专题强化训练一 导数在研究函数中的应用综合强化训练-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）.docx

1、专题强化训练一：导数在研究函数中的应用综合强化训练一、单选题1（2022春陕西榆林高二校考期中）若函数在内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）ABCD2（2023秋北京高二北京市十一学校校考期末）已知函数，则（）A是偶函数B曲线在点处切线的斜率为C在上单调递增D有一个零点3（2023全国高二专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（）ABCD4（2023全国高二专题练习）已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围（）ABCD5（2023秋北京高二北京市十一学校校考期末）已知函数，若成立，则nm的最小值为（）ABCD6（2023秋河南信阳高二

2、信阳高中校考期末）已知是定义在R上的偶函数，当时，且，则不等式的解集是（）ABCD7（2023秋山东菏泽高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD8（2023全国高二专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD9（2023全国高二专题练习）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（）ABCD10（2023全国高二专题练习）定义在上的函数满足，且对任意的都有（其中为的导数），则下列判断正确的是（）ABCD11（2023全国高二专题练习）设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD12（2023春江苏南京高三

3、南京师大附中校考开学考试）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（）ABCD二、多选题13（2023秋山西大同高二大同一中校考期末）已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（）ABCD14（2023全国高二专题练习）设函数，则下列说法正确的有（）A函数在上为减函数B对，都有恒成立C对，都有恒成立D函数有两个极值点15（2022秋吉林长春高二校考期末）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（）A的解集是BC时，取得最大值D的解集是16（2023秋江苏宿迁高二统考开学考试）已知函数，下列说法正确的是（）A当时，存在单调递增区间B当时，存在两个极值点C是为减函数的充要条件D，

4、无极大值17（2023秋江苏苏州高二常熟中学校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（）A当时，函数恰有两个零点B当时，不等式对任意恒成立C若函数有两个零点，则D当时，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为18（2022春山东聊城高二山东聊城一中校考期中）已知函数有两个零点，且，则下列选项正确的有（）AB在上单调递减CD若，则19（2022秋江西景德镇高二景德镇一中校考期中）关于函数，下列判断正确的是（）A是的极大值点B函数有且只有1个零点C对不等式在上恒成立D对任意两个正实数，且，若，则三、填空题20（2023秋北京高二北京市十一学校校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，则不

5、等式的解集为_21（2023秋湖南岳阳高二统考期末），若关于x的方程在上有根，则实数m的取值范围是 _22（2023全国高二专题练习）已知定义在R上的偶函数满足，若，则不等式的解集为_23（2022秋北京高二北京市第五中学校考期末）给出如下关于函数的结论：；对，都，使得；，使得；对，都有其中正确的有_.（填上所有你认为正确结论的序号）24（2023秋江苏宿迁高二统考开学考试）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_25（2023秋浙江宁波高二校联考期末）已知不等式恒成立，则的最大值为_.四、解答题26（2023秋山东菏泽高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数，且.(1)求函数的图象在点处的切

6、线方程；(2)求函数在区间上的值域.27（2023秋北京高二北京市十一学校校考期末）已知函数，(1)若函数在x1处取得极值，求a的值(2)讨论函数的单调区间28（2023秋北京高二清华附中校考期末）已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线与直线的公共点个数，并说明理由；(3)若对于任意，不等式恒成立，直接写出实数的取值范围29（2023秋浙江温州高二统考期末）已知函数，其中(1)当时，证明：；(2)若对任意的恒成立，求k的取值范围.30（2023全国高二专题练习）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若有两个零点，求实数a的取值范围.31（2023全国高二专题练习）已知函数（）(

7、1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个不同的零点，求a的取值范围32（2023全国高二专题练习）已知函数.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明恒成立.参考答案：1A【分析】求定义域，求导，分和两种情况，结合函数单调性，求出，得到答案.【详解】定义域为，当时，恒成立，故函数在上单调递减，不合题意，舍去；当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，因为在内存在单调递增区间，所以，故实数a的取值范围是.故选：A2D【分析】选项A由定义域就可以判断，B，C，D选项通过对函数求导逐一分析即可.【详解】由函数的定义域为，不关于原点对称，故非奇非偶函数，故A错误，因为

8、，所以，即在点处切线的斜率为，故B错误，当时，所以，当时，所以，所以在上单调递减，在上单调递增所以函数在有增有减，故选项C错误，由C选项知在上单调递减，在上单调递增且，所以当，当，故函数只有唯一一个零点，故选项D正确，故选：D.3A【分析】设，求导可得在上单调递减，再根据转化为，再结合的单调性求解即可.【详解】设，则.因为，所以，即，所以在上单调递减.不等式等价于不等式，即.因为，所以，所以.因为在上单调递减，所以，解得故选：A4A【分析】根据函数是奇函数并且是R上的单调函数，将函数有3个零点，转化为有3个根，令，利用导函数分析单调性，作出大致图像，即可分析与的交点情况，进而求出实数的取值范围

9、.【详解】解：令，因为是奇函数并且是R上的单调函数，所以，若函数有3个零点，则，即有3个根，令，则，当或时，所以在上单调递增，当时，所以在上单调递减，作出的大致图像：由图可知，极小值为，极大值为，要使与有三个交点，则，故选：A.5A【分析】令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.【详解】令，则，即，若，则，有，当时，单调递减；当时，单调递增；，即的最小值为.故选：A.【点睛】关键点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.6D【分析】记.判断出的奇偶性和单调性，即可解不等式.【详解】记.因为是定义在R上的偶函数，所

10、以因为，所以为奇函数，所以.因为，所以.当时，所以在上单减.因为为奇函数，图像关于原点对称，所以在上单减.不等式即为.当时， 在上单减，且，所以的解集为；当时， 在上单减，且，所以的解集为.综上所述：的解集为.故选：D7D【分析】根据单调性可知在上恒成立，分离变量可得，根据二次函数性质可求得的最小值，由此可得的取值范围.【详解】的定义域为，又在定义域内单调递减，在上恒成立，即在上恒成立；，即实数的取值范围为.故选：D.8C【分析】先利用导数求出的单减区间为，再列不等式组，即可求出实数的取值范围.【详解】函数的定义域为,且.令解得：，所以函数的单减区间为.因为函数在区间上单调递减，所以，解得：所

11、以实数的取值范围是.故选：C9A【分析】根据给定的等式，构造函数并探讨其单调性，再逐项计算判断作答.【详解】，令，求导得：，当时，当时，因此函数在上单调递增，在上单调递减，对于A，则，即，A正确；对于B，则，即，B错误；对于C，则，即，C错误；对于D，则，即，D错误故选：A10D【分析】根据条件对任意的都有，构造函数，利用导数可得在时单调递增由注意到，则，代入已知表达式可得，所以关于对称，则由在时单调递增，化简即可得出结果【详解】解：设，则，对任意的都有；则，则在上单调递增；则，；因为，所以关于对称，在上单调递增；，所以，所以错误；，又由对称性知，即，所以B错误；，所以C错误；，所以D正确故选

12、：D11D【分析】由函数单调递增，可得在上恒成立，孤立参数，再设，确定的单调性求最值，即可得实数的取值范围.【详解】解：函数在上单调递减，则在上恒成立，所以，在上恒成立，设函数，则，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，则实数的取值范围是.故选：D.12D【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得的取值范围.【详解】的定义域是，令，所以在区间递减；在区间递增.要使有两个极值点，则，此时，构造函数，所以在上递增，所以，所以，所以实数a的取值范围.故选：D【点睛】利用导数研究函数的极值点，当一次求导无法求得函数的单调性时，可利用二次求导的方法来进行求解.在求解的过程中，要注意原函数和导函数

13、间的对应关系.13AC【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性及最值，根据题意分析运算.【详解】由题意可得：，当时，则，显然不合题意，舍去；当时，令，而，则，故在上单调递减，在上单调递增，且，即，故，解得，则；当时，令，而，则，故在上单调递减，在上单调递增，且，即，故，解得，则；综上所述：或.故选：AC.14BC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用利用导数研究函数的单调性，可判断B选项；指数函数的单调性可判断C选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项.【详解】因为，其中，则，.对于A选项，由可得，所以，函数的减区间为，A错；对于B选项，对，令，由可得，由可得，所以，函数

14、在上单调递减，在上单调递增，所以，B对；对于C选项，令，当时，则；当时，则.故，C对；对于D选项，其中，令，当时，此时，故函数在上单调递减；当时，此时函数单调递增，故函数在上至多一个零点，故函数至多一个极值点，D错.故选：BC.15BC【分析】根据图象可得出以及的解集，根据图象的上升下降可得以及的解集.由此可判断A、D项；由图象分析可知，1和3是函数的两个极值点，所以有以及，代入可判断B项，联立即可得到的关系，代入导函数整理可得到，即可判断C项.【详解】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增，所以的解集是，故A项错误；对于B项，因为.又由图象知，函数在处取得极小值，所以有，故B项正确；对于C项

15、，由图象知，当时，单调递增，则；当时，单调递减，则；当时，单调递减，则.所以的解集为，的解集为.又为二次函数，根据二次函数的图象可知.因为函数在以及处取得极值，所以有，即，所以，所以，因为，所以时，取得最大值，故C项正确；对于D项，由可得或.由图象知，当时，.又的解集为.所以由可得；由图象知，当时，.又的解集为.所以由可得.所以，的解集是，故D项错误.故选：BC.16AC【分析】由题，设.A选项，判断当时，在上有无解即可；B选项，判断当时，在上是否有两根即可；C选项，由充要条件定义验证即可判断选项正误；D选项，由A选项分析可判断选项正误.【详解】由题，设.A选项，当且时，方程的判别式，则的两根

16、为.当时，则的解为，则此时存在单调递增区间；当时，则的解为，则此时存在单调递增区间；当时，的解为，则此时存在单调递增区间.综上：当时，存在单调递增区间.故A正确；B选项，由A选项分析可知，当时，存在两个极值点；当时，存在唯一极值点；当时，存在唯一极值点1.故B错误.C选项，当，在上恒成立，得为上的减函数；若为上的减函数，则在上恒成立，得，则.综上，是为减函数的充要条件.故C正确.D选项，由A选项分析可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则此时有极大值.故D错误.故选：AC17BCD【分析】选项A分离参数，构造函数，求导，根据导数与单调性的关系，结合题意判断即可，选项B由选项A可

17、知，当时，由，整理可得，对任意恒成立，选项C利用对数运算，换元，构造新函数，对新函数求导，利用分析法证明即可，选项D，不等式变形得到，令，根据函数单调性，将问题转化为，利用函数导数求的最小值即可.【详解】选项A，由，令，设，则，令，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，所以当，当，所以的图形如图所示：由图可知，函数恰有两个零点时，即与有两个不同的交点，此时，故A不正确，选项B，由选项A，当时，即对任意恒成立，故B正确，选项C，由函数有两个零点，即为方程的两根，即，所以，令且，则，所以，欲证，即证，即证明，只需证明，只需证明，即，设，则，令，所以，所以在上为增函数，又，所以，综

18、上所述，原不等式成立，故，故C正确，选项D，当时，则不等式对恒成立，即，即，即，令，当时，单调递增，所以，所以对任意恒成立，即求在上的最小值，由，当时，当在时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，由，得，而，所以，所以的取值范围是：，故选：BCD.18AD【分析】根据参变分离构造函数，根据的性质，即可判断A；求导得，结合即可判断B；构造函数，利用导数求解的范围，即可判断C，根据与的大小关系结合的单调性即可判断D【详解】对于A，由等价于，令，令，得，令，得，所以在单调递增；在单调递减，当时，取极大值，当；当时，则，故A正确对于B，当时，单调递增；当时，单调递减，因为，则，所以在单调递增，故B错

19、误；对于C，由A可知，当时，当时，令，在上单调递增，则，又，又在上单调递增，综上，故C错误；对于D，在单调递增，在上单调递减，且，故D正确，故选：AD19BC【分析】对于A，直接对函数求导研究即可；对于B，构造函数，求导，利用单调性来判断即可；对于C，将问题转化为在上恒成立，构造函数，求其最大值即可；对于D，将问题转化为证明，构造函数，利用导数求其最值可得答案.【详解】对于A，令，得，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，为的极小值点，A错误；对于B，则，所以函数在上单调递减，又，所以函数有且只有1个零点，B正确；对于C，若在上恒成立，得在上恒成立，则令，则，令，当时，单调递减，即，

20、在上单调递减，故函数，则，C正确；对于D， 令， ，则在上单调递减，则，即， ，结合A选项可得，函数在上单调递增，则，即对任意两个正实数，且，若，则，D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题难点在选项D，将问题转化为证明，是关键，然后构造出函数来解决问题.20或【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解之即得答案.【详解】令，则，由当时， ，所以当时，即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以，所以，所以是偶函数，在递减，所以，即不等式等价为，所以，所以或.故答案为：或.21【详解】问题化为在上有根，令，由导数求得在上的值域即

21、得【解答】若关于x的方程在上有根，即在上有根，令，则，时，时，则在上单调递增，在上单调递减，所以，若使在上有根，则故答案为：22【分析】根据函数的满足的性质推得其周期，进而推得，再由集合偶函数的求导可得，可构造函数，并判断其单调性，从而将化为，即，利用函数单调性，即可求得答案.【详解】 且是定义在R上的偶函数， ，以代换x，得，是以3为周期的周期函数，故，即 由可得，即，又，即，令 ，则 ，为R上的增函数，不等式 即，即， ，即不等式的解集为，故答案为：23【分析】通过导数求原函数的单调区间，对于作差法比较大小；由单调性判断值域，来判断是否正确；对于化简,构造函数来解决是否存在的问题；作差，构

22、造函数求最值判断是否成立【详解】函数，定义域为， ，即，故 正确； ，单调递增，单调递减， 当时， ，都有，找不到，使得，故错误；，令， 则 ，故 ，单调递增， ，单调递减， ， ， ，即，使得，故正确；设，函数定义域为，单调递增，单调递减，有最大值，所以，即，得所以对，都有，正确； 故答案为：24【分析】当时显然成立，当时，构造，则原不等式等价于，利用导函数求单调性可得对恒成立，再构造求最大值即可.【详解】当，时，所以恒成立；当，时，恒成立；当，时，由可得对恒成立，构造，则，所以当时，单调递减，当时，单调递增，又，由单调性可知，整理得对恒成立，令，则，所以当时，单调递增，所以，综上，实数的取

23、值范围为.故答案为：.【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，本题的关键是利用同构的思路，将不等式变形为，再构造函数，问题就会迎刃而解.25【分析】法一：利用同构得到，即，构造，利用导函数求出其最小值，得到；法二：先代入求出，再构造函数，证明其必要性即可.【详解】法一：变形为，构造，定义域为，则在上恒成立，所以在单调递增，故，两边平方后变形得到，构造，则，当时，当时，故在处取得极小值，也是最小值，可知，故，的最大值为；法二：中令得：，解得：，当时，只要证，其中，显然成立，以

24、下是证明过程：构造，当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，故，故，只要证，即，由于，故只要，构造，则，当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，故，故，综上：可得的最大值为.故答案为：【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.26(1)(2)【分析】

25、（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；（2）利用导数可求得的单调性，结合区间端点值和极值可求得的最值，由此可得的值域.【详解】（1），解得：，则，在点处的切线方程为：，即.（2）由（1）知：，则，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，又，的值域为.27(1)(2)答案见解析【分析】（1）求定义域，求导，根据求出，验证后得到答案；（2）求定义域，求导并对导函数进行因式分解，分，与分类讨论，得到函数的单调区间.【详解】（1）定义域为，因为在x1处取得极值，所以，解得：，经验证，此时x1为极大值点，满足要求，故；（2），当时，恒成立，令得：，令得：，故的单调递增区间为，单调递减区

26、间为；当时，故令得：或，令得：，故的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，恒成立，故的单调递增区间为；当时，令得：或，令得：，故的单调递增区间为，单调递减区间为；综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；28(1)(2)曲线与直线的公共点只有一个，证明见解析(3)实数的取值范围是【分析】（1）根据导数的几何意义，求切点坐标与切线斜率即可得曲线在点处的切线方程；（2）构造函数，确定函数的单调性与取值情况，从而可得的根的个数，即可得曲线与直线的公共点个数；（3）直线定点作曲线的切线，设切点为

27、，通过导数的几何意义结合函数单调性与取值情况无法解出,则直线不与曲线相切，结合曲线的图象分析直线与其交点情况即可求得实数的取值范围【详解】（1）解：函数的定义域是，所以，则，切线方程是：，故切线方程为：；（2）解：曲线与直线的公共点只有一个，理由如下：设，则令，则恒成立，所以在上单调递减，又，所以，函数单调递增，函数单调递减；则，故，有且只有一个根，即有且只有一个根，故曲线与直线的公共点只有一个.（3）解：若对于任意，不等式恒成立，则又直线过定点，则过点作曲线的切线，设切点为，则斜率，则切线方程为，将代入得：，设，则，得，所以当，单调递增，当，单调递减，所以，所以关于的方程无解，则说明过点的切

28、线不存在，则直线不与曲线相切，又函数的定义域是，所以，得，所以当，单调递增，当，单调递减，所以，又时，且，则可得的大致图象如下：根据上述结论结合函数图象可知当时，直线与曲线无交点，当时，直线与曲线总有交点，从而要使对于任意，不等式恒成立，实数的取值范围是.29(1)证明见解析(2)【分析】（1）由于，故设，求出其导数，根据函数单调性求得最小值，即可证明结论；（2）对任意的恒成立，等价于：对任意的，恒成立，故设，求得其导数，再次求导，分类讨论，分和两种情况说明是否恒成立，从而确定k的范围【详解】（1）当时, ,设，等价于证明：；因为，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增，所以，即，则（2）对

29、任意的恒成立，等价于：对任意的，恒成立，令，记，当时，则，所以在单调递减，即恒成立当时，记，因为在上单调递减，且时，所以存在，使得，且时，时，则在单调递增，在单调递减又因为，必存在，使得在单调递减，在单调递增，且，所以在时恒小于零，不符合题意，综和可得：.【点睛】难点点睛：解决对任意的恒成立时，需要构造函数，利用导数判断单调性，解答的难点在于导数中含有参数k,要分类讨论确定k的范围，特别是说明不合题意时，需要连续求导，结合零点存在定理，判断导数正负，进而判断函数的单调性,说明不等式是否恒成立.30(1)上单调递减，在上单调递增.(2)【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，令，利用导数说明的取

30、值情况，即可得到的单调性；（2）令，问题转化为与的图象有两个交点，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的取值范围即可【详解】（1）解：当时，则，令，则，所以当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，又，且当时，则，所以当时，当时，即当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）解：因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，即关于的方程有两个不同的解，当时，方程不成立，所以，令，则与的图象有两个交点，又，令，解得或，令，得或，所以在，上单调递增，在，上单调递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为，且当时，所以的取值范围是31(1)(2)【分析】（1）当时，求出函数的导函数，利用导数的几何

31、意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（2）对进行求导，分四种情况，利用单调性分析零点的情况即可【详解】（1）当时，所以，又，所以所求切线方程为（2），所以，当时，由，得，由，得，所以g(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间内单调递增，所以若g(x)有两个不同的零点，则必有，即；当时，因为，当时，所以，所以，所以g(x)在区间内各有一个零点，故满足题意；当时，因为，所以g(x)在区间内单调递减，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；当时，因为当时，当时，所以g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以g(x)的极小值为，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意

32、；当时，因为当时，当时，所以g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以g(x)的极小值为，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意综上，a的取值范围是【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的32(1)(2)证明见解析【分析】（1）求导得，分、三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，根据恒成立可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围；（2）先证明出，由（1）可得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，证明出，可证得，进而可证得原不等式成立.【详解】（1）解：，且该函数的定义域为，.当时，恒成立，在上单调递增，因为，所以时不符合题意；当时，显然成立；当时，由解得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以，即，所以，解得.综上所述，.（2）证明：由题意可知，函数的定义域为，先证明，令，则，由（1）可知，所以，设，其中，则且不恒为零，所以，在上为增函数，故当时，所以，因为，故，故原不等式得证.