使 f(x)0 的x取值范围 精讲答案思考1答案不是如函数yx2，y等思考2答案不能如对于函数yx2，存在42，且(4)20或0，则x2x1与f(x2)f(x1)同号，即x2

10、x1时，f(x2)f(x1)，所以f(x)在D上单调递增思考1答案不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)M时，M才是函数的最大值，否则不是如f(x)x23成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值思考2答案最大值为f(b)，最小值为f(a)思考答案定义域关于原点对称思考答案不一定如f(x)x在0,2上单调递增，则在2,00,22,2上也单调递增；而函数f(x)在1,3上单调递增，但在3，11,3上不单调递增【例1】【答案】A【解析】函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是 故选：A【练1】【答案】A【解析】函数, 函数图像为开口向下的抛

11、物线,且其对称轴为轴函数的单调增区间为.故选:A.【例2】【答案】证明见详解.【解析】证明：在区间上任取，则因为，故可得；又因为，故可得.故，即.故在区间上单调递增.【练2】【答案】证明见解析【解析】证明：设x1，x2是区间上任意两个实数且，则，即，在上是减函数【例3】【答案】(1)减区间为(，0，增区间为0，)；(2)增区间是3，1，1，)；减区间是(，3，1，1【解析】(1)由题意，函数，图象如图所示，所以函数f(x)的单调递减区间为(，0，单调递增区间为0，)(2)令，作出的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方，即可得到函数的图象，如图所示由图象易得：函数的

12、递增区间是3，1，1，)；函数的递减区间是(，3，1，1【练3】【答案】答案见解析【解析】从函数图象上看，当时，图象呈下降趋势，所以为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当时，图象呈上升趋势，所以为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增；从函数图象上看，当时，图象呈下降趋势，所以为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当时，图象呈上升趋势，所以为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增【例4】【答案】B【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，故选B【练4】【答案】(，12，)【解析】函数 在区间 上具有单调性，函数的对称轴为或 故的取值范围为或.故

13、答案为:【例5】【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既是奇函数又是偶函数；(4)非奇非偶函数.【解析】(1)函数的定义域为，由，所以函数为奇函数(2)函数的定义域为由所以函数为偶函数(3)由，所以函数的定义域为又，所以函数既是奇函数又是偶函数(4)由，所以函数的定义域为因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数.【练5】【答案】(1) 既不是奇函数，也不是偶函数(2)偶函数【解析】(1)由于该函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数(2)函数的定义域为，关于原点对称，所以函数为偶函数【例6】【答案】(1)(2)f(x)x2+2x【解析】由题意，设，

14、则，则，因为函数为上的奇函数，则，得， 即当时，.(2)当x0时，x0，f(x)x2+2x，又f(x)是偶函数，当x0时，f(x)f(x)x2+2x故答案为：f(x)x2+2x【练6】【答案】【解析】令，则，又函数在上为奇函数，则，即，得，故当时，【例7】【答案】8【解析】因为f(x)为奇函数由奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点中心对称即3-a=-5解得a=8【练7】【答案】B【解析】函数的定义域为，函数为奇函数，则.故选：B.【例8】【答案】A【解析】 故函数的最大值为：.故答案为：A.【练8】【答案】A【解析】当时，由得或，解得或，即所以不等式的解集为.故选：A.习题答案1.【答案】

15、 B 【考点】函数的单调性及单调区间，抽象函数及其应用 【解析】令， 所以， 所以， 所以所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 所以；在中令， 得， 所以， ， 又因为时，有， 而， 所以的值为.【分析】抽象函数问题一般都用“赋值法”解决.2.【答案】 C 【考点】奇函数，函数的周期性 【解析】解：y=f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，且当x0,1时，f(x)=log2(x+a) f(0)=log2a=0 a=1 当x0,1时，f(x)=log2(x+1) f(2021)=f(5054+1)=f(1)=log22=1 故答案为：C 【分析】根据奇函数的性质，结合周期性求解即可.3.

16、【答案】 B 【考点】偶函数 【解析】依题意得： f(-x)=f(x), b=2 ，又 a-1=-3a,a=14 ，a+b=94 .故答案为：B.【分析】利用 f(x)=f(-x) 得出b，再根据偶函数定义域关于原点对称，得出a，从而得出a+b的值.4.【答案】 C 【考点】函数奇偶性的判断，函数的周期性 【解析】A中 y=log0.5x 不是周期函数,故排除A; B,D中的函数均为奇函数,故排除B,D;故答案为：C.【分析】直接利用函数的性质判断即可.5.【答案】 1 【考点】偶函数 【解析】解：函数 y=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a 函数 y=(x+1)(x-a) 为偶函数

17、，(-x)2+(1-a)(-x)-a=x2+(1-a)x-a 1-a=0 a=1 【分析】根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论6.【答案】 【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性 【解析】令 f(x)=ex-lnx(x0) ，则 f(x)=ex-1x ， 易知当 x(0,+) 时， f(x) 单调递增，由 f(13)=e13-30 ，则存在 x0(13,1) 使得 f(x0)=0 ， 当 x(0,x0) 时， f(x)0 ， f(x) 单调递增； 0x1x21 ， 当 x2=x0 时， f(x2)f(x1) 即 ex2-lnx2ex1-lnx1 ， 此时 ex2-ex

18、1lnx2-lnx1 ，故错误； 1x3f(x3) 即 ex4-lnx4ex3-lnx3 ， ex4-ex3lnx4-lnx3 ，故正确；令 h(x)=exx(x0) ， h(x)=ex(x-1)x2 ， 当 x(0,1) 时， h(x)0 ， h(x) 单调递增； 0x21x3 ， h(x2) 与 h(x3) 的大小无法确定即 x3ex2 、 x2ex3 的大小无法确定，故错误； 0x1x21 ， h(x2)h(x1) 即 ex2x2x1ex2 ，故正确.故答案为：.【分析】根据题意构造函数f(x)再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出ex2-lnx20)对其

19、求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出x2ex1x1ex2从而判断出错误，正确从而得出答案。7.【答案】 f(x)=-x3+x2+1 【考点】函数解析式的求解及常用方法，偶函数 【解析】当x0时， f(x)=x3+x2+1 ， 当x0 ，所以 f(-x)=(-x)3+(-x)2+1=-x3+x2+1 ，又函数 f(x) 是定义在R上的偶函数，则 f(-x)=f(x) ，所以 f(x)=f(-x)=-x3+x2+1 .故答案为： f(x)=-x3+x2+1【分析】根据题意由奇函数的定义即可得出当x0 ，得 n2-20n+490 ，解得 10-51n0求解；10.【答案】

20、 解：已知函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，且 f(12)=25 ， f(0)=b1=0f(12)=a2+b1+(12)2=45(a2+b)=25 b=0a=1 ， f(x)=x1+x2 .【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数奇偶性的性质 【解析】利用奇函数在原点有意义，则f（0）b0，且 f(12)=25 ，可解出a，b的值，进而可得f(x)的解析式.11.【答案】 （1）解：由题意得 f(1)=|1-m|=0 ，解得 m=1 ， f(x)=x|x-1|=x2-x(x1)-x2+x(x0 ,即 1+xx-10 ,解得 -1x0可得 1+x1-x1 ,即 2xx-10 ,解得 0x0的 x 的取值范围是(0,1). 【考点】函数奇偶性的判断，对数函数的定义域，其他不等式的解法 【解析】(1)根据对数的性质即真数大于零，进而确定x的范围，求得函数的定义域。 (2)利用函数解析式可求得f(-x)=-f(x)，进而判断出函数为奇函数. (3)根据当a1时，f(x)在定义域内是增函数，由此可推断出f(x)0，进而可知1+x1-x1 ， 求解出x的范围即可。