8.2 函数与数学模型-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docx

1、8.2 函数与数学模型【考点梳理】重难点技巧：函数模型的应用考点：函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数型函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)考点六：应用函数模型解决问题的基本过程1审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；2建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学

2、知识建立相应的数学模型；3求模求解数学模型，得出数学模型；4还原将数学结论还原为实际问题【题型归纳】题型一：利用二次函数模型解决实际问题1（2022辽宁大连八中高一期中）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（）A甲、乙两车均超速B甲车超速但乙车未超速C乙

3、车超速但甲车未超速D甲、乙两车均未超速2（2022湖南师大附中高一期末）某产品近日开始上市，通过市场调查，得到该产品每1件的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由；(2)利用你选取的函数，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格；(3)设你所选取的函数为，若对任意实数k，关于x的方程恒有两个相异实数根，求实数m的取值范围.题型二：分段函数模型3（2022福建省福州外国语学校高一阶段练习）某电子公司生产某种智能手环，其固定成本为

4、2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于日产量x（单位：个）满足函数：.(1)将利润（单位：元）表示成日产量x的函数；(2)当日产量x为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？（利润总成本总收入）4（2022江西高一阶段练习）为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某部手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产（单位：千部）手机，需另投入可变成本万元，且由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额固定成本可变成本）(1)求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单

5、位：千部）的函数关系式；(2)2023年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？题型三：分式型函数模型5（2022辽宁本溪满族自治县高级中学高一阶段练习）某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：.设分配给植绿护绿项目的资金为x（单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为（单位：百万元）.(1)将表示成关于x的函数；(2)为使生态收益总和最大，对

6、两个生态项目的投资分别为多少？6（2022广东广州思源学校高一期中）近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本.(1)求的值；(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？题型四：指数函数模型7（2022陕西礼泉县第二中学高一阶段练习）用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度，单位：）随时间（单位：小时）变化的函数符合，其

7、函数图象如图所示，其中为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在到之间，当达到上限浓度时（即浓度达到时），必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度.(1)求出函数的解析式；(2)一病患开始注射后，最多隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（结果保留小数点后一位，参考数据：）8（2022河北邢台一中高一）邢台，简称“邢”，古称邢州、顺德府，拥有3500余年建城史，是华北历史上第一座城市，有“五朝古都、十朝雄郡”之称，现有4区2市12县，总面积1.24万平方公里.至

8、2021年末，全市常住总人口708.79万人，在全省11个地市中排名第6名，2021年全市GDP总量2427.1亿元，位列全省第7名.(1)假设2021年后邢台市GDP的年平均增长率能保持8%，那么按此增长速度，约经过几年后，邢台市GDP能实现比2021年翻一番？(2)习近平总书记在党的二十大报告中指出，到2035年我国要基本实现社会主义现代化，人均国内生产总值达到中等发达国家水平.对标国家目标，邢台市未来发展任重道远，需立大格局、树进取心、施非常策、兴落实风，奋力开创高质量超越发展，力争实现2035年GDP比2021年翻两番.要实现这一宏伟目标，从2021年后GDP的年平均增长率至少要保持在

9、多少以上？（参考数据：，）题型五：对数函数模型9（2022海南海口一中高一阶段练习）北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的，属于燕鸥属的一种海鸟.科学家经过测量发现北极燕鸥的飞行速度（单位：）满足方程，其中表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.（取）(1)当北极燕鸥每分钟的耗氧量为个单位时，它的飞行速度为，求此时的值；(2)当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时，甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的倍，试问甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍？10（2022上海市市西中学高一期中）20世纪30年代，里克特（CFRichter）

10、制定了一种表明地震能量大小的尺度，是我们平常所说的里氏震级，其计算公式为： 其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离所造成的偏差）(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震振幅是0.001，计算此次地震的震级（精确到0.1级）(2)5级地震给人带来的震撼已经比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1倍）题型六：幂函数模型11（2021上海市进才中学高一期末）某条货运线路总长2000千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速50千米/时（含），最高限速100千米

11、/时（含）.汽油的价格是每升8元，汽车在该路段行驶时，速度为千米/时，每小时油耗为升.（假设汽车保持匀速行驶）(1)求该线路行车油费（元）关于行车速度（千米/时）的函数关系；(2)车速为何值时，行车油费达到最低？并求出最低的行车油费；(3)运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在24小时内送达，否则将少支付50元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速.12（2022福建漳州高一期末）2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色

12、“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益.(1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：）(2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围.题型七：给定函数模型求解13（2022湖北武汉市第六中学高一阶段练习）2022年12月7日，国务院发布了精准防控新冠疫情的十条最新措施，以减轻疫情防控对企业经营和民众生活带来的损失

13、某公司为了尽快恢复经营活动，决定对业绩在50万元到200万元的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，但不超过业绩值的(1)若某业务员的业绩为100万，核定可得5万元奖金，若该公司用函数（k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（参考数据）(2)若采用函数，求a的范围14（2022浙江大学附属中学高一期中）某店国庆期间对某新上市商品开展促销活动，已知a（万件）该商品的进价成本总共为（万元），每件商品的售价定为元开展该促销活动需要一笔促销费用，该商品的销售量由促销费用决定，经测算该商品的销售量a（万件）与促销

14、费用x（万元）满足以下关系：(1)将该商品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；(2)促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？【双基达标】一、单选题15（2022福建福州十八中高一阶段练习）我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为（）A26米B28米C31米D33米16（2022北京101中学高一阶段练习）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10

15、天后有4000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（本题取）A22B23C33D3417（2022辽宁南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常，排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为（为浓度单位，表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度与排气时间（分钟）之间存在函数关系（为常数），若空气中一氧化碳浓度不高于为正常，则至少需要排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳浓度达到正常状态（）A10B14C18D2818（2022湖南省隆回县第二中学高一阶段练习）酒驾是严重危害交通安全的违法

16、行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到一一的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（参考数据：，）（）A1B3C5D719（2022天津市南开中学滨海生态城学校高一）某种食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）近似满足函数关系为常数）.若该食品在的保鲜时间是288小时，在的保鲜时间是144小时，则该食品在的保鲜时间是（）.A32小时B36小时C48小时D18小时20（2022河南民权县第一

17、高级中学高一阶段练习）某企业对员工的奖励y（单位：万元）与该企业的年产值x（单位：万元，）符合函数模型（k为常数）若该企业的年产值为100万元，则对员工的奖励为8万元，若对员工的奖励为27万元，则该企业的年产值为（）A10000万元B1000万元C500万元D300万元21（2022江苏常州高一阶段练习）“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）（

18、参考数据：）A6B7C8D9【高分突破】一：单选题22（2022广东广东高一期中）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）如果前3个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还要（）A2.6小时B3小时C6小时D4小时23（2022北京人大附中高一阶段练习）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气

19、层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差.值越小，保温效果越好.现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A型3B型4C型2D型3则保温效果最好的双层玻璃的型号是（）型AA型BB型CC型DD型二、多选题24（2022重庆市云阳县南溪中学校高一阶段练习）氡(Radon) 又名氭， 是一种化学元素， 符号是 Rn 氡元素对应的单质是氡气， 为无色、无臭、 无味的惰性气体， 具有放射性 已知放射性元素氡的半衰期是天，

20、经天衰变后变为原来的（且）， 取， 则（）A经过天以后， 空元素会全部消失B经过天以后， 氡元素变为原来的C D经过天以后剩下的氡元素是经过天以后剩下的氡元素的25（2022辽宁葫芦岛高一期中）某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值y（元）的关系式为，3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则（）ABC1等奖的面值为3130元D3等奖的面值为130元26（2022广东实验中学高一期中）已知函数，下列关于这三个函数的描述

21、中，当在上逐渐增大时，下列说法正确的是（）A的增长速度越来越快B的增长速度越来越快C的增长速度一直快于D的增长速度有时慢于27（2022安徽淮北一中高一期中）如图，某池塘里浮萍的面积（单位）与时间（单位：月）的关系为，下列说法正确的是（）A这个指数函数的底数为2B第5个月时，浮萍面积就会超过C浮萍从蔓延到需经过1.5个月D若浮萍蔓延到，所经过的时间分别是，则28（2022四川绵阳高一期中）某外贸公司在30天内A商品的销售价格P（元）与时间t（天）的关系满足下方图象所示的函数，A商品的销售量Q（万件）与时间t（天）的关系为，则下列说法正确的是（）A第15天的销售额最大B第20天的销售额最大C最大

22、销售额为125万元D最大销售额为120万元29（2022山东潍坊高一期中）图是某大型游乐场的游客人数x（万人）与收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图和图中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（）A图中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元B图中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡C图游乐场实行的措施是降低门票的售价D图游乐场实行的措施是减少投入的成本费用三、填空题30（2022山东省实验中学高一阶段练习）某火电厂对其使用的燃煤进行精细化碳排放污

23、染物控制，产生的废气经过严格过滤后排放，已知过滤过程中废气的剩余污染物数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系式为其中为废气中原污染物总量，k为常数若过滤开始后经过3个小时废气中的污染物被过滤掉了原污染物总量的50%，那么要使废气中剩余污染物含量不超过5%，过滤开始后需要经过n小时，则正整数n的最小值为_（参考数据：，）31（2022黑龙江宝清县第二高级中学高一阶段练习）某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元.为公司从一下函数模型中选择恰当的奖励模型，计算某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为

24、_（万元）.32（2022江苏泰州高一期中）为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元.经测算，若人均月消费下降x%（x为正数），则用户人数会增加万人.若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为_.33（2022浙江慈溪市浒山中学高一期中）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于8万元，同时奖金不超过企业年产值的12%.若函数，则实数的取值范围为_.34（2022山东聊城一中高一期中）某种物资实行阶梯价格制度，具体

25、见表：阶梯年用量（千克）价格（元/千克）第一阶梯不超过10的部分6第二阶梯超过10而不超过20的部分8第三阶梯超过20的部分10若某居民使用该物资的年花费为220元，则该户居民的年用量为_千克四、解答题35（2023陕西西北工业大学附属中学高一阶段练习）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元，设矩形的长为，总造价为（元）.(1)将表示为关于的函数；(2)当取何值时，总造价最低.36（2022广西柳州高一期中）某公司

26、为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理哪种方案较为合理？并说明理由（注：年平均盈利额）37（2022海南海口中学高一阶段练习）在20世纪30年代，美国地震学家里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，就是我们常说的甲氏震级M，其计算公式为

27、其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）(1)假设在一次地震中，测震仪记录地震的最大振幅是，此时标准地震的振幅是0.001，求这次地震的震级；(2)级地震给人的震感已比较明显，求级地震的最大振幅约是级地震的最大振幅的多少倍？（精确到1倍，参考数据：）38（2022安徽合肥世界外国语学校高一阶段练习）中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，某种两岁燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度米秒之间满足关系：，其中表示燕子耗氧量的单位数(1)当该燕子的耗氧量为

28、个单位时，它的飞行速度大约是多少？(2)若某只两岁燕子飞行时的耗氧量变为原来的倍，则它的飞行速度大约增加多少？参考数据：，39（2022重庆市田家炳中学高一阶段练习）某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足：（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家

29、促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？40（2022江西高一阶段练习）某中学筹办年校庆，需为参加校庆的校友、嘉宾每人准备一份纪念品，共需要准备份纪念品，每份纪念品包含一支钢笔和一个保温杯，现需要将钢笔和保温杯装入精品礼盒.校庆筹备小组共有人，现将其分成两组，一组完成钢笔的装盒工作，另一组完成保温杯的装盒工作，据测算，人一天可完成支钢笔的装盒工作，人一天可完成个保温杯的装盒工作.(1)若安排人完成钢笔的装盒工作，则完成纪念品装盒工作的工期为多久?(2)如何安排两组的人数，才能使工期更短?41（2022湖南高一阶段练习）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过

30、一段时间后的温度为T，则，其中，为环境温度，a为参数.某日室温为20，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到100，8点18分时，壶中热水自然冷却到60.(1)求8点起壶中水温T（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数；(2)若当日小王在1升水沸腾（100）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值50时，开始加热至80后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数

31、）（参考数据：）参考答案：1C【分析】根据题意列出方程即可确定是否超速.【详解】对于甲车，令，即解得（舍）或，所以甲未超速；对于甲车，令，即解得（舍）或，所以乙超速；故选:C.2(1)(2)该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元；(3).【分析】（1）随着时间的增加，的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论；（2）把点代入中，求出函数的解析式，利用配方法，即可求出该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格；（3）由（2）结合题意可得有两个相异的实根，然后由可求出实数m的取值范围.【详解】（1）因为随着时间的增加，的值先减后增，而所给的函数中和都是单调函数，不满足题意，所以选择（2）

32、把点代入中，得，解得，所以，所以当时，有最小值26，所以当该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元；（3）由（2）可知，所以由，得，即，因为方程有两个相异实数根，所以，所以，因为对任意实数k，上式恒成立，所以，解得，所以实数m的取值范围为.3(1)(2)当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元【分析】（1）根据利润为总收入减去总成本，即可得到利润的解析式；（2）结合（1）中的解析式，分讨讨论的取值范围，结合配方法与一次函数的单调性，求得的最值，同时得到相应的值.【详解】（1）根据题意，当时，当时，所以.（2）当时，所以当时，；当时，易知是减函数，所以；综上：当时，

33、所以，当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元.4(1)；(2)90，8070万元.【分析】（1）代入分段函数化简即可.（2）分别求分段函数的最值，取最大值即可.【详解】（1）（2），当时，；，当且仅当时等号成立.故当产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润为8070万元5(1)(2)分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【详解】（1）若分配给植绿护绿项目的资金为x百万元，则分配给处理污染项目的资金为百万元，.（2）由（1）得（当且仅当，即时取等号），分配给植

34、绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y最大.6(1)；(2)日产量为8时，每吨产品的利润最大，最大利润为4.【分析】（1）根据题意得到，然后根据除尘后当日产量时，列方程，解方程即可得到；（2）根据题意得到每吨产品的利润，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）由题意得除尘后的总成本，因为除尘后当日产量时，所以，解得.（2）设除尘后每吨的利润为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元.7(1)(2)从开始注射后，最多隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射【分析】（1）根据图象可知，

35、两个点，在函数图象上，代入后求解参数，求；（2）由（1）求中的范围；求得后，再求中的范围【详解】（1）解：由图象可知点在函数图象上，则两式相除得，解得：，函数.（2）解：由，得，解得，从开始注射后，最多隔16小时停止注射；由题意可知，又，由，得，即，所以解得：，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射.8(1)8(2)【分析】（1）由题意解方程，可得到，根据换底公式和对数运算性质，即可求的结果；（2）设增长率为，由已知可得，显然，解不等式即可得到结果.【详解】（1）由题意知，年以后，邢台市GDP为，解可得，.所以，大约经过8年后，邢台市GDP能实现比2021年翻一番.（2）设从2

36、021年后GDP的年平均增长率至少要保持在多少以上.则由题意知，即.因为，所以，则由可得，.所以，.所以，年平均增长率至少要保持在以上.9(1)(2)【分析】（1）根据已知条件直接代入方程，结合对数的运算即可求解；（2）根据已知条件分别求出两种北极燕鸥的飞行速度，再利用两式相减及对数的运算性质即可求解.【详解】（1）将代入中，得，即，解得，所以此时的值为.（2）设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为，乙北极燕鸥每分钟耗氧量为，乙北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差为，则因为甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的倍，所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差为，由题意可知，甲北极燕鸥的飞行速度满足方程为：

37、，乙北极燕鸥的飞行速度满足方程为：,由，得，即，解得，所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的倍.10(1)4.3级(2)398倍【分析】（1）根据即可求解；（2）计算出两次地震的最大振幅，相比即可.【详解】（1）由题可知：，因此此次地震的震级约为里氏4.3级.（2）由得，即，当时，地震的最大振幅为，当时，地震的最大振幅为，所以两次地震的最大振幅之比为，即7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的约398倍.11(1)，(2)，元(3)50千米/时【分析】（1）行车所用时间为，汽车每小时油耗升，然后求解行车总费用.（2）当时，函数严格增，然后求解函数的最小值.（3）求出行车总费

38、用，通过分段函数，求解函数的最小值即可.【详解】（1）行车所用时间为，根据汽油的价格是每升8元，而汽车每小时油耗升，则行车总费用为，.（2）由（1）知，令，设，则因为，故，所以 所以当时，函数严格增，则当时，行车油费最低，最低为元.（3）在24小时内送达行驶速度为，由题意知行车总费用，当时，函数严格增，的最小值为，当时，函数严格增，所以综上所述，最优车速为50千米/时.12(1)函数模型能符合公司奖励方案的要求，理由见解析(2)【分析】（1）结合题中的两个标准对每一种模型分别验证即可；（2）根据题中的标准建立不等式组，解不等式组即可.(1)函数模型，满足奖金随收益增加而增加，因为，所以当时，即

39、奖金超过90万，不满足要求；函数模型，当时，此时奖金超过收益的，不满足要求；函数模型，满足奖金随收益增加而增加，当时，满足奖金不超过90万元，又时，满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求.(2)函数模型，因为奖金随收益增加而增加，所以，当时，解得，当时，解得，当时，恒成立，即，又，当且仅当时等号成立，所以，综上所述，实数的取值范围是.13(1)业绩200万元的业务员可以得到7.3万元奖励；(2)a的取值范围是【分析】(1)将题中的条件代入，可以求出具体的函数解析式，即可解决.(2)根据题意列出关于的不等式，然后把问题转化为研究函数的恒成立问题，进而确定参数的取值范围.【详解】（1）对于

40、函数模型（k为常数），当时，代入得，解得，即，因为函数和函数在上都为增函数所以函数在上都为是增函数，当时，所以业绩200万元的业务员可以得到7.3万元奖励（2）对于函数模型，因为函数在递增，所以，即；又由奖金不超过业绩值得5%，得恒成立，即对恒成立记，因为二次函数图象开口向上且，所以函数图象的对称轴，所以只需，即解得所以综上可知，实数a的取值范围是14(1)(2)促销费用投入10万元时，商家的利润最大，最大利润为960万元【分析】（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系；（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件【详解】（1）解：由于，则则该商品的利润（2）解：，当且仅

41、当，即时，等号成立，所以的最大值为960（万元），促销费用投入10万元时，商家的利润最大，最大利润为960万元15C【分析】计算二次函数的最值即可.【详解】，.故选：C16B【分析】依题意知和，从而求得，再令，结合对数运算可求得结果.【详解】由题意知，则，又因为，所以，解得，所以，令，则，所以，所以至少需经过天.故选：B.17C【分析】由题意列方程求解，再由指数函数性质解不等式，【详解】由题意得，解得，所以，因为，所以，解得18，即至少需要排气18分钟才能使这个地下车库中一氧化碳浓度达到正常状态.故选：C18C【分析】由条件可推知，再结合对数公式即可求解.【详解】解：由题意得：血液中酒精含量低

42、于的驾驶员可以驾驶汽车故，即两边取对数即可得，即那么他至少经过5个小时才能驾驶汽车故选：C19D【分析】由已知列出方程组，求出，由此能出该食品的保鲜时间【详解】因为该食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为常数），该食品在的保鲜时间是288小时，在的保鲜时间是144小时，解得，该食品在的保鲜时间： （小时）故选：D20B【分析】由题意，代入已知条件，建立方程，可得答案.【详解】由题意，函数过点，则，解得，故，令，则，解得，故选：B.21C【分析】设该污染物排放前过滤的次数为，由题意，两边取以10为底的对数可得，根据参考数据即可求解.【详解】解：设该污染物排放前过滤的次数

43、为，由题意，即，两边取以10为底的对数可得，即，所以，因为，所以，所以，又，所以，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次.故选：C.22B【分析】先通过前3个小时消除了20%的污染物求得的值，再由求得，进而得到污染物消除至最初的64%还要3小时.【详解】由题意得，前3个小时消除了20%的污染物，则，则则由，可得，解之得则污染物消除至最初的64%还要小时故选：B23B【分析】计算分母的大小，从而得出4种型号的热传导能量的大小，得出结论【详解】解：设，和均为正常数，型玻璃保温效果最好故选：B24BC【分析】根据指数函数模型，依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A，因为放射性元素氡的半衰期是天，

44、 所以经过天以后， 氡元素变为原来的，故经过天以后， 氡元素不会全部消失，A错误对于D，经过天以后剩下的氡元素为原来的 ， 经过天以后剩下的氡元素为原来的，故D错误 对于B，因为放射性元素氡的半衰期是天， 所以要使氡元素变为原来的，则，故需经过天，B 正确对于C，因为放射性元素氡的半衰期是天， 所以， 即，因为 ， 所以因为函数在上单调递增， 所以， C正确故选：BC25ACD【分析】根据题意得到4等奖比5等奖的面值多20元，结合3等奖比4等奖的面值多100元，列出方程，求出，A正确；再代入中，求出，根据4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，求出，3等奖的面值，B错误，D正确；根据及，求出1等奖的

45、面值，C正确.【详解】由题意可知，4等奖比5等奖的面值多20元，因为，所以，则，A正确；由，可知因为4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，所以，解得，B错误；则3等奖的面值为元，D正确；由，故1等奖的面值为3130元，C正确.故选：ACD26BD【分析】在同一坐标系中画出3个函数图象，然后根据图象逐个分析判断即可.【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象，如图所示，由图可知的增长速度没有变，所以A错误，在上的增长速度越来越快，所以B正确，由图可知在上的增长速度最慢，而在上的增长速度最快，所以C错误，D正确，故选：BD27ABD【分析】由函数图像上的定点可确定函数解析式，结合所给月份计算函数值

46、从而获得相应浮萍的面积，进而对选项作出判断【详解】由图像可知经过，代入，故选项A正确，当时，浮萍面积就会超过，故选项B正确，浮萍为时，得，经过1.5个月后，此时浮萍面积为，选项C错误，若浮萍蔓延到，所经过的时间分别为，则，则，得，所以选项D正确，故选：ABD28AC【分析】由函数图象利用待定系数法求出销售价格P（元）关于时间t（天）的函数解析式，再求销售额关于t的函数解析式，结合二次函数性质求其最大值.【详解】由图象可得当时，可设，根据图象知过点，所以 ，解得，所以，当，可设，根据图象知过点，所以 解得，所以，综上可得， ， 又，设第天的销售额为，则 ，化简可得当时，所以，当且仅当时等号成立；

47、当时，所以，当且仅当时等号成立；综上可得，第15日的销售额最大，最大值为125万元，故选：AC.29ABD【分析】根据一次函数图象，结合实际场景理解描述实际意义即可.【详解】A：图中A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确；B：图中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；C：图游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；D：图游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确.故选：ABD3013【分析】由题求出值，再令，求出对应n值即可.【详解】由题可知，解得，故，若，即，故正整数n的最小值为13.故答案为：13311024【分析】函数过，自变量增长速度较快，函数值增

48、长速度较缓慢，用平滑曲线连接，满足对数型函数，即可解决.【详解】由题知，函数过，自变量增长速度较快，函数值增长速度较缓慢，用平滑曲线连接得因为，增长速度相对平稳，增长速度越来越快，增长速度越来越慢，又公司是为了业务发展制定的激励销售人员的奖励方案，增长速度应越来越慢，差距不能太大，所以函数模型应选，所以，即，解得，所以，当时，解得，故答案为：102432【分析】由题意可设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，可得，结合题意列出关于x的不等式，即可得出答案.【详解】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则，要保证该公司月总收入不减少，则，解得，x为正数，x的取值范围为.故答案为：33【分析】由

49、题意可知函数的单调性，分离常数即可得取值范围.【详解】由题意为增函数，故，解得.又根据题意可得对恒成立，故在恒成立.由对勾函数性质可知：函数在区间上为增函数，故，由可得在区间上恒成立，所以，综上有，即m的取值范围为.故答案为：.3428【分析】根据已知价格数据，结合题意，直接求解即可.【详解】因为，故该户居民的年用量超过千克，设其为，则，解得，故该户居民的用量为千克.故答案为：.35(1)(2)当时，总造价最低【分析】（1）根据题设先计算出绿化的面积和硬化地面的面积，从而可得表示为关于的函数；（2）由（1），再利用基本不等式可求何时取最小值即可.（1）因为矩形区域的面积为，故矩形的宽为，绿化的

50、面积为，中间区域硬化地面的面积为，故，整理得到，由可得，故.（2）由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故当时，总造价最低36(1)3(2)方案二更合理，理由见解析【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.【详解】（1）设为前年的总盈利额，单位：万元；由题意可得，由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；方案二：由（1）可得，平均盈利额为，当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最

51、大，此时，此时处理掉设备，总利润为万元；综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.37(1)级(2)倍【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得震级.（2）求得级和级地震的振幅，进而求得所求的倍数.【详解】（1）依题意，所以这次地震的震级是级.（2）依题意，其中分别表示级地震、级地震的最大振幅，两式相减得，所以倍.所以级地震的最大振幅约是级地震的最大振幅的倍.38(1)（米/秒）(2)（米/秒）【分析】（1）由耗氧量和飞行速度的关系可将表示为对数，然后求出即可（2）记燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，现在的耗氧量为，飞行速度为，则可得，然后化为对数运算即可【详解】（1）

52、当时，即，所以，所以，即它的飞行速度大约是米秒（2）记燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，现在的耗氧量为，飞行速度为，则，即，所以，所以，所以它的飞行速度大约增加米秒39(1)，(2)投入3万元时【分析】（1）根据已知先求k，表示出销售价格，然后由题意可得函数关系；（2）由（1），再根据基本不等式求解即可.【详解】（1）由题意知，当时，每件产品的销售价格为（元），即，（2）由（1），又当时，当且仅当，即时，y取得最大值，故该厂家的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大40(1)天(2)安排人完成钢笔的装盒工作，人完成保温杯的装盒工作，可以使得工期最短【分析】（1）计算出人完成钢笔的装盒工作或完成保温

53、怀的装盒工作的天数，比较大小后可得出结论；（2）完成纪念品装盒工作的工期的函数解析式，利用函数的单调性求出的最小值，即可得出结论.【详解】（1）解：若安排人完成钢笔的装盒工作，则完成钢笔的装盒工作需要天，完成保温怀的装盒工作需要天天则完成纪念品装盒工作的工期为天（2）解：设安排人完成钢笔的装盒工作，则完成钢笔的装盒工作需要天，完成保温怀的装盒工作需要天，其中因为函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，所以完成纪念品装盒工作的工期为，由，即，得从而，因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，计算可得，且，所以安排人完成钢笔的装盒工作，人完成保温杯的装盒工作，可以使得工期最短41(1)(2)27分钟后养生壸（在保温状态下）第二次开始加热【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）分从降温至，从加热至，从降温至，三步求时间即可.【详解】（1）当时，设，代入，解得，则，由题意，代入，得，所以.（2）若从降温至，由题意有，代入，计算得分钟，故经过14分钟养生业（在保温状态下）开始第一次加热；从加热至需要分钟，从降温至，代入，可得，计算得分钟，则共需要分钟，故27分钟后养生壸（在保温状态下）第二次开始加热.