人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程.docx

1、合作探究探究点1 数字问题情景激疑一个两位数如何表示？三位数呢？你能得到什么规律呢？知识详解个位数为a，十位数为b，则这两位数表示为10b+a.注意：a，b必须都是正整数，a可为0.典例剖析例一：一个两位数、十位数字与个位数字之和是6.把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008.求这个两位数。解析：设个位数字为x，十位数字为y.则这个两位数表示为10y+x.答案：根据题意可知，106-x+x10x+(6-x )=1008.解得x1=2.x2=4.所以，当x=2时.6-x=4;当x=4时，6-x=2.故这个两位数是42或24.类题突破1一个两位数，十位上的数字

2、比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27.求原来的两位数.答案：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(x2-9).10(x2-9)+x-10x-(x2-9)=27.解得x1=4.x2=-3(不符合题意，舍去)x2-9=7.原两位数为74.点拨： 等量关系为:原来的两位数-新两位数=27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可.探究点2(高频考点)增长率问题情景激疑你知道关于增长率的公式吗?知识讲解增长率=增长数量原数量 =100%增长数量原数量说明增长率、成功率、成活率、发芽率等等都是此类问题，典例

3、剖析例2 某商场于第一年年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投人的资金相加所得的总资金作为下一年年初投入的资金继续进行经营.(1)如果第一年的年获利率为 P,那么第一年年终的总资金是多少万元? (用代数式来表示)(注:年获利率= 年利润年初投入资金100%)(2)如果第二年的年获利率多10个百分点(即第年的年获利率是第一年的年获利率10%的和),第二年年终的总资金为66万元.求第一年的年获利率.解析：要分析出内部的数量关系，合理利用公式.答案：(1)第一年年终总资金=50(1+P)万元，(2)50(1+ P)(1+P+10%)=66，整理得:P2+2.1P-0.

4、22=0,解得P=10%.或P=-2.2(不合题意，舍去).类题突破 2某种商品的进价为a元，商店将价格提高20%销售经过一段时间，又以九折的价格促销，这时这种商品的价格是A.a元 B.0.9a元C.1.12a元 D.1.08a元答案 D点拨 第一次定价为1.2a,再打九折，变为1.20.9a=1.08a.类题突破 3 某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到193. 6万元，求这两个月的平均增长率。答案： 设这两个月的平均增长率为x.依题得200(1-20%)(1+x)2=193.

5、6，即(1+ xr)2=1.21.解得x=-11.1.即x1=0.1,x2=-2.1(不合题意，舍去).答:这两个月的平均增长率为10%.点拨 本题主要考查增长率的问题，运用增长率的公式a(1+x)2=b即可解题，关键是弄清公式中各个字母的意义，结合题意确定a,b,n的值，本题中a的值容易误认为是200，而实际上，a的值应为200(1-20%)，另外，解出方程后应结合题意合理地对两根进行取舍。探究点3(高频考点) 面积问题情景激疑某校为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校同学参与设计，现在有两位学生各设计了一种方案(如图)，根据两种设计

6、的方案列出方程，使图(1)和图(2)的草坪总面积均为540平方米，求图中道路的宽分别是多少.知识讲解根据题目画出几何图形据图形分析后列出方程解决典例剖析例3 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1.在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，疏菜种植区域的面积是288 m2?解析 本题有多种解法，设的对象不同则所得一元二次方程不同，根据矩形的面积公式即可列出方程求解.答案： 解法一:设矩形温室的宽为x m,则长为2x m.根据题意,得(x-2)(2x-4)= 288.解这个方程，得x1=-10(不合题意，舍去),x2=

7、14.所以x=14,2x=214= 28.答:当矩形温室的长为28 m,宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288m2解法二：设矩形温室的长为x m,则宽为12x m根据题意得(12x-2)（x-4)=288解这个方程，得x1=20(不合题意，舍去)，x2= 28.所以x-28，12x28=14.答:当矩形温室的长为28 m,宽为14 m时，蔬菜种植区城的面积是288 m2.类题突破 4 如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上格宽同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，求使店坪的面积为540m2时道路的宽(部分参考数据:322=1024，522=2704,482=2304)答案：

8、解法一:由题意转化为如图(1)，设道路宽为x m.根据题意列出方程为(20- x)(32- x)= 540.整理,得x2-52x+100=0.解得x1=50(舍去),x2=2.答：道路宽为2 m.解法二:由题意转化为图(2)，设道路宽为x m.根据题意,列方程得2032-(20+32)x+x2=540.整理,得x2-52x+ 100=0.解得x1=50(舍去),x2=2.答:道路宽为2 m.点拨本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形,进而列方程求解探究点4折叠问题情景激疑在折叠纸片时，想一想，应注意些什么?知识讲解在折叠问题中,要注意哪些量折叠前后变化了，哪些量没变化，哪些可

9、以用“平移”思想。典例剖析例4 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1m的正方形后， 剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱(如下图)，且此长方体运输箱底面的长比宽多2 m现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，同张大权购回这张矩形铁皮共花多少钱?解析： 求购买铁皮所花的钱-需求铁皮的总面积-需求出原矩形铁皮的长和宽-需求出长方 体运输箱底面的长和宽.设宽为x m，则长为(x+2) m,根据已知条件“无盖长方体运输箱的体积为15 m3”,由长方体的体积公式可列出方程求解。答案：设这种运输箱的下底宽x m.则下底长为（x+2)m,张大叔购回这张

10、矩形铁皮用20(x+ 2)(x+4)元，据题意，得x(x+2) 1= 15.整理,得x2+2x-15=0.解得x1=3,x2=5 (不合题意，舍去).所以20(x+2)(x+4)=2057=700（元).答：张大叔购买这张矩形铁皮共花700元钱类题突破5 如下图，已知张矩形纸片 ABCD,若把ABE沿折痕BE向上解折，使点A恰好落在CD边上，设此点是F且这时AE：ED=5:3.BE=5，DF=4,这个矩形的长和宽各为多少?答案: AE: ED=5：3设AE=5x,ED=3x.由折叠的性质,得EABEFB，AE= EF= 5x在RtDEF中,(5x)2-(3x)2=42，解得x1=1,x2=-1

11、(不合题意，舍去)DE=3，AE=5,AD=8.在RtABE中，AB=BE2-AE2 =125-25= 10.答:矩形的长、宽分别是10和8.点拨 由折叠可知EABEFB,设AE=EF=5x，ED=3x,利用勾股定理可求出x的值，从而求出矩形的长与宽.重点难点重难点1 形积问题形积问题中的常见类型:(1)利用勾股定理列一元二饮方程求三角形矩形的边长;(2)利用三角形、矩形菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程;(3)利用相似三角形的对应比例关系列比例式，通过两内项之积等于两外项之积,得到一元二次方程.例1用一面墙(墙的长度不限)，另三边用 58m长的篱笆围成一个面积为

12、200 m2的矩形场地,求矩形的长和宽.解析：设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为(58-2x)，利用矩形的面积公式列出方程并解答.答案 设垂直于墙的 边为x米,得:x(58-2x)= 200. 解得:x1=25，或x2=4. 另一边为8米或50米. 答:当矩形长为25米时，宽为8米;当矩形长为50米时，宽为4米.类题突破1 如图，在长为 10 cm,宽为8 cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长.答案 设小正方形的边长为xcm由题意，得80-4x2=80%108.解得x1=2,x2=-2.经检验x1=2符合题意

13、，x2=-2不符合题意、舍去所以x=2.答:截去的小正方形的边长为2 cm.点拨 等量关系为:矩形面积-四个全等的小正方形面积一矩形面积80%，列方程即可求解.重难点2 增长(降低)率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数量、后来数量、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系，如果列出的方程是元 二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次。 如增长率:若原数是a,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a(1+x); 第二次增长后为a(1+x)+a(l+x)x=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2,即原数(1+增长百分率)2=后来数. 同理得降低率问题的关系式:原

14、数(1-降低百分率)2= 后来数.例2 某工厂2019年年初投资100万元生产某种新产品，2019年年底将获得的利润与年初的投资之和作为2009年年初的投资,到2009年年底，两年共获利润56万元已知2009年的年利润率比2019年的年利润率多10个百分点,求2009年的年利润率，解析 如果设2019年的年利润率为x，则2009年的年利润率为(x + 10%)，那么2019年年底所获利润为100x万元，2009年年初的投资即为(100x100)万元，2009年年底所获利润为(100x+100)(x+10%)万元，而两年共获利润为56万元，所以可列出方程，答案：设2019年的年利润率为x,则20

15、09年的年利润率为（x+10%).根据题意,得100x+(100x+100)(x+10%)=56.整理,得50x2 +105x-23=0.解得x1=20%，x2=一230% (不合题意，舍去)，所以x+10% =30%.答:2009年的年利润率为30%.类题突破2 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元,求3月份到5月份营业额的平均月增长率。答案 设3月份到5月份的营业额的平均月增长率为x。根据题意，得400(1+10%)(1+x)2 =633.6.整理,得(l+x)2=1.44.解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意，舍去

16、).答:3月份到5月份的营业额的平均月增长率为20%.点拨 2月份的管业额为400万元，3月份的营业额，400（1+10%)万元，若设3月份到5月份营业额的平均月增长为x.则4月份的营业额为400(1+10%)(1+x)万元,5月份营业额为400(1+10%(1+x)2万元，又因“5月份的营业额到633.6万元”，于是，列一元二次方程，求解即可.重难点3 动点问题物体的运动将会沿着一条路线或形成条痕迹 ，运行的线与其他条件(如作重线段)会构成直角三角形，有时运动的物体在海面上或空中，这就要运用方向标，在使用方向标时，正确理解和描述运动物体任某点的准确位置(包含距离和方向)往往借助方向标构造直角

17、三角形，因此，我们可运用直角形的性质列方程求解，例3 如图，在ABC中，B= 900,AB =4cm,BC=10m ，P从点B出发沿BC以1 cm/s的速度向点C移动，问:经过多后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1？解析 假设当P点移到E点时可满足本题的条件，由题意得EA2-8EB=1.答案 设经过x秒后，点P到点A的距离的平方比点P到B的距离的8倍大1. 由题意,得BE=1x=xcm.AE2 =42+x2-8x=1.解得x1=3,x2=5.答:经过3秒或5秒后,点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1.类题突破3 如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6

18、 cm,某时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1 cm/s的速度向点B匀速运动;同时，动点N从点D沿DA方向以2 cm/s的速度向点A匀速运动经过多少时间, AMN的面积等于矩形ABCD面积的19?答案 设经过t秒,SAMN 等于S矩形ABCD的19。则AM=t,AN=6-2t.由题意，得12ANAM =19ADAB即12t(6-2t)= 1936,整理，得t2-3t+2=0.解方程,得t1=2.t2=1.答：经过1秒或2秒时，AMN的面积等于矩形ABCD面积的19点拨 易得AM.AN的长，利用AMN的面积等于矩形ABCD面积的，列出等式求解即可.重难点4 利润问题在利润问题中，经常用到的等展关

19、系有:单件利润=单件售价-单件进价，总利润=总收入-总成本或总利润=每件商品的利润销售量，利润率= 售价-进价进价 100%.例4 某商店准备进批來节性小家电，单价 40元经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售最净减少10个;定价每减少1元，销售量净增加10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2019元，则应进货多少个?定价为多少元?解析 利用销售利润=售价-进价，根据题中 条件可以列出利润与x的关系式，求出即可，答案 设每个商品的定价是x元，由题意，得(x-40)180- 10(x-52)= 2019.整理,得x2-110x+3000=0.解得x1=50,或x2=60.当x=50时,进货180-10(50-52)= 200个180个，不符合题意，舍去;当x=60时进货180-10(60-52)= 100个21X(1+20%)=25.2.x=31不合题意，舍去，x=25.答:当商店卖出100件，每件售价为25元时,才能赚400元纠错心得 对于实际的一元二次方程问题，求出一元二次方程的解之后一定要注意验根，检验所得的解是否符合题意.