7.5 三角形内角和定理（解析版）.docx

1、7.5 三角形内角和定理课堂知识梳理三角形内角和定理 三角形的内角和等于180.三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角课后培优练级练培优第一阶基础过关练1在ABC中，A=60，B=50，则C的度数为（）A60B30C70D50【答案】C【分析】根据三角形内角和定理计算即可【详解】解：， ，故选：C【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180是解题的关键2如图，在ABC中AD平分BAC交BC于点D，B30度，ADC70度，则C的度数是（） A50B60C70D80【答案】C【分析】由B30，ADC

2、70，利用三角形外角的性质求出BAD，再利用AD平分BAC，求出BAC，再利用三角形的内角和即可求出C的度数【详解】解：B30，ADC70，BADADCB703040，AD平分BAC，BAC2BAD80，C180BBAC180308070，故选：C【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键3已知三角形的三个内角的度数比为2:3:4，则它的最大角的度数为（）A60B80C100D120【答案】B【分析】根据三角形的三个内角的度数比为2：3：4内角和等于180列方程求三个内角的度数，确定最大的外角的度数即可

3、【详解】解：三角形的三个内角的度数比为2：3：4，设三个内角的度数分别为2k，3k，4k，根据三角形角和定理得：2k3k4k180，得k20，最大的内角为4k80，故B正确故选：B【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理列出方程，是解题的关键4三角形的一个外角为36，则这个三角形一定是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形【答案】B【分析】根据外角求出对应的内角，即可得出选项【详解】 三角形的一个外角是36 对应的内角为 这个三角形是钝角三角形故选：B【点睛】本题考查了三角形外角的性质的应用，注意：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形5如图

4、，将一副三角板如图所示摆放，其中点在上，则等于（）A15B30C12D35【答案】A【分析】先根据平行线的性质得到FGB=45，然后使用三角形外角定理即可得到答案【详解】解：如图：AB/DEFGB=D=45FGB=A+GFA，A=30AFD=15故选：A【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，掌握并熟练使用相关知识，精准识图，认真推导 是本题的解题关键6下列说法中，正确的个数是（）三角形的三条高都在三角形内，且都交于一点任意三角形的外角和都是三角形的一个外角大于任何一个内角在中，当时，这个三角形是直角三角形A个B个C个D个【答案】B【分析】根据三角形高线的性质可判断，根据三角形外角的

5、性质可判断，结合三角形内角和定理可判断，进而可求解【详解】解：锐角三角形的三条高都在三角形内，且都交于一点；钝角三角形的两条高在三角形的外部，故的说法错误；任意三角形的外角和都是，故的说法正确；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故的说法错误；在中，当时，则这个三角形是直角三角形，故的说法正确故正确的个数有个故选：B【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线掌握三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线的特点是解题的关键7如图，在中，分别是边上的点，且若，则_【答案】35#35度【分析】根据等腰三角形的性质得到A=B，证明ADFBFE，得到ADF=BF

6、E，根据三角形内角和定理计算可得A=B=（180-P）=34，根据三角形的外角的性质即可解决问题【详解】解：在和中ADF=BFE，P=110，A=B=（180-P）=35，DFB=DFE+EFB=A+ADF，DFE=A=35，故答案为：35【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键8如图，在中，则_【答案】#245度【分析】根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可【详解】，故答案为：【点睛】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理熟练掌握上述知识点并利用数形结合的思想是

7、解题关键9如图，沿直线翻折后能与完全重合，沿直线翻折后能与完全重合，与相交于点，若，则_【答案】123【分析】由ABC=18，ACB=29，得BAC=133，根据翻折可得DAB=133，从而FAC=360-DAB-BAC=94，而ACE=ACB=29，即可得答案【详解】解：，BAC=180-ABC-ACB=133，ABC沿直线AB翻折后能与ABD重合，DAB=BAC=133，FAC=360-DAB-BAC=94，ABC沿直线AC翻折后能与AEC重合，ACE=ACB=29，CFD=FAC+ACE=123故答案为：123【点睛】本题考查三角形的翻折，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握翻折

8、的性质，求出FAC的度数10已知中，在图1中、的平分线交于点，则可计算得；在图2中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，则_【答案】【分析】首先根据三角形内角和定理求得，再由三等分角线可得，由三角形内角和定理即可求得【详解】解：，、的两条三等分角线分别对应交于、，故答案为：11如图，在ABC中，B=48，三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E求AEC的度数【答案】66【分析】利用外角的性质可得CAD+FCA=B+BCA+B+BAC，再利用三角形内角和可求得其和，再结合角平分线的性质可求得EAC+ECA，在ACE中利用三角形内角和可求得AEC【详解】解：三角形的外角DAC和ACF的平分线交于

9、点E，CAE+ACE=（B+ACB）+（B+BAC）=（BAC+B+ACB+B）=（180+48）=114 在ACE中，AEC=180-（CAE+ACE）=180-114=66【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，由条件求得CAD+FCA的度数是解题的关键12如图，在ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，且相交于点O，ABC50，C70，求DAE和BOA的度数【答案】DAE10，BOA125【分析】根据ADBC，C70，求出CAD20，利用三角形内角和定理求出BAC60，由AE是BAC的角平分线，可得EACBAE30，即有EAD10，再根据BF是ABC的角平分线，可得ABO25，则

10、BOA可求【详解】解：ADBC，ADC90，C70，CAD180907020，ABC50，BAC180ABCC60，AE是BAC的角平分线，EACBAE30，EADEACCAD302010，BF是ABC的角平分线，ABO25，BOA180BAOABO1803025125，故DAE和BOA的度数分别是10和125【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，掌握三角形内角和定理是解答本题的关键13如图，已知点，在同一直线上，若，求的度数.【答案】【分析】根据得出，进而可得，根据，等量代换可得，可得，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理求得，即可求解【详解】解：，【点睛】本题考查

11、了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，掌握平行线的性质与判定是解题的关键14证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于已知：，求证：(1)证明：如图，作边的延长线，过点C作所以_（_），_（_）因为（_），所以（等量代换）(2)请利用图中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程【答案】(1)A；两直线平行，内错角相等；B；两直线平行，同位角相等；平角的定义(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质，以及平角的定义进行解答；（2）如图，过点作，利用两直线平行，内错角相等和平角的定义进行证明（1） A （两直线平行，内错角相等）， B （两直线平行，同位角相等）（ 平角的定义 ），（2

12、）如图，过点作则：，（两直线平行，内错角相等）（ 平角的定义 ），【点睛】本题考查三角形内角和180的证明思路，将三角形的三个角转化为一个平角，从而证明三角形的内角和为180培优第二阶拓展培优练15“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”揭示了三角形的一个外角与它的两个内角之间的数量关系，请探索并写出三角形没有公共顶点的两个外角与它的第三个内角之间的关系：_.【答案】三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式，再根据三角形的内角和定理整理即可得解.【详解】解：如图，根据三角形的外角性质，1=A+AC

13、B，2=A+ABC，1+2=A+ACB+A+ABC，根据三角形内角和定理，得A+ABC+ACB=180，1+2=A+180，三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180.故答案为三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180.【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键是解题的关键，作出图形更形急直观.16在ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，连接CE(1)如图1，当点D在线段CB上，且BAC=90时，那

14、么DCE= 度；(2)设BAC=，DCE= 如图2，当点D在线段CB上，BAC90时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 如图3，当点D在线段CB的延长线上，BAC90时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）【答案】(1)90；(2)+=180；证明见解析；=【分析】（1）易证BAD=CAE，即可证明BADCAE，可得ACE=B，即可解题；（2）易证BAD=CAE，即可证明BADCAE，可得ACE=B，根据B+ACB=180-即可解题；易证BAD=CAE，即可证明BADCAE，可得ACE=B，根据ADE+AED+=180，CDE+CED+=180即可解题（1）解

15、：BAD+DAC=BAC=90，DAC+CAE=DAE=90，BAD=CAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），ACE=B，B+ACB=90，DCE=ACE+ACB=90；故答案为： 90；（2）解：BAD+DAC=BAC=，DAC+CAE=DAE=，BAD=CAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），ACE=B，B+ACB=180-，DCE=ACE+ACB=180-=，+=180；作出图形，BAD+BAE=BAC=，BAE+CAE=DAE=，BAD=CAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），AEC=ADB，ADE+AED+=180，CDE+CED+=180，CED

16、=AEC+AED，=【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，三角形内角和定理，本题中求证BADCAE是解题的关键17生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图三幅图都是由一副直角三角板拼凑得到的，其中图1的两块三角板是和，图2的两块三角板是和.图1图2图3(1)求图1中的的度数.(2)在图2中已知，求的度数.(3)在图3中，三角板的两个直角顶点重合，且两条斜边平行，则_.【答案】(1)75；(2)75；(3)75【分析】（1）由F30，EAC45，得出ABF的度数，又由FBC90，得ABC的度数；（2）首先根据三角形内

17、角和为180，得到C的度数，又由AEBC，即可求得CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得AFD的度数；（3）过两个三角板直角顶点作，根据平行线性质即可求得的度数（1）解：，；（2）解：，；（3）解：过作，如图所示：，故答案为：【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及平行线的性质等知识，灵活运用数形结合思想、认识常规三角板是解决问题的关键18如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与相交于点Q(1)若，则_，_；(2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？并说明理由；(3)若，则_，_；（用含

18、x的代数式表示）；(4)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数【答案】(1)115，25(2)不发生变化，理由见解析(3)，(4)45，60，120，135【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（3）将（2）中换成，同理即可求解；（4）设，由（3）可知，再由不变，即可分类讨论当时，当时，当时和当时，分别列出关于x的等式，解出x即可（1），平分，平分，；，CP平分，CQ平分， ，即，故答案为：115，25；（2）当的度数发生变化时，、的度数不发生变化理由如下：，

19、平分，平分，由（1）可知不变，当的度数发生变化时，、的度数不发生变化；（3），平分，平分，由（1）可知不变，故答案为：，；（4）设，由（3）可知，可分类讨论：当时，解得：，；当时，解得：，；当时， 解得：，；当时， 解得：，综上可知或或或【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键培优第三阶中考沙场点兵19（2022辽宁丹东中考真题）如图，直线l1/l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作ACl2，垂足为C，若152，则2的度数是（）A32B38C48D52【答案】B【分析】根据平行线的性质求出ABC，根据三角形内角和

20、定理求出即可【详解】解：直线l1l2，152，ABC152，ACl2，ACB90，2180ABCACB180529038，故选：B【点睛】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补20（2022河北中考真题）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案、，说法正确的是（）A可行、不可行B不可行、可行C、都可行D、都不可行【答案】C【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案和的结果是否等于

21、夹角，即可判断正误【详解】方案：如下图，即为所要测量的角故方案可行方案：如下图，即为所要测量的角在中：则：故方案可行故选：C【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明21（2022贵州黔西中考真题）如图，在和中，AC与DE相交于点F若，则的度数为_【答案】105#105度【分析】在中，利用已知求得，再利用平行线的性质求得，然后在中利用三角形的内角和定理求得 ，最后在中，利用三角形的内角和定理即可求得【详解】解：在中，；，在中，在中，故答案为：【点睛】本题看考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形的内角和定理是解题的关键22（2022湖南湘潭中考

22、真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，则_【答案】40#40度【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解【详解】解：依题意，故答案为：40【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键23（2022北京中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180，已知：如图，,求证：方法一证明：如图，过点A作方法二证明：如图，过点C作【答案】答案见解析【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到，从而可求证三角形的内角和为方法二：由

23、平行线的性质得：A=ACD，B+BCD=180，从而可求证三角形的内角和为【详解】证明：方法一：过点作，则， 两直线平行，内错角相等）点，在同一条直线上，（平角的定义） 即三角形的内角和为方法二：如图，过点C作CD/AB，A=ACD，B+BCD=180，B+ACB+A=180即三角形的内角和为【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键24（2022浙江绍兴中考真题）如图，在ABC中，ABC=40， ACB=90，AE平分BAC交BC于点EP是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将APC沿AP翻折得APD，连结DC，记BCD=(1)如图

24、，当P与E重合时，求的度数(2)当P与E不重合时，记BAD=，探究与的数量关系【答案】(1)25(2)当点P在线段BE上时，250；当点P在线段CE上时，250【分析】（1）由B40，ACB90，得BAC50，根据AE平分BAC，P与E重合，可得ACD，从而ACBACD；（2）分两种情况：当点P在线段BE上时，可得ADCACD90，根据ADCBADBBCD，即可得250；当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由ADCACD90，ADCAFCABCBAD+可得9040，即250（1）解：B40，ACB90，BAC50，P与E重合，AE平分BAC，D在AB边上，AECD，ACD65，ACBACD25；（2）如图1，当点P在线段BE上时，ADCACD90，ADCBADBBCD，9040，250；如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，ADCACD90，ADCAFCABCBAD+40，9040，250【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质