专题2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）.docx

1、专题2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】【新高考专用】【题型1 指数幂与对数式的化简求值】2【题型2 指对幂函数的定义与解析式】3【题型3 指对幂函数的定义域与值域】4【题型4 指对幂函数的图象的识别与应用】4【题型5 指对幂函数的单调性问题】5【题型6 指对幂比较大小】6【题型7 利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】6【题型8 反函数及其应用】7【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】81、幂函数与指、对数函数幂函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要

2、以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.【知识点1 幂函数的解题技巧】1.幂函数的解析式幂函数的形式是(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.2.幂函数的图象与性质在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.3.比较幂值的大小在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行

3、比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【知识点2 指数、对数运算的解题策略】1.指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加.运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.2.对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数

4、真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a0,且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】1指数函数的常见问题及解题思路(1)比较指数式的大小比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.(2)指数方程(不等式)的求解思路指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.(3)指数型函数的解题策略涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”

5、这一性质分析判断.2对数函数的常见问题及解题思路(1)对数函数图象的识别及应用在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.【题型

6、1 指数幂与对数式的化简求值】【例1】（2023山东校联考模拟预测）若a-1-a1=4， 则a-2+a2的值为（）A8B16C2D18【变式1-1】（2023天津河西统考一模）已知3a=4b=m, 1a+12b=2，则m的值为（）A36B6C6D46【变式1-2】（2023江苏连云港校考模拟预测）计算：(1)2790.5+0.1-2+21027-23-30+3748；(2)log23log34+lg52+lg5lg20+12lg16-2log23.【变式1-3】（2023吉林长春长春校考模拟预测）（1）求值：(323)6+(22)43-41649-12-4280.25-(-2023)0；（2）

7、已知lgx+lgy=2lg(x-2y)，求log2xy的值.【题型2 指对幂函数的定义与解析式】【例2】（2022上云南曲靖高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（）Ay=lnxBy=log2x2Cy=logax9Dy=log2x-2022【变式2-1】（2023四川成都校联考一模）已知幂函数fx=x的图象过点P3,9，则=（）A12B1C2D3【变式2-2】（2023上吉林长春高一校考期中）函数y=a2-5a+7ax+6-2a是指数函数，则有（）Aa=2或a=3Ba=3Ca=2Da2，且a3【变式2-3】（2023上高一课时练习）若函数f(x)=a2-3a+3logax是对数函数，则a的值

8、是（）A1或2B1C2Da0且a1【题型3 指对幂函数的定义域与值域】【例3】（2023上四川成都高一校考期中）函数fx=2x-4x-5的定义域为（）A-,2B-,55,+C2,+D2,55,+【变式3-1】（2022上安徽高一校联考阶段练习）已知幂函数f(x)的图像过点2,14，则（）Af(x)为减函数Bf(x)的值域为(0,+)Cf(x)为奇函数Df(x)的定义域为R【变式3-2】（2022北京东城统考一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（）Ay=lnxBy=exCy=x3Dy=1x【变式3-3】（2023上江西吉安高一校考阶段练习）已知函数fx=3x-2,x1,x12,10,a1)的

9、图象如图，则下列结论成立的是（）Aa1,c1 Ba1,0c1 C0a1D0a1,0c1【变式4-1】（2022上全国高一专题练习）如图所示是函数y=xmn（m、nN*且互质）的图象，则（）Am，n是奇数且mn1Bm是偶数，n是奇数，且mn1Dm，n是偶数，且mn1【变式4-2】（2023四川成都校联考一模）已知函数fx=2xex-e-x，则函数fx的图象的可能是（）ABCD【变式4-3】（2022高一课时练习）函数y=ax；y=bx；y=cx；y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a，b，c，d的值分别是（）A54，3，13，12B3，54，1

10、3，12C12，13，3，54，D13，12，54，3，【题型5 指对幂函数的单调性问题】【例5】（2022上北京朝阳高三统考期中）下列函数中，在区间0,+上单调递减的是（）Ay=log2xBy=2-xCy=x+1Dy=x3【变式5-1】（2023河南校联考模拟预测）若幂函数f(x)=2m2-3m-1xm在(0,+)上单调递减，则m=（）A2B12C-12D-2【变式5-2】（2023广东韶关统考一模）函数fx=log2x2-4在-,a上单调递减，则实数a取值范围是（）A-,-2B2,+C-,0D0,+【变式5-3】（2023北京东城统考二模）设函数f(x)=2x,xax2,xa，若f(x)为

11、增函数，则实数a的取值范围是（）A(0,4B2,4C2,+)D4,+)【题型6 指对幂比较大小】【例6】（2023陕西宝鸡校联考模拟预测）已知a=6log23.4，b=6log43.6，c=16log30.3，则（）AabcBbacCacbDcab【变式6-1】（2023江西统考模拟预测）设a=e-43，b=ln3，c=3-1+log32，则（）AcabBbacCacbDabc【变式6-2】（2023四川南充模拟预测）已知a=2525,b=3525,c=log252，则（）AabcBbacCcbaDcab【变式6-3】（2023河南校联考模拟预测）已知a=ln,b=log3,c=ln2，则a,

12、b,c的大小关系是（）AbacBabcCcbaDbca【题型7 利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】【例7】（2023全国高三专题练习）已知幂函数fx=2m2+m-2x2m+1在0,+上是增函数.(1)求fx的解析式；(2)若f2-alog12(x-1)-1(2)14x-32x+37【变式7-2】（2023上浙江高一校联考阶段练习）已知函数fx=x-22x-a,aR.(1)当a=1时，解关于x的方程fx=0；(2)当x3时，恒有fx1，求实数a的取值范围；(3)解关于x的不等式fx0.【变式7-3】（2023上贵州六盘水高一统考阶段练习）已知函数fx=loga(x2+bx-1)，其

13、中a0且a1.(1)若a1，b=0，求不等式fx+1fx+4的解集；(2)若m1,+)，f2m+1f2m+2，求b的取值范围.【题型8 反函数及其应用】【例8】（2023上辽宁沈阳高一校考阶段练习）设函数y=fx存在反函数y=f-1x，且函数y=x2-fx的图象过点2,3，则函数y=x-f-1x的图象一定过点（）A1,-1B3,2C1,0D2,1【变式8-1】（2023河南校联考模拟预测）已知函数y=fx的图象与y=log2x+a的图象关于直线y=x对称，且满足f1+f2=2，则a=（）A4B2C1D-1【变式8-2】（2022上广东惠州高一惠州一中校考期中）已知函数fx=12x，函数y=gx

14、的图象与y=fx的图象关于直线y=x对称，则函数y=g-x2+2x的单调递减区间为（）A0,1B1,+C-,1D1,2【变式8-3】（2023上上海浦东新高三校考阶段练习）若点P(x0,y0) (x0y00)在函数y=f(x)的图像上，y=f-1(x)为函数y=f(x)的反函数，设P1(y0,x0)、P2(-y0,x0)、P3(y0,-x0)、P4(-y0,-x0)，则有（）A点P1,P2,P3,P4有可能都在函数y=f-1(x)的图像上B只有点P2不可能在函数y=f-1(x)的图像上C只有点P3不可能在函数y=f-1(x)的图像上D点P2,P3都不可能在函数y=f-1(x)的图像上【题型9

15、指数函数与对数函数的综合应用】【例9】（2023上福建厦门高一校考阶段练习）函数f(x)=log44x+1-mx是偶函数，g(x)=4x-12x(1)求m的值；(2)设h(x)=f(x)+12x，若gh(x)hlog4(2a+1)对任意xlog43恒成立，求实数a的取值范围【变式9-1】（2023上河北邢台高三校联考阶段练习）已知函数fx=log19a-x2+bx，gx=m4x-2x+2+3.(1)若y=lggx的值域为R，求满足条件的整数m的值；(2)若非常数函数fx是定义域为-2,2的奇函数，且x11,2，x2-1,1，fx1-gx2-12，求m的取值范围.【变式9-2】（2023上湖北咸

16、宁高一校考阶段练习）已知函数fx=4x+14x+a为奇函数.(1)求实数a的值；(2)判断函数fx的单调性并证明；(3)设函数gx=log2x2log2x4+m，若对任意的x12,8，总存在x20,1，使得gx1=fx2成立，求实数m的取值范围.【变式9-3】（2023上辽宁大连高一期末）已知函数fx=log3ax2-x+a2-3，g(x)=x+x-(1)直接写出x0时，g(x)的最小值.(2)a=2时，Fx=fx-log43在x1,32是否存在零点？给出结论并证明.(3)若g(2)=52，f(g(x)存在两个零点，求a的取值范围.1（2023全国统考高考真题）已知f(x)=xexeax-1是

17、偶函数，则a=（）A-2B-1C1D22（2023全国统考高考真题）设函数fx=2xx-a在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（）A-,-2B-2,0C0,2D2,+3（2022天津统考高考真题）化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为（）A1B2C4D64（2023天津统考高考真题）若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（）AcabBcbaCabcDbac5（2023北京统考高考真题）下列函数中，在区间(0,+)上单调递增的是（）Af(x)=-lnxBf(x)=12xCf(x)=-1xDf(x)=3|x-1|6（202

18、3全国统考高考真题）已知函数fx=e-(x-1)2记a=f22,b=f32,c=f62，则（）AbcaBbacCcbaDcab7（2022浙江统考高考真题）已知2a=5,log83=b，则4a-3b=（）A25B5C259D538（2022全国统考高考真题）已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则（）Aa0bBab0Cba0Db0a9（2023全国统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20lgpp0，其中常数p0p00是听觉下限阈值，p是实际声压下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则（）Ap1p2Bp210p3Cp3=100p0Dp1100p210（2023北京统考高考真题）已知函数f(x)=4x+log2x，则f12=