6_06-专题六　平面向量.docx

1、专题六平面向量一、单项选择题1.(2022吉林第三次调研,5)已知向量a=(4,3),则与向量a垂直的单位向量的坐标为()A.45,35B.35,45C.45,35或45,35D.35,45或35,45答案D易知b=(3,-4)是与a垂直的向量,|b|=5,所以与b平行的单位向量为15b=35,45或-15b=35,45,故选D.2.(2023届哈尔滨三中月考二,5)在ABC中,点D是线段BC上任意一点,且满足AD=3AP,若存在实数m和n,使得BP=mAB+nAC,则m+n=()A.23B.13C.-23D.-13答案C设BD=BC(01),AD=3AP,BP=BA+AP=BA+13AD=B

2、A+13(BDBA)=23BA+13BC=23BA+13(ACAB)=13AC23+13AB,BP=mAB+nAC,m=-23+13,n=13,m+n=132313=23.故选C.3.(2023届四川内江六中9月联考,1)已知向量a=(1,2),b=(1,1),若c=a+kb,且bc,则实数k=()A.32B.-53C.53D.-32答案D由题意可得c=a+kb=(1,2)+(k,k)=(k+1,2+k).又bc,bc=k+1+k+2=2k+3=0,k=-32,故选D.4.(2023届河南名校诊断测试一,10)已知ABC中,BO=2OC,过点O的直线分别交射线AB,AC于不同的两点M,N,则A

3、MN与ABC的面积之比的最小值为()A.223B.49C.89D.2答案C设AM=mAB,AN=nAC,m0,n0,则AB=1mAM,AC=1nAN.BO=2OC,BA+AO=2(OA+AC),即AO=13AB+23AC=13mAM+23nAN.M、O、N三点共线,13m+23n=1.1=13m+23n213m23n=232mn,mn89当且仅当13m=23n=12时等号成立.SABC=12|AB|AC|sinBAC,SAMN=12|AM|AN|sinBAC=12m|AB|n|AC|sinBAC,SAMNSABC=mn89,故选C.5.(2022陕西汉中第二次质检,4)已知向量a=12,32,

4、b=32,12,则下列关系正确的是()A.(a+b)(a-b)B.(a+b)bC.(a+b)(a-b)D.(a+b)a答案C由题意得|a|=|b|=1,ab=-1232+3212=32,所以(a+b)(a-b)=a2-b2=0,所以(a+b)(a-b),(a+b)a=a2+ab=1-320,(a+b)b=ab+b2=1-320,a+b=312,312,a-b=3+12,3+12,3123+123123+12=1,故a+b与a-b不平行.只有C正确.故选C.6.(2023届南京溧水期中,5)已知菱形ABCD中,AB=2,ABC=120,M为BC中点,DN=DC,AMAN=19,则=()A.1B.

5、3C.5D.7答案B如图,AM=AB+BM=AB+12AD,AN=AD+DN=AD+DC=AD+AB,AMAN=AB+12AD(AB+AD)=AB2+2+1ABAD+12AD2.在菱形ABCD中,ABC=120,AB=2,BAD=60,AD=2,AMAN=4+2+122cos 60+2=5+4=19,解得=3.故选B.7.(2023届豫东名校联考,3)已知平面向量a,b满足a=(3,1),|b|=2,|a+b|=2,则a与b的夹角为()A.23B.4C.34D.56答案Ca=(3,1),|a|=2.把|a+b|=2两边平方,得a2+2ab+b2=2,ab=-2,cos=ab|a|b|=222=

6、22.又0,a与b的夹角为34,故选C.8.(2023届山西临汾期中,3)已知平面向量a=1,12,b=(1,),a与b的夹角为钝角,则的取值范围是()A.(-,2B.(2,+)C.(-,2) D.,1212,2答案Da与b的夹角为钝角,cos=ab|a|b|0,即ab0.又ab=-1+12,-1+120,解得2.当a与b反向时,=,ab0,此时可得-1-121=0,即=-12,不符合题意.2且-12.故选D.二、多项选择题9.(2022海南三模,9)已知向量a=(1,3),b=(-1,0),则()A.a-2b=(2,3)B.|a|=2|b|C.(a+b)bD.a与b的夹角为3答案BCa-2b

7、=(3,3);|a|=2|b|=2;(a+b)b=(0,3)(-1,0)=0,(a+b)b;设a与b的夹角为,则cos =ab|a|b|=12,又0,=23.故选BC.10.(2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,9)已知a=(1,2),b=(m,-1),则下列说法正确的是()A.若ab,则m=12B.若ab,则m=2C.若|a|=|b|,则m=2D.若m=-3,则a,b的夹角为34答案BD若ab,则1(-1)-2m=0,解得m=-12,故A错误;若ab,则ab=m-2=0,解得m=2,故B正确;若|a|=|b|,则m2+1=5,解得m=2或m=-2,故C错误;若m=-3,则b=(-3,-

8、1),设a,b的夹角为,则cos =ab|a|b|=32510=22,又0,所以=34,故D正确.11.(2022湖北黄冈蕲春实验高级中学一模,10)已知向量a=(3,m),b=(n,1),若a-2b=(-1,-6),则下列结论中正确的是()A.5|b|=|a|B.(5a-2b)bC.cos=-3130130D.a(3a+2b)答案ABC由题意得,a-2b=(3-2n,m-2)=(-1,-6),m=-4,n=2,故a=(3,-4),b=(2,1).对于A,|b|=22+12=5,|a|=32+(4)2=5,5|b|=|a|,故A正确;对于B,5a-2b=(11,-22),则(5a-2b)b=1

9、12-221=0,(5a-2b)b,故B正确;对于C,a-b=(1,-5),cos=b(ab)|b|ab=21+1(5)512+(5)2=3130130,故C正确;对于D,3a+2b=(13,-10),3(-10)-(-4)13=220,故D错误.故选ABC.12.(2022山东潍坊一模,10)已知向量OP=(1,2),将OP绕原点O旋转-30,30,60到OP1,OP2,OP3的位置,则()A.OP1OP3=0B.|PP1|=|PP2|C.OPOP3=OP1OP2D.点P1的坐标为312,1+232答案ABC根据题意得OP1与OP3的夹角为90,故OP1OP3=0,A正确;连接PP1,PP2

10、,因为OPP1OPP2,所以PP1=PP2,即|PP1|=|PP2|,故B正确;因为=60,=60,|OP|=|OP3|=|OP1|=|OP2|,所以OPOP3=OP1OP2,故C正确;若点P1的坐标为312,1+232,则|OP1|=17+232|OP|=5,故D不正确.故选ABC.三、填空题13.(2023届河南名校联考诊断一,13)已知向量a=(2,2),b=(3,3m-2),c=(-2,2-2m).若a(b+c),则|b|=.答案10解析由已知得b+c=(1,m),a(b+c),a=(2,2),12-2m=0,解得m=1.b=(3,1),即|b|=32+12=10.14.(2023届河

11、南安阳调研测试,13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a-b|2=|a|2-|b|2,则实数m=.答案3解析由|a-b|2=|a|2-|b|2得a2-2ab+b2=a2-b2,即2ab=2b2=2(12+22)=10,又ab=m+2,所以m+2=5,即m=3.15.(2021新高考,15,5分)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,ab+bc+ca=.答案-92解析由a+b+c=0,得b+c=-a,则a(b+c)=-a2,所以ab+ca=-12=-1.由b+c=-a,得(b+c)2=(-a)2,则b2+2bc+c2=a2,即22+2bc+22=12,所以bc=-72

12、,则ab+bc+ca=-92.16.(2022新疆克拉玛依三模,16)设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1B1,则A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.如图,已知扇形AOB的半径为1,以O为坐标原点建立平面直角坐标系,OA=1,0,OB=12,32,则弧AB的中点C的坐标为;向量CO在OB上的投影向量为.答案32,12;34,34解析因为OA=(1,0),OB=12,32,所以cos=OAOB|OA|OB|=1211=12,所以AOB=3.因为点C为弧AB的中点,所以AOC=6.由扇形AOB的半径为1,可得弧AB满足的方程x=cos,y=sin为参数,03,所以弧AB中点C的坐标为x=cos6=32,y=sin6=12,所以C的坐标为32,12,所以CO=32,12,又OB=12,32,所以向量CO在OB上的投影为COOB|OB|=34341=32.所以向量CO在OB上的投影向量为34,34.