专题1.1 相交线与平行线全章知识典例详解-2022-2023学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）.docx

1、专题1.1 相交线与平行线全章知识典例详解【人教版】一、直线的相交1两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行【注】两条直线：有且只有一个公共点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线【典例1】如下图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分（如图（1），画2条直线，最多能把白纸分成4部分（如图（2），画3条直线，最多能把白纸分成7部分（如图（3），.，当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成（ ）A400部分B221部分C220部分D211部分【分析】首先根据题意总结出画n条直线，最多能把这张纸分成n+1n2+1块，然后

2、当n=20时，代入即可.【详解】画1条直线，最多能把这张纸分成1+1=2块；画2条直线，最多能把这张纸分成1+1+2=4块；画3条直线，最多能把这张纸分成1+1+2+3=7块；画n条直线，最多能把这张纸分成1+1+2+3+4+n=n+1n2+1块；则画20条直线，最多能把白纸分成20+1202+1=211块；故答案为D.【典例2】已知6条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为M个，最少为m个，则Mm=_【分析】由题意可得6条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出M，m的值，从而得出答案【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1

3、个，即m=1；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，任意三条直线不过同一点，此时点为：6（6-1）2=15，即M=15；M-m=14故答案为：142直线的相交两线四角（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角如图1，和，和，和，和互为邻补角图1 【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角（2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角如图1，和，和，互为对顶角【注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角【典例3】1与2是对顶角，2与3是邻补角，则1+3=_度【分析】根

4、据对顶角相等，邻补角互补即可得到答案【详解】解：由题意可得，1=2，2+3=180，1+3=180，故答案为180【典例4】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分BOD，OF平分COE(1)若AOC=76，求BOF的度数；(2)若BOF=36，求AOC的度数；【分析】（1）先根据对顶角相等求出BOD=76，再由角平分线定义得DOE=BOE=38，由邻补角得COE=142，再根据角平分线定义得EOF=71，从而可得结论（2）利用角平分的定义得出BOE=EOD，COF=FOE，进而表示出各角求出答案【详解】（1）AOC、BOD是对顶角，BOD=AOC=76，OE平分BOD，DOE=BOE=12B

5、OD=38，COE=142，OF平分COEEOF=12COE=71，又BOE+BOF=EOF，BOF=EOFBOE=7138=33，（2）OE平分BOD，OF平分COE，BOE=EOD，COF=FOE，设BOE=x，则EOD=x，故COA=2x，EOF=COF=x+36，则AOC+COF+BOF=2x+x+36+36=180，解得x=36，故AOC=72二、垂直1垂直：一条直线与另一条直线相交成，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足如图2，垂足为O，可记为“于点O”图2 2性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直

6、线上各点的所有线段中，垂线段最短【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离【典例5】如图，ABC中，ACB90，AC3，BC4，AB5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（）A3B2.5C2.4D2【分析】当PCAB时，PC的值最小，利用面积法求解即可【详解】解：在RtABC中，ACB90，AC3，BC4，AB5，当PCAB时，PC的值最小，此时：ABC的面积12ABPC12ACBC，5PC34，PC2.4，故选：C【典例6】如图，在三角形ABC中，ACB=90(1)过点C画AB的垂线，交AB于点H；(2)在（1）的条件下，点A到直线CH的距离是线段_的长度

7、；(3)在（1）的条件下，比较CH与AB的大小，并说明理由【分析】（1）根据垂线的做法，过C点往AB作垂线即可；（2）根据点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，可知点A到直线CH的距离是线段AH的长度；（3）根据垂线段最短，进行判定即可【详解】（1）解：如图所示（2）AHCH，点A到直线CH的距离是线段AH的长度，故答案为：AH；（3）ABCH，理由如下：ACB=90ABBC，AHCH，BHC=90BC CH，ABCH三、三线八角1同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（即两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同侧），叫做同位角图3如图3，和，和，和，和都是

8、同位角2内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的一对角（即两个角分别在第三条直线的两侧），叫做内错角如图3，和，和都是内错角3同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同侧的一对角，叫做同旁内角如图3，和，和都是同旁内角【典例7】根据图形填空：（1）若直线ED,BC被直线AB所截，则1和_是同位角；（2）若直线ED,BC被直线AF所截，则3和_是内错角；（3）1和3是直线AB,AF被直线_所截构成的内错角；（4）2和4是直线AB，_被直线BC所截构成的_角【分析】（1）根据图形及同位角的概念可直接进行求解；（2）根据图形及内错

9、角的概念可直接进行求解；（3）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；（4）根据图形及同位角的概念可直接进行求解【详解】解：由图可得：（1）若直线ED,BC被直线AB所截，则1和2是同位角；故答案为2；（2）若直线ED,BC被直线AF所截，则3和4是内错角；故答案为4；（3）1和3是直线AB,AF被直线ED所截构成的内错角；故答案为ED；（4）2和4是直线AB，AF被直线BC所截构成的同位角；故答案为AF，同位【典例8】如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题(1)在图中的19这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；(2)4和5是什么位置关系的角

10、？6和8之间的位置关系与4和5的相同吗？【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的特征（同位角形如“F”，内错角形如“Z”，同旁内角形如“U”）判断即可.【详解】解：(1)如题图所示：同位角共有5对：分别是1和5，2和3，3和7，4和6，4和9；(2)由三线八角的判断方法4和5是由c，b，d三线组成，并且构成“U”形图案，所以4和5是同旁内角，同理可得：6和8也是同旁内角，故6和8之间的位置关系与4和5的相同故答案是：（1）同位角共有5对：分别是1和5，2和3，3和7，4和6，4和9；4和5是同旁内角；（2）6和8之间的位置关系与4和5的相同.一、平行线1平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称

11、为平行线用“/”表示2平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行如图1，过直线a外一点A作b/a，c/a，则b与c重合图13平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行简记为：平行于同一条直线的两条直线平行如图2，若b/a，c/a，则b/c图2【典例9】已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：若a/b,b/c,则a/c；若a/b,ac,则bc；若ab,bc,则ac；若ac且c与b相交，则a与b相交，其中，结论正确的是（）ABCD【分析】根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那

12、么这两条直线也互相平行进行分析即可求解【详解】根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若a/b,b/c,则a/c；故说法正确；若a/b,ac,则bc，故说法正确；根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若ab,bc,则ac；说法错误；若ac且c与b相交，则a与b不一定相交，故说法错误故正确的有：故选：A二、平行线的判定图3（1）同位角相等，两直线平行如图3，若，则a/b（2）内错角相等，两直线平行如图3，若，则a/b（3）同旁内角互补，两直线平行如图3，若，则a/b【典例10】如图，下列能判定ACDF的条件有（）1+DEC=180；C=

13、2；4=FEC；DEF=5；3=4A1个B2个C3个D4个【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可【详解】解：由1+DEC=180可由同旁内角互补，两直线平行得到ACDF，符合题意；由C=2可由同位角相等，两直线平行得到ACDF，符合题意；由4=FEC可由内错角相等，两直线平行得到ACDF，符合题意；由DEF=5可由内错角相等，两直线平行得到BCDE，不能得到ACDF，不符合题意；由3=4可由内错角相等，两直线平行得到ABEF，不能得到ACDF，不符合题意；故选C【典例11】如图，填空：ABD=BDC（已知），_（ ）；A=CBE（已知），_（ ）；CBE=DCB（已知），_（ ）；A+ADC

14、=180（已知），_（ ）【分析】根据平行线的判定定理即可求解【详解】解：ABD=BDC（已知），ABCD（内错角相等，两直线平行）；A=CBE（已知），ADBC（同位角相等，两直线平行）；CBE=DCB（已知），CDBE（内错角相等，两直线平行）；A+ADC=180（已知），ABCD（同旁内角互补，两直线平行）故答案为：AB，CD，内错角相等，两直线平行；AD，BC，同位角相等，两直线平行；CD，BE，内错角相等，两直线平行；AB，CD，同旁内角互补，两直线平行一、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等如图3，若a/b，则（2）两直线平行，内错角相等如图3，若a/b，则（3）两直线平行，同

15、旁内角互补如图3，若a/b，则推论1 平行线间的距离处处相等推论2 如果两个角的两边分别平行那么这两个角相等或互补【典例12】完成下面的证明：如图，点B在AG上，AGCD，连接BC，CF平分BCD，ABE=FCB，BEAF于点E求证：F=90 证明：AGCD，ABC=BCD（_）ABE=FCB，ABCABE=BCDFCB，即EBC=FCDCF平分BCD，FCB=_（_）EBC=FCB，BECF（_）_=F（_）BEAF，BEF=_（_）F=90【分析】根据平行线性质与判定、角平分线定义、垂直的定义填空即可【详解】证明：AGCD，ABC=BCD（两直线平行，内错角相等）ABE=FCB，ABCAB

16、E=BCDFCB，即EBC=FCDCF平分BCD，FCB=FCD（角平分线的定义）EBC=FCB，BECF（内错角相等，两直线平行）BEF=F（两直线平行，内错角相等）BEAF，BEF=90（垂直的定义）F=90故答案为：两直线平行，内错角相等；FCD；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；BEF；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义【典例13】如图，1=2，A=D求证：B=C（请把下面证明过程补充完整）证明：1=2（已知）又1=3（_）2=3（_）AEFD（_）A=_（_）A=D（已知）D=BFD（等量代换）_CD（_）B=C（_）【分析】先利用对顶角的性质证明2=3，再证明AEFD，

17、可证明A=BFD，可得D=BFD，再证明ABCD，从而可得答案【详解】证明：1=2（已知）又1=3（对顶角相等）2=3（等量代换）AEFD（内错角相等，两直线平行）A=BFD（两直线平行，内错角相等）A=D（已知）D=BFD（等量代换）ABCD（内错角相等，两直线平行）B=C（两直线平行，内错角相等）【典例14】如图，l1/l2，点A、E在直线l1上，点B、C、D在直线l2上，如果BD=2CD，ABC的面积为30，那么BDE的面积是_【分析】由BD:CD=2:1，可得出BDBC=23根据l1l2，即可知ABC与BDE的高相等，从而可得出SBDESABC=BDBC=23，即可求出结果【详解】BD

18、:CD=2:1，BDBC=23，l1l2，ABC与BDE的高相等，SBDESABC=BDBC=23，SABC=30，SBDE=20，故答案为：20二、命题、定理、证明1. 命题：命题的概念：判断一件事情的语句叫做命题；命题的形式：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写成“如果那么”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论.2. 命题包括两种：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题称为真命题；题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题称为假命题. 逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题. 注

19、：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题；原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做真理，它可以作为继续推理的依据.4. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.【典例15】下列四个命题：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；从直线外一点作这条直线的垂线段叫点到直线的距离其中是真命题的是_【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各个条件是否能推出结论，从而利用排除法得出答案【详解】过同一平面内一点有且

20、只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题，符合题意；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；两条平行的直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；从直线外一点作这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故原命题是假命题，不符合题意；真命题是，故答案为：【典例16】把“同角的余角相等”改成“如果，那么”：_【分析】找到命题的条件和结论进行改写即可【详解】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等1. 平移的定义：把一个图形整体

21、沿某一方向移动，会得到一个新图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同2. 平移的性质：平移是延直线移动； 平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同； 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 【典例17】如图，将直角ABC沿CB边向右平移得到DFE，DE交AB于点GAB=9cm，BF=3cm，AG=5cm，则图中阴影部分的面积为_【分析】F是直角，BF是梯形的高，根据AB的长度求出BG的长度，利用梯形的面积公式求出【详解】解：AB=DF，AB=9， DF=9，BG=ABAG=95=4， 又BF是梯形的高，阴影部分的面积为：12BG+DFBF=124+93=392cm2故答案是：392cm2【典例18】如图，将周长为8cm的ABC沿BC方向平移1cm得到DEF，则四边形ABFD的周长为_cm【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长为AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案【详解】解：根据题意，将周长为8cm的ABC沿BC向右平移1cm得到DEF，AD=1cm，BF=BC+CF=BC+1cm，DF=AC；又AB+BC+AC=8cm，四边形ABFD的周长为AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10cm故答案为：10