4.1 线段、射线、直线【十大题型】（举一反三）（北师大版）（教师版）.docx

1、专题4.1 线段、射线、直线【十大题型】【北师大版】【题型1 线段、射线、直线概念辨析】1【题型2 线段、射线、直线的区别与联系】4【题型3 计数问题及其应用】7【题型4 利用线段的和与差求线段长度】9【题型5 线段中点的有关计算】13【题型6 线段n等分点的有关计算】17【题型7 线段的数量关系】22【题型8 两点间的距离】28【题型9 直线、线段的性质】32【题型10 线段的长短比较及其应用】35【知识点1 线段、射线、直线】名称直线射线线段图形BAABBA端点个数无一个两个表示法直线直线AB（BA）射线射线AB线段线段AB（BA）作法叙述作直线作直线AB作射线作射线AB作线段作线段AB连

2、接AB延长向两端无限延长向一端无限延长不可延长【题型1 线段、射线、直线概念辨析】【例1】（2022河北保定七年级期末）红楼梦第57回有这么一句话，“自古道:千里姻缘一线牵,管姻缘的有一位月下老儿，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是（）A直线B射线C线段D以上都不对【答案】C【分析】根据线段的定义解答即可【详解】解：“自古道：千里姻缘一线牵，管姻缘的有一位月下老儿，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是线段故选：C【点睛】本题考查了线段，掌握线段的定义（有两个端点的线）是解题的关键【变式1-

3、1】（2022全国七年级课时练习）下列说法正确的是（）A直线AB和直线BA表示同一条直线B过一点P只能作一条直线C射线AB和射线BA表示同一条射线D射线a比直线b短【答案】A【分析】根据直线和射线的表示方法，和过一点可以做无数条直线，依次判断A、C、B，再利用射线与直线不能进行长短的比较判断D即可【详解】解：A、直线可以用两个大写字母来表示，且直线没有方向，所以AB和BA是表示同一条直线；故A正确B、过一点P可以作无数条直线；故B错误C、射线AB和射线BA，端点不同，方向相反，故射线AB和射线BA表示不同的射线；故C错误D、射线和直线不能进行长短的比较；故D错误故选：A【点睛】本题考查了直线，

4、射线的表示方法以及射线和直线的性质，关键是要能够区分直线与射线的不同点【变式1-2】（2022河北邢台七年级期中）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（）ABCD或【答案】B【分析】先根据线段PQ与线段AB有公共点确交点的位置在AB上，连结线段PS，利用线段的延长线所在区域确定点Q落在区域即可【详解】解：线段PQ与线段AB相交，设交点为S，点S在线段AB上，连结PS并延长，点Q在PS的延长线上，PS的延长线在区域点Q在区域故选择B【点睛】本题主要考查了线段、射线和直线

5、，延长线，点与直线的位置关系：点经过直线，说明点在直线上；点不经过直线，说明点在直线外【变式1-3】（2022浙江宁波七年级期末）如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，则数字“2020”在（）A射线OA上B射线OB上C射线OD上D射线OF上【答案】C【分析】通过观察已知图形，发现共有六条射线，数字依次落在每条射线上，因此六个数字依次循环，算出2020有多少个循环即可【详解】解：通过观察已知图形，发现共有六条射线，数字1-2020每六个数字一个循环20206=3364，2020在射线OD上故选

6、：C【点睛】本题考查了数字的变化类，通过考察数字的所在线段，考查学生观察和总结能力，解决问题的关键是计算出6个数字一个循环题目整体较为简单，适合随堂训练【题型2 线段、射线、直线的区别与联系】【例2】（2022山东肥城市边院镇过村初级中学期末）平面上有三点A、B、C，如果AB=10，AC=7，BC=3，那么（）A点C在线段AB的延长线上B点C在线段AB上C点C在直线AB外D点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外【答案】B【分析】根据AB10，AC7，BC3，有ABACBC进行判断即可【详解】解答：解：如图，在平面内，AB10，AC7，BC3，点C为以A为圆心，7为半径，与以B为圆心，3为半径

7、的两个圆的交点，由于AB1073ACBC，所以，点C在线段AB上，故选：B【点睛】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键【变式2-1】（2022全国七年级专题练习）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中不能相交的图是（）ABCD【答案】ACD【分析】根据直线、射线、线段的特点分析判断即可；【详解】AB是直线，CD是线段不能延伸，故不能相交；AB是直线，EF是射线，都可延伸，故可相交；CD是线段，不能延伸，故不能相交；EF是射线，延伸方向与直线AB不相交；故选ACD【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的特点，准确分析判断是解题的关键【变式2-2】（2022

8、天津北辰七年级期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：图中有两条直线；图中有5条线段；射线AC和射线AD是同一条射线；直线BD经过点C其中结论正确的结论是_【答案】【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解【详解】解：直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故说法正确；直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故说法错误；射线AC和射线AD是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故说法正确；直线BD和直线BC相交于点B，直线BD经过点B，不经过点C，故说法

9、错误，故答案为：【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义【变式2-3】（2022山东东平县实验中学课时练习）如图是四个图形，每一个图形都有相应的一句描述，且所有图形都画在同一个平面上线段AB与射线MN不相交；点C在线段AB上；直线a和直线b不相交；延长射线AB，会经过点C其中正确的语句的个数为（）A0B1C2D3【答案】B【分析】根据直线、线段、射线的定义以及其性质分别判断得出即可【详解】解：线段AB与射线MN不相交，根据图形可得正确；根据图形可得点C不在线段AB上，故错误；根据图形可得出直线a和直线b会相交，故错误；根据图形可得出应为延长线段AB，会经过点C

10、，故错误故正确的语句的个数是1，故选：B【点睛】此题主要考查了直线、线段、射线的定义的应用，正确根据题意画出图形是解题关键.【题型3 计数问题及其应用】【例3】（2022山东泰安市泰山区大津口中学七年级阶段练习）如图是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制_种车票（任何两站之间，往返两种车票），需要_种不同的票价【答案】 20 10【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可【详解】解：5个点中线段的总条数是452=10（种），任何两站之间，往返两种车票，应印制102=20（种），又往返票价是一样的，需要10种票价，故答案为：20；10【点睛】

11、此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有n个点，则线段的数量有n(n-1)2条”【变式3-1】（2022湖南长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（）A12种B13种C14种D15种【答案】C【分析】根据题意按顺序列举即可解题【详解】解：这只小虫子的不同走法有：ABCDE、ABCDPE、ABCDPFE、ABPDE、ABPE、ABPFE、APBCDE、APDE、APE、APFE、AGFPBCDE、AGFPDE、AGFPE、AGFE，共14种，故选：C【点睛】本题考查排列与组合问题，是常见考

12、点，掌握相关知识是解题关键【变式3-2】（2022全国七年级课时练习）如图所示，图中过A点的直线共有_条，以A为端点的射线共有_条，以A为端点的线段共有_条【答案】 1 3 5【分析】根据直线没有端点，射线有1个端点，线段有2个端点，据此分析即可求解【详解】解析：过A点的直线只有1条，即直线AC；以A为端点的射线共有3条，即射线AF（或AD）、射线AE（或AC）、射线AG；以A为端点的线段共有5条，即线段AF、AD、AE、AC、AB故答案为：1；3；5【点睛】本题考查了直线，射线，线段的认识，掌握直线、射线、线段的端点的个数是解题的关键【变式3-3】（2022全国七年级专题练习）若直线上有两个

13、点，则以这两点为端点可以确定一条线段请仔细观察图形，解决下列问题：(1)如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定 条线段；(2)如图2，直线l上有4个点A，B，C，D，则可以确定 条线段；(3)若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程【答案】(1)3(2)6(3)n(n-1)2条，见解析【分析】（1）根据线段定义即可求解（2）根据线段的定义即可求解（3）由（1）（2）找出规律即可求解（1）解：由图可得：直线l上有3个点A，B，C，可得线段AB、线段BC和线段AC，则可以确定3条线段，故答案为：3（2）有图可得：直线l上有4个点A，B，C，D，可得线段AB、线段AC、线段A

14、D、线段BC、线段BD和线段CD，则可以确定6条线段，故答案为：6（3）由（1），（2）可得，当直线上有n个点，则：(n-1)+(n-2)+(n-3)+3+2+1=n-1+12(n-1)=n(n-1)2【点睛】本题考查了线段的定义及数量关系，熟练掌握线段的定义及数量关系是解题的关键【题型4 利用线段的和与差求线段长度】【例4】（2022北京朝阳七年级期末）一种零件的图纸如图所示，若AB10mm，BC50mm，CD20mm，则AD的长为 _mm【答案】80【分析】根据ADAB+BC+CD即可得答案【详解】解：由图可知：ADAB+BC+CD10+50+2080（mm）故答案为：80【点睛】本题考查

15、了线段的和差，掌握连接两点间的线段长叫两点间的距离是解本题的关键【变式4-1】（2022湖南湘西七年级期末）如图，已知AD=65mm，BD=60mm，CD=15mm，求AB和BC的长【答案】AB=5mm，BC=45mm【分析】结合已知条件根据AB=AD-BD解答，再根据BC=BD-CD求出解即可【详解】如图，AD=65mm，BD=60mm，CD=15mm，AB=AD-BD=65-60=5mm，BC=BD-CD=60-15=45mm【点睛】本题主要考查了线段的和差，掌握线段之间的数量关系是解题的关键【变式4-2】（2022陕西宝鸡七年级期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，M、N两点分

16、别从P、B出发以1cms、3cms的速度同时向左运动（M在线段AP上，N在线段BP上），运动时间为ts（1）若M、N运动1s时，且PN=3AM，求AP的长；（2）若M、N运动到任一时刻时，总有PN=3AM，AP的长度是否变化？若不变，请求出AP的长;若变化，请说明理由；（3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ=PQ+BQ，求PQ的长【答案】（1）3cm，证明见解析；（2）长度不变，长度为3cm，证明见解析；（3）6cm或12cm【分析】（1）根据路程、速度、时间公式算出M、N运动1s时所走的距离，根据总长度算出PN+AM的长度，根据PN=3AM分别算出PN和AM的长，再根据AP=AM

17、+MP算出AP的长（2）设运动到t时刻，即可表示出PM和BN的长度，根据总长度表示出PN+AM的长度，由已知条件PN=3AM，可以得到AM的长度，则AP=AM+PM,即可求得（3）由已知条件分析可知Q在AP间不符合题意，所以Q可能在PB间或AB的延长线上，根据AQ=PQ+BQ，求得AP=BQ，从而求得与AB的关系【详解】（1）当M、N运动1s时，PM=1cm，BN=3cm，PN+AM=8cm，PN=3AM，AM=2cm，PN=6cm，AP=PM+AM=3cm（2）设运动到t时刻，则PM=t，BN=3t，PN+AM=12-4t，PN=3AM，AM=3-t，AP=PM+AM=3cm，AP的长度不变

18、，长度为3cm（3）由已知条件可知，Q在AP间不符合题意，当Q在PB间时，如图1，由（2）可知AP=3cm，BP=9cm，PQ+BQ=BP=9=AQ，AQ=AP+PQ，AP=BQ，PQ=AQ-AP=6cm；当Q在AB的延长线上时，如图2，由（2）可知AP=3cm，BP=9cm，AQ=AP+PB+BQ=3+9+BQ=12+BQ，AQ=BQ+PQ，PQ=AQ-BQ=12+BQ-BQ=12cm；综上所述，PQ=6cm或12cm 【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段和、差、倍、分，转化线段之间的数量关系是解题的关键【变式4-3】（2022广东广州七年级期中）已知A，B，C，D四点在同一条直线

19、上，点C是线段AB的中点(1)点D在线段AB上，且AB=6，BD=13BC，求线段CD的长度；(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当AD:BD=2:3时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由【答案】(1)线段CD的长度为2；(2)5CD=3CE或CD=15CE理由见解析【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可；（2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系（1）解：如图1，点C是线段AB的中点，AB=6，BC=12AB=3，BD=13BC，BD=1，CD=BC-B

20、D=2；（2）解：5CD=3CE或CD=15CE理由如下：当点D在线段AB上，如图2，设AD=2x，则BD=3x，AB=AD+BD=5x，点C是线段AB的中点，AC=12AB=52x，CD=AC-AD=12x，AE=2BE，AE=23AB=103x，CE=AE-AC=56x，CDCE=12x56x，即5CD=3CE；当点D在BA延长线上时，如图3，设AD=2a，则BD=3a，AB=BD-AD=a，点C是线段AB的中点，AC=12AB=12a，CD=AC+AD=52a，AE=2BE，AE=23AB=23a，CE=AE-AC=16a，CDCE=52a16a，即CD=15CE综上，5CD=3CE或C

21、D=15CE【点睛】本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键解第2问注意分类讨论【知识点2 利用线段的中点求线段长度】线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.【题型5 线段中点的有关计算】【例5】（2022重庆西南大学附中七年级期末）如图，点D为线段AB的中点，点C为DB的中点，若AB=16，DE=13AE，则线段EC的长（）A7B203C6D5【答案】C【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案【详解】解：点D为线段AB的中点，ADBD12AB12168，ADAEDE，DE13AE，AE13AE8，AE6，DE2，点C为DB的中点，

22、CD12BD1284，CEDECD246，故选：C【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键【变式5-1】（2022江苏沭阳县修远中学七年级阶段练习）已知点C是线段AB的中点，下列说法：AB=2AC；BC=12AB；AC=BC；AC+BC=AB其中正确的个数是()A1B2C3D4【答案】D【分析】先画图，再结合点C是线段AB的中点，可得AB=2AC,BC=12AB,AC=BC,AC+BC=AB，从而可得答案.【详解】解：如图，点C是线段AB的中点，AB=2AC,BC=12AB,AC=BC,AC+BC=AB, 故，都符合题意

23、；故选D【点睛】本题考查的是中点的含义，线段的和差关系，掌握线段的中点的定义是解本题的关键.【变式5-2】（2022江苏扬州七年级期末）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”如图，点D是折线ACB的“折中点”，请解答以下问题：(1)当ACBC时，点D在线段 上；当ACBC时，点D与 重合；当ACBC时，点D在线段 上；(2)当ACBC时，若E为线段AC中点，EC8cm，CD6cm，求CB的长度【答案】(1)AC，点C，BC(2)28cm【分析】（1）由“折中点”的定义判断（2）由“折中点”的定义判断D在BC上，列式计算即可（

24、1）解：当ACBC时，由“折中点”的定义可知点D在线段AC上；当ACBC时，点D与点C重合当ACBC时，点D在线段BC上（2）如下图， E为线段AC中点 AE=EC=8cm BD=AE+EC+CD=8+8+6=22(cm) CB=BD+DC=22+6=28(cm)【点睛】本题考查了线段的加减，理解新定义“折中点”并画出图形是解题关键【变式5-3】（2022江苏江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC12AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”如图1，BC12AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的

25、“半距点”，MN6cm(1)MP=_cm(2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度【答案】(1)3或9(2)92cm 或 32cm【分析】（1）根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得PN=12MN，分两种情况画图求解（2）根据点G是线段MP的中点，结合（1）分两种情况即可求得线段GN的长度（1）如图所示：第一种情况： 点P是点M关于点N的“半距点”， PN=12MN，MN=6cm，P1N=12MN=3cmMP1=MN-P1N=3cm第二种情况：MN=6cm，P2N=12MN=3cmMP2=MN+P2N=9cm综上：MP的长度为3cm或9cm（2）如图所示：第一种情

26、况：点G1是线段MP1的中点， MG1=12MP1=32cm G1N=MN-MG1=6-32=92cm第二种情况：点G2是线段MP2的中点， MG2=12MP2=92cm G2N=MN-MG2=6-92=32cm综上：线段GN的长度为92cm或32cm【点睛】本题考查了两点间的距离，准确理解概念并作出图形是解题关键【题型6 线段n等分点的有关计算】【例6】（2022湖南郴州市明星学校七年级阶段练习）如图所示，C，D两点把线段AB分成了2：3：4三部分，M是AB的中点，DB12，求AM的长【答案】13.5【分析】根据比例设出AC、CD、DB的长度，然后根据DB的长度求出三条线段的长度，从而得到A

27、B的长度，再根据点M是AB的中点求出AM的长度【详解】解：设AC2x，CD3x，DB4x，DB12，4x12，解得x3，AC236，CD339，ABAC+CD+DB27，又M为AB中点，AM12AB13.5【点睛】本题考查了线段的和差倍分，以及中点的计算，根据比例设出线段AC、CD、BD的长度是解题的关键【变式6-1】（2022江苏鼓楼实验中学七年级阶段练习）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的12，则称该点是其他两个点的“倍分点”例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，0，2，满足AB12BC，此时点B是点A，C的“倍分点”已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数

28、如图所示（1）A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”；（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 个，分别是 ；（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数【答案】（1）B；（2）4；2，4，1，7；（3）212或24【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案【详解】解：（1）BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，BM=12BN，点B是点M，N的“倍分点”；（2）AM=-1-（-3

29、）=2，设D点坐标为x，当DM=12AM时，DM=1，|x-（-3）|=1，解得：x=-2或-4，当AM=12DM时，DM=2AM=4，|x-（-3）|=4，解得：x=1或-7，综上所述，则点D对应的数有4个，分别是-2，-4，1，-7，故答案为：4；-2，-4，1，-7；（3）MN=6-（-3）=9，当PN=12MN时，PN=129=92，点P在点N的右侧，此时点P表示的数为212，当MN=12PN时，PN=2MN=29=18，点P在点N的右侧，此时点P表示的数为24，综上所述，点P表示的数为212或24【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键【变

30、式6-2】（2022全国七年级专题练习）已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC:CB=3:2(1)求线段AC，CB的长；(2)点P是线段AB上的动点且不与点A，B，C重合，线段AP的中点为M，设AP=mcm请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长；若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm(2)PC=(9-m)cm或(9-m)cm，MC=9-12mcm；6或12【分析】（1）由AC:CB=3:2可得AC=35AB，CB=25AB，从而可求得AC、CB的长

31、；（2）分点P在线段AC上和点P在线段CB上两种情况分别计算即可；分点P在线段AC上和点P在线段CB上两种情况列方程，可求得m的值（1）AB=15cm，点C在线段AB上，且AC:CB=3:2AC=35AB=3515=9(cm)，CB=25AB=2515=6(cm)（2）M为线段AP的中点AM=MP=12AP=12mcm 当点P在线段AC上时PC=AC-AP=(9-m)cm，MC=AC-AM=9-12mcm当点P在线段CB上时PC=AP-AC=(m-9)cm，MC=AC-AM=9-12mcm当点P在线段AC上时，则MP=PC12m=9-m解得：m=6当点P在线段CB上时，则MC=PC9-12m=

32、m-9解得：m=12综上所述，m=6或12【点睛】本题考查了求线段长度，线段中点的意义及线段的和差，掌握线段中点的意义、线段的和差是解题的关键注意（2）小题要分类讨论【变式6-3】（2022全国七年级课时练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点若AB12，AC8，求MN的长(1)根据题意，小明求得MN_；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究设ABa，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答如图1，M，N

33、分别是AC，BC的中点，则MN_；如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的长；若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，则MN_；【答案】(1)6(2)12a；MN=23a；an-1n【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=12AC=4，CN=12BC=2，故MN=CM+CN=6；（2）由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=12AC，CN=12BC，即得MN=12AC+12BC=12AB，故MN=12a；由AM=13AC，BN=13BC，知CM=23AC，

34、CN=23BC，即得MN=CM+CN=23AC+23BC=23AB，故MN=23a；由AM=1nAC，BN=1nBC，知CM=n-1nAC，CN=n-1nBC，即得MN=CM+CN=n-1nAC+n-1nBC=n-1nAB，故MN=n-1na（1）解：AB=12，AC=8，BC=AB-AC=4，M，N分别是AC，BC的中点，CM=12AC=4，CN=12BC=2，MN=CM+CN=6；故答案为：6；（2）解：M，N分别是AC，BC的中点，CM=12AC，CN=12BC，MN=12AC+12BC=12AB，AB=a，MN=12a；故答案为：12a；AM=13AC，BN=13BC，CM=23AC，

35、CN=23BC，MN=CM+CN=23AC+23BC=23AB，AB=a，MN=23a；AM=1nAC，BN=1nBC，CM=n-1nAC，CN=n-1nBC，MN=CM+CN=n-1nAC+n-1nBC=n-1nAB，AB=a，MN=n-1na，故答案为：n-1na【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算【题型7 线段的数量关系】【例7】（2022江苏无锡七年级期末）如图，C、D是线段AB上两点，且CD=3AD-2BC，则AC与BD的关系是（）AAC=BDB2AC=BDC3AC=2BDD4AC=3BD【答案】C【分析】先分别表示出AC和BD，即可

36、求出两者的关系【详解】解：AC=AD-CD=AD-3AD+2BC=2BC-2AD=2(BC-AD)，BD=BC-CD=BC-3AD+2BC=3BC-3AD=3(BC-AD)，ACBD=2BC-AD3BC-AD=23，3AC=2BD，故选：C【点睛】本题考查线段的计算，熟练掌握线段的和差是解题的关键【变式7-1】（2022全国七年级课时练习）如图1，已知线段AB=20cm，点M是线段AB上一点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，C、D两点分别从M、B出发以acm/s、bcm/s的速度沿直线BA运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：|a-1|+|b-3|=0(1)直接写出：a=_，b=_

37、；(2)若2cmAM4cm，当点C、D运动了3s，求AC+MD的值；(3)如图2，若AM=13AB，点N是直线AB上一点，且AN-BN=MN，求MN与AB的数量关系【答案】(1)1，3(2)8cm(3)MN=13AB或MN=AB【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；（2）当C、D运动3s时，MC=3cm，BD=9cm，结合图形求解即可；（3）分两种情况：当点N在线段AB上时；当点N在线段AB的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可（1）解：|a1|+|b3|=0a-1=0，b-3=0，a=1，b=3，故答案为：1；3；（2）当C、D运动3s时，MC=3cm，B

38、D=9cm，AC+MD=AB-MC-BD =20-3-9=8(cm)（3）当点N在线段AB上时，AN-BN=MN，又AN-AM=MN，BN=AM=13AB，MN=AB-AM-BN=13AB当点N在线段AB的延长线上时，AN-BN=MN，又AN-BN=AB，MN=AB综上所述，MN=13AB或MN=AB【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键【变式7-2】（2022全国七年级课时练习）如图、所示，线段AB=20，线段CD=10，点E是BC的中点，设AC=a(1)当a=4时，则DE的长为_(2)在图中，计算DE的长度（用含a

39、的式子表示）(3)将图中的线段CD向右移动到图的位置直接写出线段AC与线段DE满足的数量关系在线段AC上有点F，满足32AF+BE=12AC-AF，求AF的长度（用含a的式子表示）【答案】(1)2(2)a2(3)AC=2DE，AF=a2-5【分析】（1）先求出BC的长，然后根据中点定义求CE，最后根据DE=CD-CE计算即可；（2）解题的方法和步骤和（1）相同；（3）先根据线段的和差关系和中点定义用a表示出DE，结合AC=a，即可求出结果；整理32AF+BE=12AC-AF得到4AF=a-20-a，再化简即可用含a的代数式表示出AF（1）解：BC=AB-AC=20-4=16，E是BC的中点，C

40、E=12BC=8，DE=CD-CE=10-8=2；（2）解：BC=AB-AC=20-a=20-a，E是BC的中点，CE=BC=1220-a，DE=CD-CE=10-1220-a=a2；（3）解：DE=CD-CE=CD-12BC=a2 ,AC=a，AC=2DE；-32AF+BE=12AC-AF ，3AF+2BE=AC-AF，4AF=AC-2BE=AC-BC=a-20-a，AF=a2-5【点睛】本题考查了线段的和与差和线段中点的有关计算，解题的关键是熟练运用线段的和差关系和中点的定义求线段长【变式7-3】（2022全国七年级课时练习）某操作车间有一段直线型向左移动的传输带，A，B两位操作工人站于传

41、输带同侧且相距16米，操作组长F也站在该侧，且到A，B距离相等，传输带上有一个8米长的工具筐CE(1)如图1，当CE位于A，B之间时，F发现工具筐的C端 离自己只有 1米，则工具筐C端离A 米，工具筐E端离B 米 (2)工具筐C端从B点开始随传输带向左移动直至工具筐E端到达以A点为止，这期间工具筐E端到B的距离BE和工具筐E端到F的距离EF存在怎样的数量关系，并用等式表示，（你可以在图2中先画一画，再找找规律） 【答案】(1)7，1(2)EFBE8或EFBE8或BEEF8【分析】（1）根据线段的和差可得答案；（2）分三种情况：当点C在线段BF上时或当点C在线段AF上时或当点C在线段BA的延长线

42、上时，正确画出图形即可得到结论（1）解：由题意得，AB16m，F到A，B距离相等，AFBF8m，CE8 m，CF1m，EF817m，BE871m故答案为：7，1；（2）当点C在线段BF上时，如图，设BCx，则BE8x，EF16x，EFBE（16x）（8x）8；当点C在线段AF上时，如图，设BCx，则BEx8，EF16x，EFBE（16x）（x8）8；当点C在线段BA的延长线上时，如图，设BCx，则BEx8，EFx16，BEEF（x8）（x16）8；综上，EFBE8或EFBE8或BEEF8【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段的和差是解题关键【知识点3 直线的性质】经过两点有一条直线，并且只

43、有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点.【知识点4 线段的性质】两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。【题型8 两点间的距离】【例8】（2022全国七年级专题练习）已知线段AB10cm，有下列说法：不存在到A，B两点的距离之和小于10cm的点；线段AB上存在无数个到A，B两点的距离之和等于10cm的点；线段AB外存在无数个到A，B两点的距离之和大于10cm 的点其中正确的是（）ABCD【答案】D【分析】根据线段上的点到线段两端点的距离的和等于线段的长，线段外的点到线段两端点的距离的和大于线段的长，可得答案【

44、详解】解：已知AB10cm，不存在到A，B两点的距离之和小于10cm的点，正确，符合题意；线段AB上存在无数个到A、B两点的距离之和等于10cm的点，正确，符合题意；线段AB外存在无数个到A、B两点的距离之和大于10cm的点，正确，符合题意，故选：D【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知线段上的点到线段两端点的距离的和等于线段的长，线段外的点到线段两端点的距离的和大于线段的长是解题关键【变式8-1】（2022河北石家庄七年级期末）如图，A、B、C、D表示四个车站的位置，A、B两站之间的距离AB=a-b，B、C两站之间的距离BC=2a-b，B、D两站之间的距离BD=72a-2b-1(1)求C，D两

45、站之间的距离CD（用含a，b的式子表示）；(2)当A，C两站之间的距离AC=90km时，求C、D两站之间的距离CD【答案】(1)32a-b-1(2)44km【分析】（1）根据两点之间的距离列出代数式即可；（2）根据两点间的距离列出CD的代数式进行解答（1）解：CD=BD-BC=72a-2b-1-(2a-b)=72a-2b-1-2a+b=32a-b-1（2）AC=a-b+2a-b=3a-2b当AC=90km时，3a-2b=9032a-b=45CD=32a-b-1=45-1=44 （km）【点睛】本题考查整式的加减、线段的和差等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键【变式8-2】（2022全国七

46、年级课时练习）如图所示，M是线段AB上一定点，AB=12cm，C，D两点分别从点M，B出发以1cm/s，2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）（1）当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值（2）若点C，D运时，总有MD=2AC，则AM=_（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=MN，求MNAB的值【答案】（1）6cm；（2）4；（3）13或1【分析】（1）由题意得CM=2cm，BD=4cm，根据AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD可得答案；（2）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求

47、得MB=2AM，所以AM=13AB；（3）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得【详解】解：（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=4cmAB=12cm，CM=2cm，BD=4cm，AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6（cm）；（2）根据C、D的运动速度知：BD=2MC，MD=2AC，BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，AM+BM=AB，AM+2AM=AB，AM=13AB=4，故答案为：4；（3）当点N在线段AB上时，如图1，AN-BN=MN，又AN-AM=MN，BN=AM=4，MN=AB-AM-BN=12-4-4=4

48、，MNAB=412=13；当点N在线段AB的延长线上时，如图2，AN-BN=MN，又AN-BN=AB，MN=AB=12，MNAB=1212=1，综上：MNAB的值为13或1【点睛】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点.【变式8-3】（2022江苏淮安七年级期末）【探索新知】如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”.（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）若线段AB=20，C是线段AB的“二倍点”，则BC= （写出所有结

49、果）【深入研究】如图2，若线段AB=20cm，点M从点B的位置开始，以每秒2cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，运动的时间为t秒.（2）问t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；（3）同时点N从点A的位置开始，以每秒1cm的速度向点B运动，并与点M同时停止.请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值.【答案】（1）是；10或203或403；（2）5或103或203；（3）8或607或152【分析】（1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断；可分为三种情况进行讨论，分别求出BC的长度即可；（2）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果；（

50、3）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论【详解】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，该线段等于2倍的中点一侧的线段长一条线段的中点是这条线段的“二倍点”故答案为：是.AB=20，C是线段AB的“二倍点”，当AB=2BC时，BC=1220=10；当AC=2BC时，BC=1320=203；当BC=2AC时，BC=2320=403；故答案为：10或203或403；（2）当AM=2BM时，20-2t=22t，解得：t=103；当AB=2AM时，20=2（20-2t），解得：t=5；当BM=2AM时，2t=2（20-2t），解得：t=203；答：

51、t为103或5或203时，点M是线段AB的“二倍点”；（3）当AN=2MN时，t=2t-（20-2t），解得：t=8；当AM=2NM时，20-2t=2t-（20-2t），解得：t=152；当MN=2AM时，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=607；答：t为152或8或607时，点M是线段AN的“二倍点”【点睛】本题考查了方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键【题型9 直线、线段的性质】【例9】（2022全国七年级课时练习）下列现象：用两个钉子就可以把木条固定在墙上从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设植树时，只

52、要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线把弯曲的公路改直，就能缩短路程其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象有（）ABCD【答案】C【分析】直接利用直线的性质和线段的性质分别判断得出答案【详解】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，能用“两点之间，线段最短”来解释，故此选项符合题意；植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；把弯曲的公路改直，就能缩短路程，能用“两点之间，线段最短”来解释，故此选项符合题意故选：C【点睛】本题考查了直线

53、的性质和线段的性质，正确掌握相关性质是解题关键【变式9-1】（2022河南郑州市第四初级中学七年级期末）值日生小明想把教室桌椅摆放整齐，为了将一列课桌对齐，他把这列课桌的最前面一张和最后面一张先拉成一条线，其余课桌按这条直线摆放，这样做用到的数学知识是_【答案】两点确定一条直线【分析】利用直线的性质进而分析得出即可【详解】解：先把最前面一张和最后面一张先拉成一条线，其余课桌按这条直线摆放，这样做用到的数学知识是：两点确定一条直线故答案为：两点确定一条直线【点睛】此题主要考查了直线的性质，正确将实际生活知识与数学知识联系是解题关键【变式9-2】（2022浙江绍兴七年级期末）如图，在方格纸中，点A

54、，B，C，D，E，F，H，K中，在同一直线上的三个点有（）A3组B4组C5组D6组【答案】C【分析】利用网格作图即可.【详解】如图：在同一直线上的三个点有A、B、C；B、E、K；C、H、E；D、E、F；D、H、K，共5组，故选：C【点睛】此题考查了直线的有关概念，在网格中找到相应的直线是解答此题的关键.【变式9-3】（2022广东汕尾七年级期末）如图，点C在AOB的边OA上，选择合适的画图工具按要求画图，（1）反向延长射线OB，得到射线OD，在射线OD上取一点F，使得OF=OC；（2）使用量角器，画出AOD的角平分线OE；（3）在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；（4）写出你完成（3）的

55、作图依据：_【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）两点之间线段最短【分析】（1）又O为圆心，OC为半径画弧交OB的反向延长射线OD交于点F；（2）先用量角器测出AOD 的度数，再得出一半的度数的位置，该点与O连接即可得出OE（3）连接CF交OE有点P，点P即为所求（4）根据两点之间线段最短解决问题【详解】解：（1）如图，射线OD，点F即为所求（2）如图，射线OE即为所求（3）如图，点P即为所求（4）两点之间线段最短故答案为：两点之间线段最短【点睛】本题考查了作图，角平分线的定义，两点之间线段最短等知识解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质【题型10 线段的长短比较及其应用

56、】【例10】（2022江苏无锡市华庄中学七年级期中）如图，在公路MN两侧分别有A1,A2,A7，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”则下面结论中正确的是（）车站的位置设在C点好于B点；车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；车站位置的设置与各段小公路的长度无关；车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处ABCD【答案】A【分析】可结合题意及图形，逐一对四个选项本身进行分析，确定对错即可【详解】解：车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，通过测量发现车

57、站的位置设在C点好于B点，故原来的结论正确，符合题意；车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，所以在这一段任何一点，效果不一样，故原来的结论错误，不符合题意；工厂到车站的距离是线段的长，指的是两点之间的距离，和各段的弯曲的小公路无关，故原来的结论正确，符合题意；车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B处，车站的位置设在BC段公路的最中间处不好于设在点C处，故原来的结论错误，不符合题意故选：A【点睛】本题考查了两点之间线段最短的问题，解题关键是具有较强的理解能力及分析能力，实际这道题根本不需要计算【变式10-1】（2022全国七年级课时练习）

58、在标枪训练课上，小秦在点O处进行了四次标枪试投，若标枪分别落在图中M,N,P,Q的四个点处，则表示他最好成绩的点是（）AMBPCNDQ【答案】C【分析】比较线段的长短，即可得到ONOPOQOM，进而得出表示他最好成绩的点【详解】如图所示，ONOPOQOM，表示他最好成绩的点是点N，故选：C【点睛】本题主要参考了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法【变式10-2】（2022重庆巫山七年级期末）如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB1千米，BC3千米，CD2千米，DE1.5千米乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间

59、新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为_千米【答案】12.5#1212【分析】分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长；当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5) =15.5千米；当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+ (2+1.5)=12.5千米；当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为

60、AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2) +2+1.5=14.5千米综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为12.5千米故答案为：12.5【点睛】本题考查线段的和与差利用分类讨论的思想是解题关键【变式10-3】（2022全国七年级课时练习）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB100米，BC200米为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A点AB点BCA，B之间DB，C之

61、间【答案】A【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理【详解】解：以点A为停靠点，则所有人的路程的和15100+103004500（米），以点B为停靠点，则所有人的路程的和30100+102005000（米），以点C为停靠点，则所有人的路程的和30300+1520012000（米），当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0m100），则所有人的路程的和是：30m+15（100m）+10（300m）4500+5m4500，当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0n200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200n）5000+35n4500该停靠点的位置应设在点A；故选A【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短