专题22.9 相似形章末十大题型总结（培优篇）（沪科版）（原卷版）.docx

1、专题22.9 相似形章末十大题型总结（培优篇）【沪科版】【题型1 由比例的性质求值或证明】1【题型2 由平行判断成比例的线段】2【题型3 黄金分割】3【题型4 证明两三角形相似】4【题型5 证明三角形的对应线段成比例】5【题型6 确定相似三角形的点的个数】6【题型7 相似与翻折】7【题型8 利用相似求坐标】9【题型9 在网格中作位似图形】9【题型10 相似三角形的应用】11【题型1 由比例的性质求值或证明】【例1】（2023秋安徽马鞍山九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知a+bc=b+ca=c+ab，求a+bb+cc+aabc的值【变式1-1】（2023秋安徽六安九年级校考期中）已知a、

2、b、c为ABC的三边长，且a3=b4=c5，a+b+c=24，求ABC三边的长【变式1-2】（2023秋浙江嘉兴九年级校联考期中）已知线段a、b满足a:b=1:2，且a+2b=10(1)求a、b的值；(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求c的值【变式1-3】（2023秋广东珠海九年级统考期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.（1）若ab=2，cd=2，则ba dc，ac bd（用“”，“”或“=”填空）；（2）若ab=cd,请判断ba+b和dc+d的大小关系，并证明；（3）令ac=bd=t,若分式2a+ca-c-3b+db-d+2的值为3，求t的值.【题型2 平行判断成比例的线段的运用

3、】【例2】（2023秋安徽六安九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在ABC的边上，ADBD=13，DEBC，EFAB，点M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则ENAC的值是（）A320B29C16D17【变式2-1】（2023秋陕西榆林九年级校考期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且ABEFCD，若EF=2，CD=3，求AB的长【变式2-2】（2023春安徽合肥九年级统考期末）如图，在ABC中，D是AC边上的中点，E在BC上，且EC=2BE，则AFFE=（）A2B3C4D5【变式2-3】（2023秋四川成都九年级校考期中）如图，已知ABC，DCE，FEG是三个全等的等腰三

4、角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=3，BC=1，BF分别交AC，DC，DE于P，Q，R，则PQ的长为 【题型3 黄金分割的运用】【例3】（2023秋河南郑州九年级河南省实验中学校考期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段AB 的黄金分割点，且AB=2，则图中五边形CDEFG的周长为（）A25-2B103C105-20D105-10【变式3-1】（2023春山东威海九年级校联考期末）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，

5、前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“”指的是线段 【变式3-2】（2023秋辽宁锦州九年级统考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好若舞台长AB=20米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上（结果保留根号）【变式3-3】（2023春江苏苏州九年级苏州市立达中学校校考期末）已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点（APBP），(1)求线段AP的长；(2)

6、以AB为三角形的一边作ABQ，使得BQ=AP，连接QP，若QP平分AQB，求AQ的长【题型4 证明两三角形相似】【例4】（2023秋广东清远九年级统考期末）如图，已知正方形ABCD中，BE平分DBC且交CD边于点E，将BCE绕点C顺时针旋转到DCF的位置，并延长BE交DF于点G求证：(1)BDGDEG；(2)BGDF【变式4-1】（2023秋浙江绍兴九年级统考期中）如图，已知B=E=90，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25(1)求CE的长；(2)求证：ABCDEF【变式4-2】（2023秋贵州贵阳九年级统考期末）如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为点D，点M是

7、AC上的一点，连接BM，作MNBM，且交AB于点N.（1）求证：BCPMAN；（2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来.【变式4-3】（2023秋安徽阜阳九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处(1)求证：ABFFCE；(2)若AB=23，AD=4，求CE的长(3)当点F是线段BC的中点时，求证：AF2=ABAE【题型5 证明三角形的对应线段成比例】【例5】（2023春江苏九年级专题练习）如图，ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证

8、明：ABDF=ACEF【变式5-1】（2023春江西南昌九年级统考期末）(1) 已知抛物线y=ax2-6x+c的图象经过点（-2，-1），其对称轴为x=-1求抛物线的解析式 (2)如图，在ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AB边上的点，且ADE=C求证：BDCD=BEAC【变式5-2】（2023上海松江统考一模）如图，已知梯形ABCD中，ADBCE是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且BE2=EFEC求证：(1)ABDFCB；(2)BDBE=ADCE【变式5-3】（2023春全国九年级专题练习）如图，已知，在ABC中，ACB的平分线CD交AB于D，过B作BECD交AC的延长线于点

9、E.求证：ADDB=ACCB.【题型6 确定相似三角形的点的个数】【例6】（2023春江苏苏州九年级校联考期末）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为b4，若POA和PAB相似，则符合条件的P点个数是（）A0B1C2D3【变式6-1】（2023春江苏苏州九年级校考阶段练习）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的ABC相似的个数有（）A1个B2个C3个D4个【变式6-2】（2023秋九年级单元测试）如图，在ABC中，AB=4cm，AC=3cm

10、，BC=6cm，D是AC上一点，AD=2cm，点P从C出发沿CBA方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将ABC分成两部分，可以使其中一部分与ABC相似的点P的个数为（）A0个B2个C3个D4个【变式6-3】（2023秋安徽宣城九年级校联考期中）如图，在ABC中，A60，AB4，AC6，将ABC沿图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与ABC相似的个数有（）A1个B2个C3个D4个【题型7 相似与翻折】【例7】（2023秋河南漯河九年级漯河市实验中学校考期末）在RtABC中，BC=5，AC=12，点D，E是线段AB，AC上的两个动点（不与A，B，C重合）沿DE翻折A

11、DE使得点A的对应点F恰好落在直线BC上，当DF与RtABC的一条边垂直的时候，线段AD的长为 【变式7-1】（2023秋重庆沙坪坝九年级重庆八中校考期末）如图，在ABC中，点D是AC边上的中点，连接BD，把ABD沿若BD翻折，得到ABD连接AC若AC=6，ACD=30，BD=4，则AB为（）A3B2C3D23【变式7-2】（2023春上海徐汇九年级上海市西南模范中学校考期末）已知：在直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，ABD沿直线BD翻折，点A恰好落在腰CD上的点E处(1)如图，当点E是腰CD的中点时，求证：BCD是等边三角形；(2)延长BE交线段AD的延长线于点F，连接CF，如果CE2

12、=DEDC，求证：四边形ABCF是矩形【变式7-3】（2023春山西太原九年级山西大附中校考期中）如图，已知ABC=135，AB=32，BC=6，点P是边AC上任意一点，连接BP，将CPB沿PB翻折，得到CPB当CPAC时，AP的长为 【题型8 利用相似求坐标】【例8】（2023秋湖北随州九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为-4,0、0,4，点C3,n在第一象限内，连接AC、BC已知BCA=2CAO，则n= 【变式8-1】（2023秋四川绵阳九年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、

13、C为顶点的三角形与AOB相似，那么点P的坐标是 【变式8-2】（2023江西中考真题）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(4,0)，(4,4)，(0,4)，点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA=1，CPDP于点P，则点P的坐标为 【变式8-3】（2023春湖北武汉九年级统考期末）已知直线l1：y=-12x与直线l2：y=kx-2k+1相交于点P，且两直线的夹角为45，则点P的坐标为 【题型9 在网格中作位似图形】【例9】（2023秋山西临汾九年级统考期末）ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：(1)在网格内画出和ABC以点O为位似中心的位似图形A1B1C1，且A1B1C1和AB

14、C的位似比为2:1(2)分别写出A1、B1、C1三个点的坐标：A1_；B1_；C1_(3)A1B1C1的面积为_【变式9-1】（2023秋内蒙古锡林郭勒盟九年级校考期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，ABC与ABC是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上（1）画出位似中心O；（2）求出ABC与ABC的相似比【变式9-2】（2023秋安徽六安九年级统考期末）如图，在1010的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O是格点，ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心得到的(1)画出ABC以点O为位似中心的位似图形A1B1C1；(2)

15、A1B1C1与ABC的相似比为_；(3)A1B1C1与ABC的面积之比为_【变式9-3】（2023秋吉林长春九年级吉林大学附属中学校考期末）图、图、图均是66的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图(1)在图中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形，并画出这个四边形(2)在图中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是中心对称图形，并画出这个四边形(3)在图中ABC的AC、BC边上分别确定点D、E，使得CDE与CAB位似，位似中心为点C，位似比为1:3【题型10 相似三角

16、形的应用】【例10】（2023秋陕西榆林九年级校考期中）位于陕西省北部神木县红碱淖景区的大门口，树立着一座精致的王昭君雕像在当地人看来，当年王昭君就是走过神木大地，去完成和亲使命的她因为远离家乡而伤心落泪，泪水也因此化作了一颗“沙漠明珠”红碱淖某校社会实践小组为了测量这座雕像（如图1）的高度，如图2，小明先在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雕像的顶端B正好在同一直线上，测得EC=3米；小明再从点E出发沿着EG方向前进9米，到达点F在点F处放置一平面镜，小刚站在G处时，恰好在平面镜中看到雕像的顶端B的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离GH为1.5

17、米，GF=3米已知点G、F、E、C与雕像的底端A在同一直线上，ABAG，CDAG，GHAG，请你根据以上数据，计算该雕像的高度AB（平面镜大小忽略不计）【变式10-1】（2023秋河南驻马店九年级统考期中）2022年9月16日，第九批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，离家还是少年身，归来已是报国躯七十多年前，超过19万名志愿军战士在异国疆场悲壮地倒下，义无反顾地用血肉之躯把祖国护卫在身后，把炮火挡在了国门之外丹心赤诚，铁骨铮铮，中国人民志愿军用鲜血写就壮丽篇章，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们这几十年的和平，换来了我们国家的富强和人民的幸福面对美帝国主义精良的精确制导武器，中国人民志愿军战士

18、没有被吓倒，没有先进的武器装备，志愿军战士只能使用以前一些土办法，其中“跳眼法”就是炮兵常用的一种简易测距方法（图1），结合相似三角形原理和光的直线传播原理，可以计算出被测物的大致距离如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CDAB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离(1)“跳眼法”运用了相似三角形的哪些知识？（写出一条即可）(2)已知大多数人的眼距长约为6.4厘米左右，而手臂长约为64厘米左右若CD的估测长度为50米，那么CO的大致距离为多少米？【变式10-2】（2023春山东烟台九年级统

19、考期末）如图为一块锐角三角形的余料，它的边BC=60mm，AB=40mm，工人师傅要把它加工成菱形零件，使菱形BGMF的一边BG在BC上，其余两个顶点F，M分别在边AB，AC上，加工成的零件的高ED=21mm，求ABC的高AD的长【变式10-3】（2023秋广东梅州九年级统考期末）北京时间2022年12月4日23时08分，神舟十五号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即GF）小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼18m的点B处，在点B正上方点A处测得GAO=，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处，在点D正上方点C处测得FCO=，若AB，CD，OE均为1.65m，FE的长为6.65m(1)如图1，请你帮助小亮计算条幅GF长度(2)若小亮从B点开始以每秒1m的速度向点E行走至D（D正上方点C），经过多少秒后，以F、C、O为顶点的三角形与GAO相似