【八年级下册】 19.7 正比例函数（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题 19.7 正比例函数（知识讲解）【学习目标】1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题；3.初步利用“设参求值”解决正比例函数中的几何问题；4.初步掌握待定系数法求正比例函数解析式【要点梳理】要点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如 （为常数，且0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）是的正比例函数；（2）（为常数且0）；（3）若与成正比例；（4）（为常数且0）.这些都表示y与x是正比例函数关系。要点二、正比例函数的图象与性质（1).图象:正比例函数y= kx (

2、k 是常数，k0) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。(2).性质:当k0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数（为常数，0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.【典型例题】【类型一】正比例函数定义的理解1若是y关于x的正比例函数，则k的值为（）ABC2D3【答案】B【分析】根据正比例函数的定义，可得：，从而求出k值解：根据正比例函数的定义，可得：，故选：B【点拨】本题

3、考查正比例函数的定义，解题的关键是理解正比例函数的定义正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数举一反三：【变式1】已知函数，（m ，n是常数）是正比例函数，的值为（）A 或0B C0D 【答案】D【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数解：函数，（m ，n是常数）是正比例函数，解得，故选：D【点拨】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式【变式2】若是正比例函数，则点所在的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】根据求正比例函数的

4、定义求出m的值，即可判断点所在的象限解：是正比例函数，且，即为，在第四象限故选：D【点拨】本题考查了正比例函数的定义，各象限内点的特征：第一象限中的点的横坐标大于0，纵坐标大于0；第二象限中的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；第三象限中的点的横坐标小于0，纵坐标）小于0；第四象限中的点的横坐标大于0，纵坐标小于0根据正比例函数的定义求出m的值是解题的关键【类型二】正比例函数图象位置2已知正比例函数图象经过（2，4）（1）如果点（a，1）和（1，b）在函数图象上，求a，b的值；（2）过图象上一点P作y轴的垂线，垂足为Q，SOPQ，求Q的坐标【答案】（1），（2）（0，）或（0，）【分析】（1）设正

5、比比例函数的解析式为ykx（k0），再把（2，4）代入求出k的值，进而得出其解析式，把点（a，1）和（1，b）代入求出a、b的值即可；（2）设P（x，2x），则Q（0，2x），根据三角形面积公式即可得出P点坐标，进而求得Q的坐标.解：（1）设正比比例函数的解析式为ykx（k0），正比例函数图象经过（2，4），42k，解得k2，正比例函数的解析式为y2x点（a，1）和（1，b）在函数图象上，12a，b1（2），解得，b2；（2）设P（x，2x），则Q（0，2x），SOPQ， x（2x），解得x，Q（0，）或（0，-）.【点拨】此题考查正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数的应用，运算能力，正比

6、例函数与几何图形面积问题.举一反三：【变式1】正比例函数的图象经过第一、三象限，求m的值【答案】2【分析】根据正比例函数的定义和图象经过象限得到关于m的方程和m的取值范围，即可求解解：函数函数为正比例函数，又正比例函数的图像经过第一、三象限，m0，【点拨】本题考查了正比例函数的定义和性质，注意正比例函数是一次函数，自变量次数为1，熟知正比例函数图象与性质是解题关键【变式2】如图，正方形的边长为4，为边上的一点，设，求的面积与之间的函数关系式，并画出这个函数的图象【答案】，图见分析【分析】根据SADP=DPAD，然后代入数计算即可，由于P为DC上一点故0PDDC，得到函数关系式后再画出图象，画图

7、象时注意自变量取值范围解：SADP=DPAD=x4=2x，y=2x（0x4）；故此函数是正比例函数，图象经过（0，0）（1，2），因为自变量有取值范围，所以图象是一条线段如图所示：【点拨】此题主要考查了三角形的面积的求法以及画正比例函数的图象，画图象不注意自变量取值范围是同学们容易出错的地方【类型三】正比例函数性质待定系数法3一个正比例函数的图象经过点，求的值【答案】【分析】将点代入解析式，求出的值，再将点代入解析式，求出的值即可解：正比例函数的图象经过点，正比例函数的图象经过点，【点拨】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，以及正比例函数图象上的点的特征利用待定系数法，正确的求出正比例函数的

8、解析式，是解题的关键举一反三：【变式1】已知与成正比例，且当时，(1) 求与之间的函数解析式；(2) 当时，求的取值范围【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据正比例函数的定义可设y=kx，然后把x=1时，y=3代入可计算出k，从而可确定y与x之间的函数关系式；（2）求得x=-2和x=1时所对应的函数值，然后根据一次函数的性质即可求得y的取值范围解：(1)设该正比例函数的解析式为，把，代入，得与之间的函数解析式为(2)当时，当时，随的增大而增大当时，【点拨】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键【变式2】已知与成正比例，当时，(1) 求与的函数表达式；(2) 当

9、时，求函数值；(3) 当时，求自变量的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用正比例函数的定义得出的值，即可得出答案；（2）将代入（1）中函数解析式进而得出答案；（3）将代入（1）中函数解析式进而得出答案（1）解：与成正比例，当时，与的函数表达式为；（2）当时，；（3）当时，【点拨】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，利用待定系数法解答是解题的关键【类型四】正比例函数性质增减性图象位置4已知函数是正比例函数(1) 若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值；(2) 若函数的图象过第一、三象限，求m的值【答案】(1)；(2)【分析】（1）由函数关系式中y随x的增大

10、而减小，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值；（2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值（1）解：函数是正比例函数，解得：函数关系式中y随x的增大而减小，（2）函数的图象过第一、三象限，【点拨】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k0时，y随x的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当k0时，y随x的增大而减小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键举一反三：【变式1】已知函数是关于x的正比例函数（1）求正比例函数的解析式；（2）若它的图象有两点，当时，试比较的大小【答案】（

11、1）；（2）【分析】（1）由正比例函数的定义可得到a所满足的方程，可求得a的值，可求得函数解析式；（2）利用正比例函数的增减性可比较大小解：（1）是关于x的正比例函数，|a|30且a30，解得a3，y12x；（2）在y12x中，k120，y随x的增大而减小，当时，【点拨】本题主要考查正比例函数的定义及性质，掌握正比例函数的解析式为ykx（k0）是解题的关键【变式2】已知函数，ykx（k为常数且k0）；（1）当x1，y2时，则函数解析式为；（2）当函数图象过第一、三象限时，k；（3）k，y随x的增大而减小；（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求OAB的面

12、积【答案】（1）y2x；（2）0；（3）0；（4）2【分析】（1）将，代入即可求的值，进而确定函数解析式；（2）根据正比例函数的图象特点与的关系，可得；（3）根据正比例函数的图象特点可确定，随的增大而减小时；（4）求出，则的面积解：（1）当，时，故答案为；（2）函数图象过第一、三象限，故答案为；（3）随的增大而减小，函数图象经过第二、四象限，故答案为；（4），点的横坐标为1，的面积【点拨】本题考查正比例函数的图象及性质，熟练掌握的取值与函数图象的关系是解题的关键【类型五】正比例函数性质几何综合5如图，已知四边形ABCD是正方形，点B，C分别在直线和上，点A，D是x轴上两点.（1）若此正方形边长

13、为2，k=_.（2）若此正方形边长为a，k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若会发生变化，求出a的值.【答案】（1）；（2）k的值不会发生变化，理由见分析【分析】（1）由边长可得AB，进而根据y=2x求出OA，得到OD，再根据边长为2得到CD，代入y=kx中即可；（2）根据正方形的边长a，运用正方形的性质表示出C点的坐标，再将C的坐标代入函数中，从而可求得k的值解：（1）正方形边长为2，.在直线中，当时，将代入中，得，解得.（2）k的值不会发生变化理由：正方形边长为a，在直线中，当时，.将代入中，得,解得，k值不会发生变化.【点拨】本题主要考查正方形的性质与正比例函数的综合运用，

14、是一道比较好的题目，难度适中灵活运用正方形的性质是解题的关键举一反三：【变式1】如图，正比例函数y=kx的图像经过点A，点A在第四象限过点A做AHx轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且AOH的面积为4.5（1）求该正比例函数的解析式；（2）在x轴上是否存在一点P，使AOP的面积为6？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=-x；(2)存在， 点P的坐标为（4，0）或（-4，0）【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式求得OP=4，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标解：（1）点A的横坐标为3，且AOH的面积

15、为4.5，OHAH2=4.5，3AH2=4.5，AH=3，点A的纵坐标为-3，点A的坐标为（3，-3）正比例函数y=kx经过点A，3k=-3，解得：k=-1，正比例函数的解析式是y=-x；（2）设OP=xAOP的面积为6，点A的坐标为（3，-3），OP=4，点P的坐标为（4，0）或（-4，0）【点拨】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式注意点P的坐标有两个【变式2】如图，正比例函数经过点，点在第四象限，过点作轴于，且的面积为(1) 求正比例函数的解析式；(2) 若点和点都在轴上，当的面积是时，求点的坐标；(3) 若点为轴上一动点，为平面内任意一点，是否存在点，使得以点

16、，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)或(3)存在，所有符合条件的点的坐标为或或或【分析】（1）根据的面积为求出的值，根据待定系数法求函数的解析式即可；（2）设点的坐标为，则，根据的面积是可求出的值，由此即可得出答案；（3）分和均为边，为对角线、为边和为对角线、为边三种情况，分别利用菱形的性质求解即可得（1）解：轴，且点在第四象限，的面积为，即，解得，将点代入得：，解得，则正比例函数的解析式为（2）解：设点的坐标为，则，的面积是，且，解得或，则点的坐标为或（3）解：，由题意，分以下三种情况：如图，当和均为边时，四边形是菱形，点的横坐标与点的横坐标相同，即为3，纵坐标为或，即点的坐标为或；如图，当为对角线、为边时，设点的坐标为，四边形是菱形，即，解得，点的坐标为，即为；如图，当为对角线、为边时，四边形是菱形，垂直平分，点与点关于轴对称，；综上，存在这样的点，所有符合条件的点的坐标为或或或【点拨】本题考查了正比例函数、菱形的性质、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题的关键