4.4　相似三角形.docx

1、4.4相似三角形学用P46过关演练(40分钟90分)1.已知ab=23,那么aa+b的值为(B)A.13B.25C.35D.34【解析】因为ab=23,设a=2k,则b=3k,则原式=2k2k+3k=25.2.若ABCDEF,相似比为32,则对应高的比为(A)A.32B.35C.94D.49【解析】因为ABCDEF,根据相似三角形的性质“相似三角形对应高之比等于相似比”可得对应高的比为32.3.如图,ADBECF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为(C)A.4B.5C.6D.8【解析】ADBECF,ABBC=DEEF,

2、AB=1,BC=3,DE=2,13=2EF,解得EF=6.4.如图,以点O为位似中心,将ABC放大得到DEF.若AD=OA,则ABC与DEF的面积之比为(B)A.12B.14C.15D.16【解析】以点O为位似中心,将ABC放大得到DEF,AD=OA,OAOD=12,ABC与DEF的面积之比为14.5.(2019哈尔滨)如图,在ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GEBD,且交AB于点E,GFAC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是(D)A.ABAE=AGADB.DFCF=DGADC.FGAC=EGBDD.AEBE=CFDF【解析】GEBD,GFAC,AEGABD,DFG

3、DCA,AEAB=AGAD,DGDA=DFDC,AEBE=AGDG=CFDF.6.(2019浙江绍兴)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置,已知ABBD,CDBD,垂足分别为B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(C)A.0.2 mB.0.3 mC.0.4 mD.0.5 m【解析】ABBD,CDBD,ABO=CDO=90,又AOB=COD,ABOCDO,则AOCO=ABCD,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,41=1.6CD,解得CD=0.4 m.7.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠,使点C落在AB边上

4、的点D,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B,D,F为顶点的三角形与ABC相似,那么CF的长度是(D)A.2B.125或2C.127D.127或2【解析】ABC沿EF折叠,点C和点D重合,FD=CF,设CF=x,则BF=4-x,以点B,D,F为顶点的三角形与ABC相似,分两种情况:若BFD=C,则BDFBAC,FDBF=ACBC,即x4-x=34,解得x=127;若BFD=A,则BDFBCA,FDBF=ACAB=1,即x4-x=1,解得x=2.综上,CF的长为127或2.8.如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC=1,E,F为线段AB上两动点,且ECF=45,过点E,F分别作

5、BC,AC的垂线相交于点M,垂足分别为H,G.现有以下结论:AB=2;当点E与点B重合时,MH=12;AF+BE=EF;MGMH=12.其中正确的是(C)A.B.C.D.【解析】由题意知,ABC是等腰直角三角形,AB=AC2+BC2=2,故正确;如图1,当点E与点B重合时,点H与点B重合,MBBC,MBC=90,MGAC,MGC=90=ACB=MBC,MGBC,四边形MGCB是矩形,MH=MB=CG,ECF=45=ABC,A=ACF=45,CF=AF=BF,FG是ACB的中位线,MH=GC=12AC=12,故正确;如图2所示,AC=BC,ACB=90,A=5=45,将ACF绕点C顺时针旋转90

6、至BCD,则CF=CD,1=4,6=A=45,BD=AF,2=45,1+3=3+4=45,DCE=2,在ECF和ECD中,CF=CD,2=DCE,CE=CE,ECFECD(SAS),EF=DE.5=45,EBD=90,DE2=BD2+BE2,即EF2=AF2+BE2,故错误;如图2,7=1+A=1+45=1+2=ACE,又A=5=45,ACEBFC,AEBC=ACBF,AEBF=ACBC=1,由题意知四边形CHMG是矩形,MGBC,MH=CG,MHAC,CHBC=AEAB,CGAC=BFAB,即MG1=AE2,MH1=BF2,MG=22AE,MH=22BF,MGMH=22AE22BF=12AE

7、BF=12ACBC=12,故正确.9.已知线段a,b,c,其中a=4,c=9,那么a和c的比例中项b=6.【解析】b是a,c的比例中项,b2=ac,即b2=36,b=6(负数舍去).10.如图,在ABC中,ABAC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件本题答案不唯一,如A=BDF,A=BFD,ADE=BFD,ADE=BDF,DFAC,BDAE=BFED,BDDE=BFAE,可以使得FDB与ADE相似.(只需写出一个)【解析】AC=3AD,AB=3AE,ADAC=AEAB=13,又A=A,ADEACB,AED=B.故要使FDB与ADE相似,

8、只需再添加一组对应角相等,或夹角的两边对应成比例即可.11.如图,在ABC中,D是AB的中点,点E在BC的延长线上,且BC=CE,连接DE交AC于点F,则AFCF=21.【解析】取DE的中点G,连接CG,BC=CE,CGAB,BDCG=21,BD=AD,ADCG=21,又ADFCGF,AFCF=21.12.(2019山东泰安)九章算术是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步面见木?”用今天的话说,大意是:如图,四边形DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于E

9、D的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)?请你计算KC的长为20003步.【解析】DH=100,DK=100,AH=15,AHDK,CDK=A,而CKD=AHD,CDKDAH,CKDH=DKAH,即CK100=10015,CK=20003.13.(8分)如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OE=OB,连接DE.(1)求证:DEBE;(2)如果OECD,求证:BDCE=CDDE.解:(1)OB=OE,OEB=OBE.四边形ABCD是平行四边形,OB=OD,OD=OE,OED=ODE.在BED中,OEB+OB

10、E+OED+ODE=180,OEB+OED=90,即BED=90,DEBE.(2)设OE交CD于点H.OECD于点H,CHE=90,CEH+HCE=90,CDE=CEH.OEB=OBE,OBE=CDE.在CED与DEB中,CED=DEB,CDE=DBE,CEDDEB,CEDE=CDDB,即BDCE=CDDE.14.(10分)已知RtABC中,B=90,AC=20,AB=10,P是边AC上一点(不包括端点A,C),过点P作PEBC于点E,过点E作EFAC,交AB于点F.设PC=x,PE=y.(1)求y与x的函数关系式.(2)是否存在点P使PEF是直角三角形?若存在,求此时的x的值;若不存在,请说

11、明理由.解:(1)在RtABC中,B=90,AC=20,AB=10,sin C=12,PEBC于点E,sin C=PEPC=12,PC=x,PE=y,y=12x(0x20).(2)存在点P使PEF是直角三角形.如图1,当FPE=90时,四边形PEBF是矩形,BF=PE=12x,四边形APEF是平行四边形,AF=PE=12x,BF+AF=AB=10,x=10.如图2,当PFE=90时,RtAPFRtABC,AFP=C=30,AF=40-2x,平行四边形AFEP中,AF=PE,40-2x=12x,解得x=16.当PEF=90时,此时不存在符合条件的RtPEF.综上,当x=10或x=16时,存在点P

12、使PEF是直角三角形.15.(10分)(2019浙江宁波)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;(2)如图1,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD平分ABC,BAC=ADC.求证:ABC是比例三角形.(3)如图2,在(2)的条件下,当ADC=90时,求BDAC的值.解:(1)ABC是比例三角形,且AB=2,BC=3,当AB2=BCAC时,得4=3AC,解得AC=43;当BC2=ABAC时,得9=2AC,解得AC=92;当AC2=ABBC时,得AC2=6,解得AC=6(负

13、值舍去).所以当AC=43或92或6时,ABC是比例三角形.(2)ADBC,ACB=CAD,又BAC=ADC,ABCDCA,BCCA=CAAD,即CA2=BCAD,ADBC,ADB=CBD,BD平分ABC,ABD=CBD,ADB=ABD,AB=AD,CA2=BCAB,ABC是比例三角形.(3)过点A作AHBD于点H,AB=AD,BH=12BD,ADBC,ADC=90,BCD=90,BHA=BCD=90,又ABH=DBC,ABHDBC,ABDB=BHBC,即ABBC=BHDB,ABBC=12BD2,又ABBC=AC2,12BD2=AC2,BDAC=2.16.(10分)如图1,在四边形ABCD的边

14、AB上任取一点E(点E不与点A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.【试题再现】如图2,在ABC中,ACB=90,直角顶点C在直线DE上,分别过点A,B作ADDE于点D,BEDE于点E.求证:ADCCEB.【问题探究】在图1中,若A=B=DEC=40,试判断点E是否为四边形ABCD的边AB上的“相似点”,并说明理由.【深入探究】如图3,ADBC,DP平分ADC,CP平分BCD交DP于点P,过点P作ABAD于点A

15、,交BC于点B.(1)请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个“强相似点”;(2)若AD=3,BC=5,试求AB的长.解:【试题再现】ACB=90,ACD+BCE=90,ADDE,ACD+CAD=90,BCE=CAD,ADC=CEB=90,ADCCEB.【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”.理由:DEC=40,DEA+CEB=140.A=40,ADE+AED=140,ADE=CEB,又A=B,ADEBEC,点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”.【深入探究】(1)ADBC,ADC+BCD=180,DP平分ADC,CP平分BCD,CDP+DCP=12(ADC+BCD)=9

16、0,DAAB,CBAB,DPC=A=B=90,ADP=CDP,ADPPDC,同理BPCPDC,ADPPDCBPC,即点P是四边形ABCD的边AB上的一个“强相似点”.(2)过点P作PEDC于点E,过点D作DFBC于点F,则四边形ABFD是矩形,DF=AB,ADP=EDP,DAP=DEP=90,DP=DP,ADPEDP,AD=DE,同理CBPCEP,BC=EC,DC=AD+BC=8.在RtCDF中,CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2,由勾股定理得DF=82-22=215,AB=215.名师预测1.如图,DEF是由ABC经过位似变换得到的,点O是位似中心,D,E,F分别是OA,OB,OC的中

17、点,则DEF与ABC的面积比是(B)A.12B.14C.15D.16【解析】D,F分别是OA,OC的中点,DF=12AC,DEF与ABC的相似比是12,DEF与ABC的面积比是14.2.如图,已知在ABCD中,E为AD的中点,CE的延长线交BA的延长线于点F,则下列选项中的结论错误的是(C)A.FAFB=12B.AEBC=12C.BECF=12D.SABESFBC=14【解析】四边形ABCD是平行四边形,CDAB,CD=AB,DECAEF,CDAF=CEEF=DEAE,E为AD的中点,CD=AF,FE=EC,FAFB=12,故A正确;FE=EC,FA=AB,AEBC=12,故B正确;FBC不一

18、定是直角,BECF不一定等于12,故C错误;AEBC,AE=12BC,SFAESFBC=14,SFAE=SABE,SABESFBC=14,故D正确.3.如图,在ABCD中,点F是BD的一个四等分点,EC交对角线BD于点F,S1,S2分别表示三角形DEF和四边形ABFE的面积,则S1S2等于(C)A.19B.110C.111D.112【解析】点F是BD的一个四等分点,DFFB=13.由ADBC得DEFBCF,S1=19SCFB=1934SBCD=112SBCD=112SABD,S2=SABD-S1=1112SABD,S1S2=111.4.一副三角板按如图所示叠放在一起,则COOB=31.【解析】

19、设BD=x,则AD=2x,在RtABD中,由勾股定理得AB=(2x)2-x2=3x=AC,又ACBD,AOCDOB,COOB=ACBD=3xx=3.5.已知在平面直角坐标系中,点A(0,3),B(-6,0).连接AB,作直线y=1,交AB于点P1,过点P1作P1Q1x轴于点Q1;连接AQ1,交直线y=1于点P2,作P2Q2x轴于点Q2;,以此类推.则点Q3的坐标为-169,0;PnQnA的面积为2n3n-1.(用含n的代数式表示)【解析】点A(0,3),B(-6,0),直线y=1交AB于点P1,OA=3,OB=6,P1Q1=P2Q2=P3Q3=1,P1Q1x轴于点Q1,P2Q2x轴于点Q2,P

20、1Q1P2Q2P3Q3PnQny轴,BP1Q1BAO,P2Q1Q2AQ1O,P3Q2Q3AQ2O,P1Q1OA=BQ1OB,P2Q2OA=Q1Q2OQ1,P3Q3OA=Q2Q3OQ2,BQ1=2,Q1Q2=43,Q2Q3=89,Q1(-4,0),Q2-83,0,Q3-169,0,即Q1-2230,0,Q2-2331,0,Q3-2432,0,Qn-1-2n3n-2,0,Qn-2n+13n-1,0,SP1Q1A=12P1Q1OQ1=12OQ1=124=2,同理可得SP2Q2A=12OQ2=43,SPnQnA=12OQn=2n3n-1.6.在ABC中,AC=4,AB=5,BC=6,P是BC上一点,且

21、BP=2.过点P画直线PE交ABC的另一边于点E,使截得的三角形与ABC相似,则线段PE的长为43或85或103.【解析】分三种情况:当PE1CA时,BPE1BCA,BPBC=PE1AC,26=PE14,PE1=43;当BPE2=A时,BPE2BAC,BPAB=PE2AC,25=PE24,PE2=85;当PE3AB时,CPE3CBA,CPBC=PE3AB,46=PE35,PE3=103.综上,PE的值为43或85或103.7.已知在正方形ABCD中,AB=4,E为CD边的中点,F为AD边的中点,AE交BD于点G,交BF于点H,连接DH.(1)求证:BG=2DG;(2)求AHHGGE的值;(3)

22、求BHHD的值.解:(1)四边形ABCD是正方形,ABCD,AB=CD,DE=CE,ABGEDG,DEAB=DGBG=12,BG=2DG.(2)ABCD,AB=CD,DE=CE,ABGEDG,DEAB=DGBG=EGAG=12,在RtADE中,AD=4,DE=2,AE=25,EG=253,同理可得BF=25,AB=AD,BAF=ADE,AF=DE,BAFADE,ABF=DAE,DAE+BAH=90,ABF+BAH=90,AHB=90,AEBF,AH=ABAFBF=4225=455,HG=25-455-253=8515,AHHGGE=4558515253=645.(3)作DMAE于点M.由(2)可知DM=AH=455,EM=DE2-DM2=255,HM=EH-EM=455,DH=4105,BH=AB2-AH2=855,BHHD=8554105=2.