7.3 复数的三角形式(析训练）-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）.docx

1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)7.3复数的三角形式一、单选题1（2021全国）（）ABCD2（2021江苏徐州）已知：棣莫弗公式（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（2021全国）（）ABCD4（2020河北冀州中学）任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（）ABCD5（2020河北正中实验中学）棣莫弗定理：若两个复数，则，已知，则的值为（）ABCD6（2022全国（文）已知复数z满足z4且z|z|0，则z201

2、9的值为A1B2 2019C1D2 20197（2021全国）设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（）ABCD8（2021河南郑州十一中）欧拉是世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中，(为自然对数的底数，为虚数单位)被称为“数学中的天桥”，将复数指数函数三角函数联系起来了.当时，可得恒等式（）ABCD9（2021重庆巴蜀中学）复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角已知复数满足 ，则的辐角为（）ABCD10（2021上海）已知复数满足，则的最大值为（）ABCD11（2021江苏苏州市相

3、城区陆慕高级中学）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系根据欧拉公式可知，（）A1B0CD12（2021吉林长春十一高高一阶段练习）任何一个复数 (其中为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（）（1）（2）当时，（3）当时， （4）当时，若n为偶数，则复数为纯虚数A1B2C3D4二、多选题13（2021全国）欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关

4、联起来：（把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是（）A若，则有B若，则C若，则D设，则在复平面上对应的点在第一象限14（2021全国）棣莫佛（，16671754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Pope，16881744）在人类小品中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（）A

5、BCD存在8个不同的复数，使15（2021江苏仪征高一期中）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（）ABC若复数的虚部为，则的实部为D已知，复数，在复平面内对应的点分别为，则三角形面积的最大值为16（2021广东荔湾高二期末）在复平面内，复数zabi对应向量为（O为坐标原点，）设，射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则数学家棣莫弗发现：设，则，我们称这个结论为英弗定理，并由此定理推出了复数乘方公式：，根据以上信息，下列说法正确的是（）A当r1，时

6、，B当r1，时，CD当r1，时，若n为偶数，则复数为纯虚数17（2021全国高一课时练习）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）AB当，时，C当，时，D当，时，若为偶数，则复数为纯虚数三、填空题18（2021上海）复数的三角形式为_19（2021上海）已知复数满足，且，则的三角形式为_20（2021全国）设复数z的辐角是，实部是2，则z_21（2022全国（文）设复数，满足，则_22（2021全国）若复z的模为2，辐角为，则_.23（2021全国）复平面内向量对应的

7、复数为，A点对应的复数为，现将绕点顺时针方向旋转90后得到的向量为，则点对应的复数为_.四、解答题24（2022湖南高一课时练习）将下列复数化为三角形式：(1)；(2)；(3)；(4)25（2021全国）求复数，的辐角主值26（2021全国）当实数k取什么值时，复数的辐角主值是？27（2021全国）计算：(1)；(2)；(3)；(4)28（2021全国）已知复数(1)求及；(2)当复数z满足，求的最大值参考答案：1D【解析】根据复数的乘法法则，进行整理化简即可.【详解】故选：D.【点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题.2B【解析】【分析】由已知求得复数所对应点的坐标，结合三角函数的象限

8、符号得答案【详解】解：由，所以，复数在复平面内所对应的点的坐标为，所以，复数在复平面内所对应的点位于第二象限故选：3B【解析】先将2化为三角形式，再用除法法则计算即可.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，注意本题中将实数转化为三角形式的细节.4D【解析】【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值【详解】，所以辐角主值为故选：D5B【解析】【分析】推导出，求出的值，即可得出的值.【详解】由已知条件可得，以此类推可知，对任意的，所以，因此，.故选：B.6D【解析】首先设复数z=a+bi（a，bR），根据z4和z|z|0得出方程组，求解可得：z，通过计算

9、可得：，代入即可得解.【详解】设z=a+bi（a，bR）， 由z4且z|z|=0，得，解得a=1，b.z，而1，.故选：D.【点睛】本题考查了复数的计算，考查了共轭复数，要求较高的计算能力，属于较难题.7A【解析】【分析】先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出.【详解】因为，所以，设，则，即，故.故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将、化为三角形式然后再计算.8C【解析】【分析】直接把代入即可得【详解】把代入可得，即故选：C9C【解析】【分析】根据题意，先求出复数，再结合，即可求出.【详解】由得， 故，所以.

10、故选C10C【解析】【分析】设，根据复数模长运算和三角恒等变换的知识可得到，由此确定最大值.【详解】由可设：，（其中），当时，.故选：.【点睛】本题考查复数模长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为三角函数最值的求解问题.11C【解析】【分析】根据欧拉公式直接求出的值即可【详解】根据，可知故选：C12B【解析】【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可【详解】解：对于（1），因为，所以，所以，所以，所以（1）正确，对于（2），当时，则，所以（2）错误，对于（3），当时，则，所以（3）正确，对于（4）， 当时，则当时， ，所以（4）错误，所以正确的有2个，故选：B13AC【解

11、析】【分析】根据题干所给出的新定义判断各个选项即可【详解】解：对于，故正确；对于，由棣莫弗定理可知，两个复数，相乘，所得到的复数的辐角是复数，的辐角之和，模是复数，的模之积，所以的辐角是复数的辐角的倍，模是，故正确；对于，所以，故错误；对于，设，故，故复数 在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故错误故选：14AD【解析】【分析】利用复数的三角形式的性质和三角函数恒等变换公式逐个分析判断即可【详解】解：根据题意，在，令可得.对于A，设，则有，变形可得，则，A正确；对于B，设，则有，变形可得，则，B错误；对于C，C错误；对于D，设，若，即，则有，则，在区间上，有8个解，即存在8个不同的复数，使，

12、D正确；故选：AD.15AB【解析】【分析】根据欧拉公式及复数得模即可判断A；，整理即可判断B；根据欧拉公式及复数的虚部为，结合三角恒等变换，求出，即可求出的实部，从而判断C；根据题意可得，点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，根据三角形的面积公式即可求得三角形面积的最大值，从而判断D.【详解】解：对于A，故A正确；对于B，故B正确；对于C，因为复数的虚部为，所以，又，所以，故，所以，所以，即的实部为，故C错误；对于D，由题意，则点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，又，当，即时，取最大值，所以三角形面积的最大值为，故D错误.故选：AB.16BC【解析】【分析】利用复数乘方公式即可判断选项A；

13、利用复数的三角形式以及共轭复数的定义即可判断选项B；利用复数的三角形式与模的计算公式即可判断选项C；利用复数乘方公式化简，取验证，即可判断选项D【详解】解：对于A，当，时，故选项A错误；对于B，当，时，所以，故选项B正确；对于C，则，所以，又，所以，故选项C正确；对于D，当，时，取时，则为偶数，此时不是纯虚数，故选项D错误故选：BC17AC【解析】【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，则，可得，A选项正确；对于B选项，当，时，B选项错误；对于C选项，当，时，

14、则，C选项正确；对于D选项，取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.18【解析】【分析】直接写出复数的三角形式即可.【详解】因为，所以z的三角形式可以写作.故答案为：.19【解析】【分析】由可得，根据的范围限制舍去一根，借助公式即可表示出的三角形式【详解】由可得，所以，又，所以因为，所以故答案为：20【解析】【分析】由复数三角形式的定义结合辐角的正切值可得结果.【详解】由复数，则所以故答案为: 21【解析】【分析】由题意设，利用已知复数相等的条件列方程组求，进而可求.【详解】，设，两式平方相

15、加得：，化简得：，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：由复数模的数量关系，应用复数的三角表示，并根据复数相等的条件求模22【解析】【分析】根据复数的三角形式写出，化为代数形式，由除法法则计算【详解】由已知，所以故答案为：23【解析】【分析】利用复数乘法的几何意义求得对应的复数.【详解】由于向量对应的复数为，而，现将绕点顺时针方向旋转90后得到的向量为，所以对应的复数为.故答案为：【点睛】本小题主要考查复数旋转有关概念，属于基础题.24(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解.(1)(2)(3)(4).25，0，【解析】【分析】计算，根据结合，得到辐角主值

16、，同理可得其他答案【详解】设这4个复数的模分别为，辐角主值分别为，因为，所以，又，故同理，可以求得：，故4个复数的辐角主值分别为，0，26【解析】【分析】根据复数的三角形式和辐角主值的概念即可求解.【详解】因为的辐角主值是，所以，所以.所以当时，所给复数的辐角主值是.27(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】直接利用复数的三角表示的运算法则结合三角恒等变换计算得到答案.(1).(2).(3).(4).28(1)，(2)【解析】【分析】（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解（2）设为三角形式，和复数的代数形式，共同代入，化简后可求最大值(1)解：，将化为三角形式，得，(2)解：由于复数z满足，设，则，当时，取得最大值所以的最大值为