于细微处见真章 在基础处凸能力——2022年高考“复数和平面向量”专题解题分析.pdf

1、下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究2022年高考数学每一份试卷均考查了复数和平面向量的知识，题型基本为选择题和填空题.其中，复数主要考查复数的模、共轭复数、复数相等基本概念和复数的四则运算；平面向量主要考查向量的模、夹角等基本概念和向量的线性运算、坐标运算、数量积运算等基本运算，以及简单的应用.命题符合 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）（以下简称标准）所要求的考查内容应围绕内容主线，聚焦学生对重要概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；注重数学本质和通性、通法.本文以2022年高考数学中的复数和平面向量试题为例，从三个方面对复数和

2、平面向量试题进行解题分析.一、试题特点分析2022年高考数学复数和平面向量试题，稳中求进，不偏不倚，对基本概念和基本运算的考查合情合理，试题平和大气，给学生以亲切感.试题以选择题和填空题的形式出现，对学生的数学基础知识和基本技能的考查细致入微.1.以概念为依托，考查应用概念解决问题的能力2022年高考数学中的复数和平面向量试题以概念为依托，体现了试题的基础性，要求学生在解答试题时，不仅能厘清有关的概念，而且能应用概念解决问题.例1（全国乙卷理2）已知 z=1-2i，且 z+az+b=0，其中 a，b 为实数，则（）.（A）a=1，b=-2（B）a=-1，b=2（C）a=1，b=2（D）a=-1

3、，b=-2解法1：因为 z=1-2i，所以 z=1+2i.所以 z+az+b=()1+a+b+()2a-2 i.由 z+az+b=0，得1+a+b=0，2a-2=0，即a=1，b=-2.故答案选 A.解法2：因为 Im()z=-Im()z，且 z+az+b=0，所以 a=1，所以 z+z+b=0.所以 b=-Re()z+Re()z=-2.故答案选 A.【评析】该题主要考查共轭复数和复数相等的概念.利用这些概念求有关参数的值，体现了试题的基础性，考查了学生熟练运用概念进行解题的能力.解法1侧重于计算，即先算出 z，再代入计算，利用实部与虚部都为0解方程组；解法2从共轭复数的特征出发，通过观察得出

4、参数 a 的值，然后利用“复数与其共轭复数的和为其实部的2倍”得到参数 b 的值.从试题的来源看，该题是将教材中的一些习题进行了适当整合.从举一反三的角度来看，该题与2021年全国乙卷理科第1题一样，都是以共轭复数为背景对复数相等的概念进行考查.例 2（全 国 新 高 考 卷 4）已 知 a=()3，4，b=()1，0，c=a+tb，若 a，c=b，c，则 t 的值为（）.（A）-6（B）-5（C）5（D）6于细微处见真章在基础处凸能力2022年高考“复数和平面向量”专题解题分析欧阳尚昭欧阳尚昭，高转玲高转玲（北京市顺义牛栏山第一中学北京市顺义牛栏山第一中学；北京师范大学附属实验中学顺义学校北

5、京师范大学附属实验中学顺义学校）收稿日期：2022-07-05作者简介：欧阳尚昭（1964），男，正高级教师，主要从事高中数学教育教学及解题研究.摘要：对2022年高考数学复数及平面向量的试题从试题特点和优秀试题两个方面进行了分析，在此基础上给出了复习建议.关键词：复数；平面向量；解题分析 58下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究解法1：由题意，知 c=()3+t，4.因为 cos a，c=cos b，c，所以 9+3t+165|c=3+t|c，解得 t=5.故答案选C.解法2：因为 a，c=b，c，所以由 a 和 tb 围成的四边形为菱形，如图1所示.所以|tb=

6、|a=5.所以 t=5（舍去负值）.故答案选C.Oxyaa+tbb图1tb【评析】该题以向量的坐标表示为背景，以 a，c=b，c 为依托求参数 t 的值.试题的命制基础且常规，对考查学生应用概念解决问题的能力具有积极作用.解法1侧重于利用向量夹角公式的坐标形式进行运算，是一种常规的求解方法；解法2侧重于向量“夹角”概念的内涵，利用数形结合思想解决问题，对学生运用概念解决问题提出了较高的要求.试题题干与人教A版普通高中教科书数学必修第二册（以下统称“人教A版教材”）第37页第12题的题干类似，在其他版本教材中也有类似题目.在向量夹角处命题，体现了高考试题基础性与综合性的统一.2020年高考数学全

7、国卷理科第6题、2019年全国卷文科第8题等试题都是在向量夹角处命制的试题.2.以运算为载体，考查合理选择运算途径的能力以复数和平面向量的有关运算为载体，考查学生选择合理运算途径的能力，是2022年高考数学复数和平面向量试题的又一特点.例3（全国新高考卷2）若 i()1-z=1，则 z+z等于（）.（A）-2（B）-1（C）1（D）2解法1：由题意，得1-z=1i=ii2=-i.所以 z=1+i.所以 z+z=()1+i+()1-i=2.故答案选D.解法2：因为 i()1-z=1，所以-i()1-z=1.所以()-i-()1-z=1.所以 i()1-z=-1.所以 i()1-z+i()1-z=

8、0，即 i2-()z+z=0.所以 z+z=2.故答案选D.解法3：因为 i()1-z=1，所以1-z=-i.所以 z=1+i.所以 z+z=()1+i+()1-i=2.故答案选D.【评析】该题以向量的乘法为载体，求两个互为共轭的复数的和.解法1利用复数的除法求得 z，进而求得 z+z 的值，这是解决此类问题的通性、通法，值得提倡；解法2充分利用共轭复数的特征，得 i()1-z=-1，与已知等式相加得 i2-()z+z=0，进而有 z+z=2，体现了解题过程中的整体性原则，有利于培养学生解题时的大局观；解法3利用虚数单位的定义“i2=-1”理解条件“i()1-z=1”，这是从定义出发思考问题，

9、需要特别提倡.近几年的高考数学试题几乎每年都涉及复数与其共轭复数的运算.例如，2021年全国新高考卷第2题、2021年全国乙卷理科第1题、2020年全国卷文科第2题和2019年北京卷理科第1题等.例4（全国甲卷文13）已知向量 a=()m，3，b=()1，m+1.若 a b，则 m 的值为.解法1：由题意，知 a b=m+3()m+1=0，解得m=-34.解法2：因为 a b，所以|a-b=|a+b，a+b=()m+1，m+4，a-b=()m-1，2-m.所以()m+12+()m+42=()m-12+()2-m2.解得 m=-34.解法3：由题意，知 m 不为0，则 a=m1，3m.因为 b=

10、()1，m+1，且 a b，所以 3m ()m+1=-1，解得 m=-34.【评析】该题以向量的坐标表示为背景，在 a b的情况下，考查选择不同的运算途径确定参数 m 的值.解法1侧重于向量数量积的坐标运算，将两个向量 59下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究的位置关系（即垂直）等价转化为它们的数量积为0来求解，是通性、通法，也应该成为学生的首选方法；解法2从向量加法和减法的几何意义出发，在 a b 的条件下，有|a-b=|a+b，由此求出参数 m 的值，虽然运算量比解法1大，但解法2对向量加法和减法的几何意义及数形结合思想的考查是解法1所不能企及的；解法3是将向量

11、垂直等价转化为向量所在的直线垂直，然后利用这两条直线的斜率之积为-1求出参数 m 的值，体现了等价转化的数学思想.该题的背景在各版本教材中都有出现，在两个向量垂直的条件下求参数值的问题是非常常见的.近几年来，2021年全国甲卷理科第14题、2020年全国卷文科第14题、2019年北京卷文科第9题等试题对此类问题都有所考查.3.以知识点间的联系为依据，考查揭示数学本质的能力以各知识点间的联系为依据，要求学生在解决问题时能够全面审视题设条件之间的内在联系，揭示数学本质，考查学生综合运用知识解决问题的能力.例5（全国甲卷理13）设向量 a，b 的夹角的余弦值为 13，且|a=1，|b=3，则()2a

12、+b b 的值为.解法1：设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos =13.因为|a=1，|b=3，所以 a b=|a|b cos =1 3 13=1.所以()2a+b b=2a b+b2=2 1+32=11.解法2：设 a=()cos，sin ，b=()3 cos，3 sin .则 2a b=6()cos cos +sin sin .所以()2a+b b=6()cos cos +sin sin +9.因为 cos =3 cos cos +3 sin sin 1 3=cos cos +sin sin=13，所以()2a+b b=11.解法3：因为 cos a，b=13=|a|b，所以设 a=()

13、1，0，则 b=()1，2 2，如图2所示.所以 2a+b=()3，2 2.所以()2a+b b=3+2 2 2 2=11.Oxyab图2解法4：如图3，设 OA=a=()1，0.由解法3知，点 B 在 OA 方向上的射影是点 A.所以 OB=b=()1，2 2.设 OC=2a=()2，0，则 OD=2a+b=()3，2 2.所以()2a+b b=11.图3-1O12345123-1BDACyx解法5：设 a，b 的夹角为 .由图3知，cos OBD=cos()-=-13.在 OBD 中，由余弦定理，得 OD2=OB2+BD2-2OB BD cos OBD=9+4-2 2 3 -13=17.在

14、OBD中，由余弦定理，得2OB OD cos BOD=OB2+OD2-BD2=9+17-4=22.所以()2a+b b=|OD|OB cos BOD=11.【评析】该题涉及的知识点主要有向量夹角的概念，向量模的概念，向量的数乘、加法和数量积等运算.解法1运用向量数量积的性质将向量 2a+b 与向量 b的数量积转化成向量 a 与向量 b 的数量积 a b 和向量 b 的模来计算，要求学生注意知识点之间的联系，整体把握试题的走向，考查了学生利用转化的方法解决问题的能力，是一种通性、通法；解法2根据向量 a与向量 b 的模的大小，将它们的坐标用三角形式表示，然后进行运算，考查了学生综合运用所学知识解

15、决问题的能力，有利于提升学生多角度思考问题的能力；解法3是通过观察，发现 cos a，b=13=|a|b.结合向量 a 与向量 b 的模的大小，将它们用坐标表示出来，然后利用向量的坐标运算解决问题，这种解法要求学生有敏锐的观察力捕捉题设条件中各种显性和隐 60下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究性的信息；解法4从整体出发，利用解法3的发现，整体上求出向量 2a+b 的坐标表示，然后利用数量积的坐标运算进行求解，体现了认识事物的整体性与敏捷性的统一；解法5是在解法4的基础上，结合余弦定理来解决问题，解法新颖别致，揭示了向量数量积运算的几何含义：如果将平面向量的数量积定

16、义为 a b=12()|a+b2-|a2-|b2，就是我们熟悉的余弦公式.从试题的来源看，各版本教材中都有与该题相同结构的题目.近几年，2018年全国卷文科第4题、2021年北京卷第13题等都与该题有着相同的背景.二、优秀试题分析例6（北京卷10）在ABC 中，AC=3，BC=4，C=90.P 为ABC 所在平面内的动点，且 PC=1，则 PA PB 的取值范围是（）.（A）-5，3（B）-3，5（C）-6，4（D）-4，6分析：该题以直角三角形为背景，依托动点 P 的运动规律（在以点 C 为圆心、半径为1的圆上运动），建立平面直角坐标系.设点 P 的坐标为()cos，sin ，或者()x，y

17、，表示出 PA，PB，可以根据数量积的运算，或利用辅助角公式及正弦函数的性质来计算，或转化为直线与圆的位置关系问题求解.思路1：建立如图4所示的平面直角坐标系.设点 P的坐标为()cos，sin ，并且将向量 PA，PB 表示成 的三角函数，利用辅助角公式求解.解法1：如图4，建立平面直角坐标系，则 C()0，0，A()3，0，B()0，4.Cxy131-1-1PBA图4因为 PC=1，所以点 P 在以点 C 为圆心、半径为1的圆上运动.设 P()cos，sin ，0，2.所以 PA=()3-cos，-sin ，PB=()-cos，4-sin .所以 PA PB=()-cos ()3-cos

18、+()4-sin ()-sin =cos2-3 cos -4 sin +sin2=1-3 cos -4 sin =1-5 sin()+.其中 sin =35，cos =45.因为-1 sin()+1，所以-4 1-5 sin()+6，即 PA PB-4，6.思路2：注意到夹角 PC，CB 与夹角 PC，CA之间的内在联系，且 CA CB=0，将向量 PA，PB 分别用向量 PC+CA，PC+CB 表示，利用平面向量的线性运算与数量积运算进行求解.解法2：由题意，知 PC，CB 与 PC，CA 的数量关系为：PC，CB=|2-PC，CA，PC，CB=2+PC，CA，PC，CB=32-PC，CA.

19、所以 cos PC，CB=sin PC，CA，且 CA CB=0.所以 PA PB=()PC+CA ()PC+CB=PC2+PC CA+PC CB+CA CB=1+3 cos PC，CA+4 cos PC，CB=1+3 cos PC，CA 4 sin PC，CA=1+5 sin()PC，CA .其中 tan =34.所以 PA PB-4，6.思路3：设点 P 的坐标为()x，y，转化为直线与圆的位置关系问题求解.解法3：如图4，设点 P 的坐标为()x，y，由题意，有 x2+y2=1.在PAB 中，因为 AB=5，由余弦定理，得 PA PBcos APB=12()PA2+PB2-AB2，即 P

20、A PB=12()PA2+PB2-AB2.令 t=PA PB，则有 t=12()x-32+y2+x2+()y-42-25.化简，得 3x+4y+t-1=0.问题转化成直线系 3x+4y+t-1=0 与圆 x2+y2=1有公共点.所以|t-15 1，解得-4 t 6.所以 PA PB-4，6.61下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究思 路 4：根 据 向 量 的 减 法 有 PA-PB=BA，故()PA-PB2=BA2，即得 PA PB=12()PA2+PB2-AB2，以下同解法3.【评析】以上解法是从几个不同的方面对试题进行了探究.解法1从动点 P 的运动规律出发，

21、利用三角函数进行解题，对学生综合运用知识间的联系解决问题提出了较高的要求.同时，还要求学生熟练掌握三角函数恒等变形.在该题中，设点 P()cos，sin 的坐标是关键，这是学生解题时的难点.为了突破这个难点，教师在解题教学时可以设计如下问题：PC=1 说明动点 P 具有怎样的规律？既然点 P 在圆上运动，那么，我们应该如何建立平面直角坐标系？如何设出点 P 的坐标？如果设点 P()cos，sin ，接下来我们该如何去研究？当然，熟练的三角恒等变形能力也是必不可少的.从这个意义上说，解法1所蕴含的价值点在于学生要有敏锐的观察能力、丰富的数学联想能力及数学语言之间的转化能力.例如，观察到 PC=1

22、，则需要联想动点 P 的运动规律是在以点 C 为圆心、半径是1的圆上运动，然后进行数学语言之间的互译，进而解决问题.解法2从观察夹角 PC，CB 与夹角 PC，CA 之间的内在联系出发，充分利用 C 为直角这个条件，将向量 PA，PB 分别表示成向量 PC+CA，PC+CB，然后利用向量的数量积定义和三角函数辅助角公式等进行计算.这个解法的关键在于寻找 PC，CB 与 PC，CA 的关系.由于这两个角之间的内在关系，使得我们借助辅助角公式解决问题成为可能.这是学生解题时的一个难点.在解题教学时，教师要舍得花时间来寻找 PC，CB 与 PC，CA 之间的关系，后面的问题将会迎刃而解.解法3及思路

23、4揭示了该题所蕴含的几何背景，体现了转化与化归的数学思想方法.无论哪种方法，均在得到 PA PB=12()PA2+PB2-AB2 后，将问题转化成直线系 3x+4y+t-1=0 与圆 x2+y2=1 有公共点（其中t=PA PB）的问题，对学生理性思维的提升起到积极的促进作用.在该解法中，向量的数量积与余弦定理的一致性是解题时的一个难点.但是，只要教师讲清楚、讲明白了数量积与余弦定理之间的一致性，学生应用起来是不困难的.变式：已知 ABC 是边长为4的正三角形，点 P为线段 AB 上一点（包含端点），则 PB PC 的取值范围为_.例7（全国乙卷理3）已知向量 a，b 满足|a=1，|b=3，

24、|a-2b=3，则 a b 的值为（）.（A）-2（B）-1（C）1（D）2分析：根据给定的模长，利用向量的数量积运算求解即可.思路1：将|a-2b=3 两边平方，利用向量 a，b的模长求解.解法1：因为|a-2b2=|a2-4a b+4|b2，|a=1，|b=3，|a-2b=3，所以 9=1-4a b+4 3=13-4a b.所以 a b=1.思路2：利用坐标法求数量积.解法2：因为|a=1，|b=3，所以设 a=()cos，sin ，b=()3cos，3sin .由此得 a-2b=()cos -2 3cos，sin -2 3sin ，a b=3()cos cos +sin sin .因为|

25、a-2b2=()cos -2 3cos 2+()sin -2 3sin 2=9，所以3()cos cos +sin sin =1，即 a b=1.思路3：由向量的减法构造三角形，然后利用余弦定理求解.解法3：如图5，设 AB=a，AC=2b，AB，AC=，则 CB=AB-AC=a-2b.在ABC 中，由余弦定理，得2AB ACcos =AB2+AC2-CB2=12+()2 32-32=4.所以 2 AB AC=4，即 2a 2b=4.所以 a b=1.CAB图5【评析】在上述解法中，解法1对|a-2b=3 等号两边平方后，不但可以有效地利用题设中的模长，而且还出现待求量 a b，是一个不错的选

26、择.这种解法属于通性、通法.如果我们仅仅停留在“平方后能求出结果”这一层面上，那么蕴含在题设中的几何背景将会被“平方运算”所掩盖.其实，只要将平方后的式子|a-2b2=|a2-4a b+4|b2 稍作变形，就会得到4a b=2a 2b=|a2+2|b2-|a-2b2，这就是解法3在ABC 中应用的余弦定理，实现了两种解法的统一.解法2是向量的坐标运算，利用三角函数的工具性作用 62下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究使问题获得解决.三、复习备考建议通过对本文例题的分析，结合近几年高考复数和平面向量试题的特点，提出以下复习建议.1.深化对基本概念和基本运算的理解与应用

27、近几年来，复数和平面向量试题在高考数学中属于基础性试题，符合“高考试卷中应包含一定比例的基础性试题，引导学生打牢知识基础”的要求，例如，复数部分主要考查的概念有复数的定义（含实部、虚部的概念）、复数的模、复数相等、共轭复数等概念，以及复数代数形式的四则运算和复数的几何意义等.再如，在平面向量部分主要考查平面向量的模、夹角等基本概念，考查平面向量基本定理，以及向量的线性运算、坐标运算、数量积等基本运算，还有向量平行与垂直的充要条件等.复习时，我们应该在解决复数和平面向量问题的通性、通法的基础上，深化对数形结合思想、转化与化归思想的理解与应用.2.掌握基本问题的典型解法在复数与平面向量的备考过程中

28、，对一些基本问题的解法我们要在通性、通法的基础上，掌握有针对性的典型解法.例如，在求向量的数量积时，我们要在利用向量的模、向量夹角的余弦和向量的坐标运算这些通性、通法的基础上，利用向量的加法或减法运算构造三角形，并结合余弦定理来求解，拓宽学生的思维面，提升学生的理性思维.3.突出教材在高三复习中不可替代的作用在高三复习中，教材是其他任何资料都无法替代的.在实际操作中，使用教材的现状很不乐观.以教辅资料为依据，以各地模拟试题为支撑进行大量“刷题”的现象普遍存在.教材上的例题和习题对于提升学生的数学素养起着重要作用，学生需要认真对待.例如，人教A版教材第53页第12题：如图6，在ABC 中，已知

29、AB=2，AC=5，BAC=60，BC，AC边上的中线 AM，BN 相交于点 P，求 MPN 的余弦值.ABCMNP图6下面是来自学生的解答，按其解答要点整理如下.（方法1）综合法.求出 BC 的长.（在 ABC中，利用余弦定理求得 BC=19.）求出 cos ABC 的值.（在ABC 中，利用余弦定理的推论得 cos ABC=-1938.）求出 AM 的值（在 ABM 中，利用余弦定理得 AM=392），进而得到 PA=393.求出 BN 的值（在 ABN 中，利用余弦定理得 BN=212），进而得到 PB=213.在ABP 中，利用余弦定理的推论，得cos APB=4 9191，即 cos

30、 MPN=4 9191.（方 法 2）向 量 基 底 法.设 AC=b，AB=c，以b，c 为一组基底.AM=12()b+c.BN=12b-c.由 AM2=12()b+c2，得|AM=392.由 BN2=12b-c2，得|BN=212.cos MPN=AM BN|AM|BN=4 9191.（方法3）向量坐标法.建立如图7所示的平面直角坐标系.ABCMNPyx图7 则 A()0，0，B()1，3，C()5，0，所以 M|3，32，N52，0.AM=|3，32，BN=32，-3.计算：AM BN=3，|AM=392，|BN=212.cos MPN=AM BN|AM|BN=4 9191.【评析】该题

31、给出了三角形的两边及其夹角的条 63下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究件，需要求边 AC，BC 上两条中线夹角的余弦值.由于条件的引导，很显然方法1是十分自然的，方法2对利用余弦定理及其推论来解决问题提出了较高的要求.同时，也要求应用余弦定理及其推论时要有目的性，即在哪一个三角形中应用定理解决问题，体现了解题的目的性.由于方法1多次应用同一个定理及其推论，使得计算量增加，也可能会出现因多次应用同一定理（或推论）来解决问题而出现的麻痹感，这就要求学生以实事求是的科学态度解答问题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神.方法2是以 AC，AB 为基底，即以b，c 为一

32、组基底.由平面向量基本定理知向量 AM，BN 都可以用基底 b，c 线性表示，从而为使用向量方法解决平面几何问题创造了条件.于是将所研究的问题转化为向量问题，通过向量运算研究三角形中的边角关系，进而得到 MPN 的余弦值.在这里，关键是要发现向量 AM 与向量 BN 的夹角大小就等于 MPN，这个发现需要学生把眼光放得远一点，看待问题的视野要开阔一些，体现了标准要求的会用数学眼光观察世界的要求.方法3也是利用向量方法来解决问题，但着眼点是以坐标系为背景.该题的条件比较特殊（如 BAC=60等），各个点的坐标能顺利地表示出来.以此来建立平面直角坐标系，使得所研究的问题代数化，接下来的解答就显得顺

33、理成章了.上述解法体现了一题多解的魅力.我们不提倡为了“多解”而绞尽脑汁地“多解”，而应该是在“自然”的状态下水到渠成地“多解”.因此，提倡“一题多解”的有效性.这种有效性体现在学生能够沿着不同的方向探索问题和解决问题的勇气和信心.该题的“多解”是建立在综合法与向量法基础之上的“多解”.这是具有指导意义的.因为就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用向量和向量运算来代替数和数的运算.同时，从另一个侧面说明了尽可能地在多种情况下使用向量解决平面几何中的问题，进而体现向量的工具性作用.因为向量是不依赖于坐标系的解析几何，在现代数学的研究中，向量及其运算是最基本的工具，采

34、取积极举措促进学生更好、更快地掌握向量法，对学生数学素养的发展有重要意义.用向量法解决几何问题的意识和能力是需要专门培养的，我们要一有机会就让学生运用向量法.如此好的题目在教材中是非常多的，只要我们用心感受，发挥教材在复习中不可替代的作用，那么，高三复习一定是卓有成效的.四、典型模拟题1.已知 2i-3 是关于 x 的方程 2x2+px+q=0 的一个根，求实数 p，q 的值.答案：p=12，q=26.2.已知正方形 ABCD 的边长为2，动点 P 在以 D为圆心且与 AC 相切的圆上，则 BP AC 的取值范围是（）.（A）-2 2，2 2（B）0，2 2（C）-4，4（D）0，4答案：C.3.如图8，在圆 O 中，已知弦 AB=4，弦 AC=6，求 AO BC 的值.答案：10.参考文献：1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 项武义.基础几何学M.北京：人民教育出版社，2004.3 教育部考试中心编写.中国高考评价体系说明M.北京：人民教育出版社，2019.4 章建跃.章建跃数学教育随想录（上卷）M.杭州：浙江教育出版社，2017.5 章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究（上册）M.上海：华东师范大学出版社，2021.OABC图8 64