8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(析训练）-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）.docx

1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积一、单选题1已知圆锥的表面积为，则其体积的最大值为（）ABCD2已知中，其顶点都在表面积为的球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为2，则的面积为（）A2B4C8D103阿基米德（公元前287年公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为（）ABCD4斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗

2、笠的三视图如图所示（单位：），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（）ABCD5在等腰直角三角形ABC中，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）ABCD6如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（）ABCD7在四面体中，则它的外接球的表面积ABCD8唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为,设酒杯

3、上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则（）A2BC1D二、多选题9已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为是底面圆周上的两个动点，则（）A圆锥的侧面积为B圆锥的母线长为2C可能为等腰直角三角形D面积的最大值为10唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值可能为()ABCD11已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为是底面圆周上的两个动点，则（）A

4、圆锥的侧面积为B圆锥的母线长为2C可能为等腰直角三角形D面积的最大值为12在四面体中，直线，所成的角为60，则四面体的外接球表面积为（）ABCD三、填空题13已知某几何体的三视图如图所示：则该几何体的体积为_.14如图，半径为R的半球内接一个圆柱，这个圆柱表面积的最大值为_.15已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，且三棱维的体积为，则线段长度的最大值为_16已知三棱锥，平面且，则此三棱锥的外接球的体积为_四、解答题17圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留)18如图所示，在边长为4的正三角形中，分别是的

5、中点，垂足分别是，若将三角形绕所在直线旋转180度，求阴影部分形成的几何体的体积和表面积.19已知底面为正三角形，顶点在底面的正投影是正三角形的中心的三棱锥的高为1，底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切求：（1）棱锥的全面积；（2）球的半径20早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等，在推导半径为R的球的体积公式时，可以先构造如下如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面内，然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导，请你把如图补充完

6、整并写出球的体积公式的证明.21如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的项点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O(1)若圆柱的底面圆半径为，求几何体的体积；(2)若，求几何体的表面积22（1）如图1，正四棱锥，（）求此四棱锥的外接球的体积；（）为上一点，求的最小值；（2）将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积参考答案：1A【详

7、解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，高为，依题意，则，由得，圆锥体积，当且仅当，即时取“=”，所以圆锥体积的最大值为.故选：A2B【详解】解：设球O的半径为，外接圆的半径为，则，所以，又因球心O到平面ABC的距离为2，则，解得，因为，则是以边为斜边的直角三角形，则外接圆的圆心是的中点，则，又，所以，所以，所以.故选：B.3D【详解】设圆柱的底面半径为，则其母线长为，因为圆柱的表面积公式，所以，解得，因为圆柱的体积公式为，所以由题知，圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内切球的体积为，故选：D4A【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环

8、组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和【详解】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为，故选：A5D【解析】【分析】由题意可知构成以D为顶点的三棱锥，DA，DB，DC三条棱互相垂直，且，所以可将其放在正方体中，正方体的对角线即为球的直径，求出正方体的对角线，即可求出球的直径，从而可求出球的表面积【详解】在等腰直角三角形ABC中，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的，构成以D为顶点的三棱锥，DA，DB，DC三条棱互相垂直，且，可将其放在正方体中，正方体的对角线即为球的直径，所以，所以球的

9、表面积为，故选：D6B【解析】【分析】由题作出图形，易得外接圆圆心在中点，结合正弦定理可求外接圆半径，结合图形知，再结合二面角大小求出，进而得解.【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点为，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，又因为二面角的大小为，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为，故选：B7D【解析】【分析】由勾股定理得出，得知为该三棱锥外接球的直径，再利用球体的表面积公式可计算出该外接球的表面积【详解】如下图所示：，所以，为该三棱锥的外接球球心，为球的直径，设其

10、半径为，则，因此，三棱锥外接球的表面积为，故选D【点睛】本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，解本题的关键在于找出外接球球心的位置，找出外接球的一条直径，考查逻辑推理能力，属于中等题8A【解析】【分析】设酒杯上部分（圆柱）的高为，球的半径为，则酒杯下部分（半球）的表面积为，结合圆柱和球的体积公式，即可求解.【详解】设酒杯上部分（圆柱）的高为，球的半径为，则酒杯下部分（半球）的表面积为，酒杯内壁表面积为，得圆柱侧面积为，酒杯上部分（圆柱）的表面积为，解得酒杯下部分（半球）的体积 酒杯上部分（圆柱）的体积所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的表面积和体积、圆柱侧面

11、积和体积的应用，属于中档题.9BD【解析】【分析】由侧面展开图求得圆锥的母线长，得高，确定圆锥轴截面的顶角的大小，计算侧面积，截面面积判断各选项【详解】设圆锥母线长为，由题意，B正确；侧面积为，A错，显然圆锥的轴截面是正三角形，顶角为，因此的顶角，不可能为直角三角形，C错；轴截面面积为，因此面积的最大值为，D正确故选：BD10AC【解析】【分析】首先设圆柱的高与半球的半径分别为，酒杯的容积为，则，再根据和得到，即可得到答案.【详解】设圆柱的高与半球的半径分别为，酒杯的容积为，则，所以，所以解得.又，所以，解得.所以.故选：AC.11BD【解析】【分析】由侧面展开图求得圆锥的母线长，得高，确定圆

12、锥轴截面的顶角的大小，计算侧面积，截面面积判断各选项【详解】设圆锥母线长为，由题意，B正确；侧面积为，A错，显然圆锥的轴截面是正三角形，顶角为，因此的顶角，不可能为直角三角形，C错；轴截面面积为，因此面积的最大值为，D正确故选：BD12CD【解析】【分析】直线，所成的角为60，则分顶角为的等腰三角形、等边三角形两种情况，过作且，连接、，且与交于O点，易证面，进而得到面面，根据矩形、等边或等腰三角形的性质，结合四面体的外接球球心、半径与两个垂直平面外接圆圆心、半径的关系，即可求外接球半径，进而求表面积.【详解】当四面体如下图示，过作且，连接、，且与交于O点，则为等边三角形，为矩形且O点为外接圆圆

13、心，即，又，面，面，则面面，过为中点，连接、，若为面外接圆圆心，为四面体的外接球球心，则，有，如下图示，四面体的外接球半径，则外接球表面积为.当四面体如下图示，过作且，连接、，且与交于O点，则为等腰三角形，为矩形且O点为外接圆圆心，即，又，面，面，则面面，过为中点，连接，若为面外接圆圆心，为四面体的外接球球心，则，如下图示，四面体的外接球半径，则外接球表面积为.故选：CD【点睛】关键点点睛：注意分顶角为的等腰三角形、等边三角形两种情况，再证面面垂直，根据外接球球心及半径与两个垂直平面外接圆圆心及半径的几何关系，求球体半径.13【解析】【分析】根据三视图还原几何体，利用补形法先求出整个圆柱的体积

14、，再减去被切去的部分即可.【详解】根据三视图还原如下图：该几何体为一个底面半径为1，高为4的圆柱，被截去一个底面半径为1，高为2的圆柱的一半，所以该几何体的体积为.故答案为：14【解析】【分析】如图可得圆柱的底面半径为，高为，可得，再利用辅助角公式可求最值.【详解】如图设圆柱的底面半径为r，高为h，则，设圆柱的表面积为S，则，当，即时，S有最大值.故答案为：.15【解析】【分析】计算出棱锥的高和球的半径，再考虑所在的截面圆的半径后可求线段长度的最大值.【详解】因为球的体积为，故球的半径满足，故，而，故，故，故，设到平面的距离为，则，故，故在球面的截面圆上，设截面圆所在的平面为，当与平面在球心的

15、异侧时，有最大值，设球心到平面的距离为，而外接圆的半径为，则，故球心到平面的距离为，故截面圆的半径，设在平面上的投影为，则的轨迹为圆，圆心为的外心即的中点，当最长时最长，此时，故长度的最大值为，故答案为：.【点睛】思路点睛：本题涉及到空间中动点的轨迹，注意根据高为定值确定出动点所在的曲线，再将空间问题平面化，从而解决最值问题.16【解析】【分析】设外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，在中，由正弦定理可得，再由勾股定理可得，代入球的体积公式即可得答案【详解】解：设外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为， 在中，由正弦定理得，所以，即，又面，球心到的外接圆圆心的距离，球的半径，三棱锥

16、外接球的体积故答案为：17表面积为1100cm2.【解析】【分析】计算得到，再利用圆台的表面积公式计算得到答案.【详解】如图，设圆台的上底面周长为c.因为扇环的圆心角是180，所以cSA210，故SA20.同理可得SB40，所以ABSBSA20，因此S表面积S侧S上S下(r1r2)AB(1020)201022021100(cm2).故圆台的表面积为1100cm2.18体积为；表面积为.【解析】【分析】由题意知，阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为，旋转体的体积为圆锥的体积减去圆柱的体积，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面侧面

17、，圆柱的侧面，结合题中的数据，代入圆柱和圆锥的侧面积公式和底面积公式及体积公式进行求解即可.【详解】解：由圆锥与圆柱的定义可知，将绕旋转180，阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为，阴影部分形成的几何体的体积：所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面，故所求几何体的表面积为：19（1）96 ；（2）2【解析】【分析】（1）利用正三棱锥底面为正三角形，侧面为等腰三角形，计算可得侧面的高AF，计算即得解；（2）借助AOGAFE，利用边长比例关系即得解【详解】（1）由题意，三棱锥为正三棱锥，如图所示正三棱锥ABCD，假

18、设顶点在底面的正投影为，则为底面正三角形的中心，作于，故为中点由题意可知AE1，CD2，EFCD，侧面的高AF，S全322296（2）设内切球的半径为R，圆心为，与平面切于点，由正三棱锥的对称性可知在高上，且故AOGAFE即，R220答案见解析【解析】【分析】半球截面面积可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，利用祖暅原理可求解.【详解】如图（1），设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为，于是截面面积，则可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，所以，取一个底面半径

19、和高均为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上，如图（2），用同一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面，可知圆环大圆半径为，小圆半径为，圆环面积，所以，则根据祖暅原理可得这两个几何体的体积相等，即，所以可得球的体积为.21(1)(2)【解析】【分析】（1）分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求；（2）根据比例关系，可分别求出圆锥与圆柱的高及底面半径，再利用表面积公式即可求解.(1)如图可知，过P、的截面为五边形，其中四边形为矩形，三角形为等腰三角形，在直角中，则故圆锥的底面半径为，高为，其体积为圆柱的底面半径

20、为，高为，其体积为所以几何体的体积为(2)若，设，则，故，在直角中，则故圆锥的底面半径为，高为，其母线长为，圆锥的侧面积为圆柱的底面半径为，高为，其侧面积为所以几何体的表面积为22（1）（）；（）；（2）.【解析】【分析】（1）（）容易判断球心在线段PO1上，根据勾股定理即可解得；（）将三角形展开到与平面在同一平面，即AB的长度；（2）列举出所有焊接的可能性，算出每种情况的体积即可.【详解】（1）（）如图4，设外接球半径为，则（）如图5，将三角形展开到与平面在同一平面，此时，在三角形中：，所以（2）正四棱锥的剪拼几种可以剪拼成正四棱锥的方法如图6，若以正方形各边中点连结而成的小正方形边为裁剪线，不能拼接成正四棱锥.因为沿裁剪线翻折后，原正方形各顶点重合于一点，这点即为原正方形的中心，就不存在四棱锥了图7是以为底面边长，高为的正四棱锥，则图8，联想到勾股定理的证明，可设直角三角形的两条直角边长分别为，（），于是，所以，则构造成以为底面边长，高为的正四棱锥，