北师大版八年级上册数学强化班讲义：第三章 位置与坐标.docx

1、2019-2019学年初二数学（北师大版）强化讲义模块一、基础知识归纳1、 平面直角坐标系在平面内，两条_且有公共原点的数轴组成 。通常，两条数轴分别置于水平位置和铅直位置，取向 和向 为正方向。其中水平的数轴称为 轴或 轴，铅直的数轴称为 轴或 轴。横轴和纵轴统称 ,公共的原点O称为直角坐标系的 .2、点的坐标如左下图,平面内的点P,过P作轴的垂线,垂足A在轴上所对应的数为 ,它叫做点P 的 坐标,写在前面；过P作轴的垂线,垂足B在轴上所对应的数为 ,它叫做点P的 坐标,写在后面,因此点P的坐标表示为P( , ),两数不能交换.类似地,C点在轴上对应的数为 ,它是点M的横坐标,D点在轴上的对

2、应数为 ,它是点M的纵坐标,因此点M的坐标标识为( , )；A点的坐标为( , ),B点的坐标为 ,C点的坐标为 ,D点的坐标为 . 3、认识象限 (1)在如右上图所示的直角坐标系中标出第一、第二、第三、第四象限.(2)如图,A、B两点在轴上,它们是某一象限的点吗? .C、D两点在轴上,它们是某一象限的点吗? .点O呢? ,由此你能得出结论: .4、如图是一个笑脸，（1）在“笑脸”上，位于第一象限的点的坐标有：（ , ）、（ , ）、（ , ）等，它们的横坐是 数，纵坐标是是 数。（2） 第二象限的点的坐标有：（ , ）、（ , ）、（ , ）等，它们的横坐是 数，纵坐标是是 数； 第三象限的

3、点的坐标有：（ , ）、（ , ）、（ , ）等，它们的横坐是 数，纵坐标是是 数； 第四象限的点的坐标有：（ , ）、（ , ）、（ , ）等，它们的横坐是 数，纵坐标是是 数。（3） 不描出点，分别判断A（1,2），B（-1，-3），C（2.，-1），D（-3,4）这些点所在的象限，说说你是怎么判断的。不同象限点的坐标的特征：第一、二、三、四象限点的符号分别是（+，+）、 、 、 .5、坐标轴上点或与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接.（1）D（-3,5），E（-7,3），C（1,3），D（-3,5） （2）F（-6,3），G（-6

4、,0），A（0,0），B（0，3）观察所描出的图形，根据图形回答下列问题：（1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？（2）线段EC与轴有什么位置关系?点E和点C的坐标有什么特点？线段EC上其它点的坐标呢？（3）点F和点G的横坐标有什么共同特点？线段FG与轴有怎样的位置关系？ 坐标轴上点的坐标的特征：(1)轴上的点：纵坐标为_,记为( ); (2)轴上的点：横坐标为_,记为( );(3)原点的横、纵坐标都为_,记为( ),原点既在x轴上，又在y轴上.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征:(1)与轴平行的直线上的点：_坐标相同; (2)与轴平行的直线上的点：_坐标相同.拓展 (1)当点P

5、(m,n)在第一、三象限的两条坐标轴夹角平分线上时，则点P的坐标有何特征？(2)当点P(m,n)在第二、四象限的两条坐标轴夹角平分线上时，则点P的坐标有何特征？在两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特点:在第一、三象限的两条坐标轴夹角平分线上的点，横、纵坐标 ;在第二、四象限的两条坐标轴夹角平分线上的点，横、纵坐标 。6、两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系(1) .在图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗之间有怎样的位置关系？ 对应点A( , )与A1( , )的横坐标 ，纵坐标 ；其他对应的点B( , )与B1( , )，C( , )与C1( , )，D( , )与D1( , )

6、也都横坐标 ，纵坐标 。 (2)在这个坐标系里作出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系？解：如图，它的各个“顶点”的坐标 ，纵坐标 。小结：.关于x轴对称的两点，它们的横坐标_，纵坐标_；关于y轴对称的两点，它们的横坐标_，纵坐标_.7、探索坐标变化引起的图形变化(1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点：（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0），你得到了一个怎样的图案？(2)将(1)所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎

7、样的位置关系呢？(3)将(1)中所得图案的各个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1，依次连接所得的点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案有怎样的位置关系呢？小结：横坐标相同、纵坐标互为相反数（乘-1）的两点关于_对称；横坐标互为相反数（乘-1）、纵坐标相同的两点关于_对称；模块二、典型例题【考点题型1】-考查平面直角坐标系中特殊点的坐标【例1】（1）已知点在轴的负半轴上，则点的坐标为 ；（2）已知点在第二象限的角平分线上，则点的坐标为 ；（3）已知两点，关于轴对称，则 ；【例2】已知点（，）在第二象限，化简；目标训练1：、在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在第 象限；、已知点，当，点

8、的位置在（ ）、第一或第三象限 、第二象限 、第三象限 、第二或第四象限、若点在第四象限，则点在 象限；、点（，）与点（，）关于轴对称，则 ；5、如果点（，）在轴上，则点的坐标为 ；【考点题型2】-坐标变换的规律【例3】在直角坐标系中，将某三角形纵向拉长了倍，又向右平移了个单位长度，则所得三角形的三个顶点坐标是将原三角形的三个顶点坐标（ ）、先纵坐标不变，横坐标均扩大倍，再横坐标均增加；、先横坐标不变，纵坐标均扩大倍，再纵坐标不变，横坐标均增加；、先横坐标不变，纵坐标均扩大倍，再纵坐标不变，横坐标均增加；、先横坐标不变，纵坐标均增加，再纵坐标不变，横坐标均增加；【考点题型3】-图形变换与坐标的

9、求法【例4】1、如图：平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别为（，），（，），（，），则顶点的坐标为（ ）、 、 、 、2、如图的围棋盘放置在某个平面直角坐标系中，白棋的坐标为，白棋的坐标为，那么白棋的坐标为 ；【例5】如图：在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成。已知：（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，求、的坐标；（2）若按（1）题找到的规律将进行次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测、的坐标；【例6】如图：点，将绕点按逆时针方向旋转到；（1）画

10、出； （2）点的坐标为 ；（3）求的长；目标训练2：1、同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜，如图是两人玩的一盘棋，若白的位置是（1,-5），黑的位置是（2,-4），现轮到黑棋走，你认为黑棋放在 位置就获得胜利了。2、上午时，一条船从处出发，以每小时海里的速度向正东方向航行，时分到达处，如图，从、两处分别测得小岛在北偏东和北偏东方向，那么处船与小岛的距离为（ ）、海里 、海里 、海里 、海里【创新题型思维拓展】【例7】1、如图：已知边长为的正方形在直角坐标系中，、两点在第一象限内，与轴的夹角为，那么点的坐标是 ；2、平面直角坐标系中，四边形是矩形，点（，）、（，），

11、点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为 ；方法感悟：求点的坐标，关键作出点到轴、轴的距离，转化为求线段的长。选择建立合适的坐标系可以简化运算。注意体会分类讨论思想，方程思想的运用。【例8】根据指令（）机器人在平面上能完成以下动作：先在原地逆时针旋转角度，再朝其面对的方向沿直线行走距离，现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对轴的负方向，为使其移动到点（，）的位置，应给机器人下的指令是 。【例9】（规律探索）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（，）。将绕着原点按逆时针方向旋转得到点，延长到点，使；再将绕着原点按逆时针方向旋转得到点，延长到点，使如此继续下去。求：（1）点的

12、坐标为（ ）；（2）点的坐标为（ ）；【例10】在直角坐标系中，已知点、的坐标分别为（，）、（，），在坐标平面内，是否存在点，使为等腰的一边，且底角为，如果存在，请直接写出符合条件的点的坐标，如果不存在，请说明理由；【例11】如图：在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是。（1）写出、两点的坐标；（2）若是线段上一点，且，沿折叠正方形，折叠后点落在平面内点处，请画出点并求出它的坐标；（3）若是直线上任意一点，问是否存在这样的点，使正方形沿折叠后，点恰好落在轴上的某一点处？若存在，请写出此时点和点的坐标；若不存在，请说明理由；模块三、综合检测一、选择题(每小题3分，共30分)1在平面直角坐

13、标系中，点P(3，1)的位置在( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限2. 在如图所示的直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（ ）A. M（1，2），N（2，1） B.M（2，1），N（2，1）C.M（1，2），N（1，2） D.M（2，1），N（1，2）3. 点M(1,2)关于x轴对称的点坐标为( ) A. (1,2) B. (1,2) C. (2,1) D. (1,2)4. 课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用(0，0)表示，小军的位置用(2，1)表示，那么你的位置可以表示成( ) A(5，4) B(4， 5) C(3，4) D(4，3)5

14、. 点P()在直角坐标系的轴上，则点P的坐标为( ) A(0，2) B(2，0) C(4，0) D(0，4)6. 若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为( ) A(3，0) B.(3，0)或(3，0) C.(0，3) D.(0，3)或(0，3)7若点M(a,b)在第二象限，则点N(b,ba)必在( ) A第一象限 B第二象限 第三象限 第四象限8. 已知平面内的一点P，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点P的坐标是( ) A.(1，1)B.(1，1) C.或 D.9. 坐标半面上，在第四象限内有一点P，且P点到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则P点坐标为( ) A

15、(-5，4) B. (-4，5) C. (4，-5) D. (5，-4) 10.已知等边ABC的边长为2，以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，则点A的坐标为()A.(，0)或(，0) B.(0，)或(0，) C.(0，) D.(0，)二、填空题（每小题4分，共20分)11. 点A（1，2）在第_象限12.点P（1，2）关于y轴对称的点P的坐标为 .13.以直角三角形的直角顶点C为坐标原点，以CA所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，则点B的坐标是 . RtABC的周长为_14. 若点A(x，0)与点B(2，0)的距离是5，则x的值是_15. 如图，正方形的边长为4，点的坐标为（1，1

16、），平行于轴，则点的坐标为 _. 三、解答题（共50分）16（10分)ABC在直角坐标系内的位置如图（1）分别写出A、B、C的坐标；（2）请在这个坐标系内画出A1B1C1，使A1B1C1与ABC关于轴对称，并写出B1的坐标17.（10分)ABC中，ABAC5，BC6，建立适当的直角坐标系，并写出点A、B、C的坐标；18.（10分) 在图上建立直角坐标系，用线段顺次连结点(2，0)，(0，3)，(3，3)，(4，0)，(2，0).(1)作出图形;(2)求出它的面积；(3)求出它的周长.19.（10分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点均在格点上，

17、A(1，5)，B(1，0)，C(4，3).(1)画出ABC关于y轴对称的A1B1C1；(其中A1、B1、C1是A、B、C的对应点，不写画法)(2)写出A1、B1、C1的坐标； (3)求出A1B1C1的面积.20.（10分)已知A 、B、C、D四点在平面直角坐标系中的位置如图所示.(1)连接AC,CD,DB,求四边形ABCD的面积;(2)连接BC，判断CBD的形状，并说明理由. B卷(50分)一、填空题(共20分，每小题4分)21.第三象限内的点P（，），满足|=5，2=9，则点P的坐标是22.已知点A（3，21）与点B（，）关于原点对称，那么点P（，）关于y轴的对称点P的坐标为 23.若点A（

18、4m，3m+2）到x轴的距离等于它到y轴的距离的一半，则m= .24、规定：在平面直角坐标系xOy中，“把某一图形先沿x轴翻折，再沿y轴翻折”为一次变化如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)，C(3，1)若正方形ABCD经过一次上述变化，则点A变化后的坐标为 ，如此这样，对正方形ABCD连续做2019次这样的变化，则点D变化后的坐标为 25、如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作P2CP3，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是 二、解答题(共30分)2

19、6(8分).如图，在平面直角坐标系中，(1)在图中作出关于轴的对称图形(2分)(2)写出点的坐标(3分)(3)求出的面积和BC边上的高(3分)27(10分).阅读材料：例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值解：，如图，建立平面直角坐标系，点P(x，0)是x轴上一点，则可以看成点P与点A(0，1)的距离，可以看成点P与点B(3，2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PAPB的最小值设点A关于x轴的对称点为A，则PAPA，因此，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而点A、B间的直线段距离最短，所以PAPB的最小值为线段AB的长度为此，构造直角三角形A

20、CB，因为AC3，CB3，所以AB，即原式的最小值为根据以上阅读材料，解答下列问题：(1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x，0)与点A(1，1)、点B 的距离之和(填写点B的坐标)(2)代数式 的最小值28(12分).等腰RtABC中，BAC90，ABAC,点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；(1)如图(1)，已知C点的横坐标为-1，直接写出点A的坐标；(2)如图(2)， 当等腰RtABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：ADBCDE；(3)如图(3)， 若点A在x轴上，且A(-4，0)，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角BOD和等腰直角ABC，连结CD交y轴于点P,问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度.