6.2.3组合教学设计【新教材 新思维高中数学】-2021-2022学年上学期高二数学同步教学（人教A版（2019）选择性必修第三册）.docx

1、6.2.3组合 一、教材分析本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第三册，第六章计数原理，本节课主本节课主要学习组合与组合数.排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是组合的理解，利用计数原理及排列数公式推导组合数公式，注意区分排列与组合的区别，难点是运用组合解决实际问题。二、教学目标课程目标学科素养A. 理解并掌握组合的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.1.数学抽象：组合的概念 2.数学建模：运用组合解决计数问题三、教学重难点重点：组合概念并运用排列组合公式解决问题 难点：

2、组合与排列之间的联系与区别 四、教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标一、 问题探究问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？分析：在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的

3、选法就只有如下3种情况：甲乙、甲丙、乙丙.从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？一、组合的相关概念1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.名师点析排列与组合的区别与联系(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素.(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.例1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？（2）从中选2辆给

4、3位同学有多少种不同的方法？（1）与顺序无关，是组合问题；（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。例2.平面内有A，B，C，D共4个点.（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A42=43=12.这12条有向线段分别为AB,BA, AC,C

5、A, AD,DA, BC,CB, BD, DB,CD, DC.（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：AB,AC,AD,BC,BD,CD.问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？【例1】判断下列问题是排列问题还是组合问题.(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结

6、果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题.(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题.思维升华区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标准是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即

7、说明无顺序，是组合问题.【训练1】判断下列问题是排列问题还是组合问题.(1)集合0，1，2，3，4的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？解(1)由于集合中的元素是无序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合.这是一个组合问题.(2)选正、副班长时要考虑顺序，所以是排列问题；选代表参加会议是不用考虑顺序的，所以是组合问题.题型二简单的组合问题【例2】有5名教师，其中3名男教师，2名女教师.(1)现要从中选2名去参加会议，有_种不同的选法；(2)选出

8、2名男教师或2名女教师参加会议，有_种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有_种不同的选法.答案(1)10(2)4(3)3解析(1)从5名教师中选2名去参加会议的选法种数，通过列举法可得共有10种不同的方法.(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师，有3种方法；第2类，选出的2名是女教师，有1种方法.根据分类加法计数原理，共有314(种)不同选法.(3)从3名男教师中选2名的选法有3种，从2名女教师中选2名的选法有1种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法313(种).思维升华(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别

9、在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.【训练2】一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是10.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是6.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是4.

10、题型三双重元素的组合问题【例3】某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有()A.25种 B.35种 C.820种 D.840种答案A解析分三类完成：男生甲参加，女生乙不参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法；男生甲不参加，女生乙参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法；两人都不参加，只需在其余5人中选4人，有5种选法.由分类加法计数原理共有1010525(种)不同的选派方案.思维升华本题用到两个计数原理解题，两个原理的区别在于：分类加法计数原理每次得到的是最后结果，分步乘法计数原理每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部

11、分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成.【训练3】某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门.若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有()A.15种 B.30种C.45种 D.90种答案C解析分两类，A类选修课选1门，B选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有3103545(种)选法.三、课堂小结1.牢记2个知识点(1)组合的概念；(2)排列与组合之间的联系与区别.2.掌握2种方法(1)解简单的组合应用题的方法；(2)解双重元素的组合问题的方法.3.注意1个易错点排列与组合的区分标准是有无顺序.通过具体问题，分析、比较、归纳出组合的概念。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。