2013版高中全程复习方略配套课件：6.6直接证明与间接证明（数学理.ppt

1、第六节直接证明与间接证明三年9考高考指数:1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.1.本考点在历年高考中均有体现，主要以考查直接证明中的综合法为主；2.分析法的思想应用广泛，反证法仅作为客观题的判断方法，一般不会单独命题.3.题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题.1.直接证明综合法分析法定义思维过程证明步骤文字语言符号语言从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法.从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知

2、条件，称为分析法.由因导果执果索因P（已知）P1P2 PnQ（结论）因为，所以 或由，得要证，只需证，即证【即时应用】(1)思考下列思维特点从“已知”逐步推向“未知”，即逐步寻找已知成立的必要条件.从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”即逐步寻找结论成立的充分条件.满足综合法的是_，满足分析法的是_(请填写相应序号).(2)已知t=a+2b,s=a+b2+1,则实数s,t的大小关系是_.(3)在正项等比数列an和正项等差数列bn中，a1=b1,a3=b3,a1a3，则a5与b5的大小关系为_.【解析】(1)由分析法、综合法的定义可判断.满足综合法；满足分析法.(2)由s-t=a+b2+1-a-

3、2b=b2-2b+1=(b-1)20,故st.(3)由a1a3,得b1b3,所以b1b5,且b10,b50,又即答案：(1)(2)st (3)a5b52.间接证明反证法定义先假设原命题的_成立，从这个假设出发，经过推理，得出与_的结论，这个矛盾的结果说明原命题结论的否定_，从而间接肯定了原命题结论成立，像这样一种间接证法，称为反证法.证明步骤(1)分清命题的条件和结论；(2)反设：假定所要证明的结论_，而设结论的_成立；(3)归谬：由“_”出发，通过正确的推理，导出矛盾与_，_及明显的事实矛盾或自相矛盾；(4)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“_”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了

4、结论成立.适用否定已知事实相矛盾不成立不成立反面反设已知条件已知的公理、定义、定理、反设反设反证法范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的;(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.【即时应用】(1)判断下列说法是否正确.(请在括号内打“”或“”)综合法是由因导果法()综合法是顺推法()分析法是执果索因法()分析法是逆推法()反证法是间接证法()(2)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设_.【解析】(1)由分析法、综合法、反证法

5、的定义可知都正确.(2)因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60”，即“三角形三个内角都大于60”.答案：(1)(2)三角形三个内角都大于60综合法的应用【方法点睛】利用综合法证题的基本思路分析条件选择方向转化条件组织过程适当调整回顾反思分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系与区别，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化回顾解题过程，可对这部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取【例1】已知x+y+z

6、=1，求证：x2+y2+z2 .【解题指南】由基本不等式得到关于x、y、z的三个不等式，将三式相加整理变形,然后利用x+y+z=1得(x+y+z)2=1从而可证.【规范解答】x2+y22xy,x2+z22xz,y2+z22yz,2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz,3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,即3(x2+y2+z2)(x+y+z)2,x+y+z=1,(x+y+z)2=1,3(x2+y2+z2)1,即x2+y2+z2 .等号成立的条件是x=y=z=.【反思感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推

7、理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确.分析法的应用【方法点睛】分析法的特点与思路分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等.【例2】(2012南安模拟)已知m0,a,bR,求证：【解题指南】利用分析法，去分母后移项作差，最后变形可证.【规范解答】m0,1+m0,要证即证(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),只需证m(a2-2ab+b2)0,即(a-b)20,而(a-b)20显然成立，故原不等式成立.【反思感悟】1

8、.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键2.在实际解题时，对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证反证法的应用【方法点睛】1.反证法的解题原则反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法.2.反证法中常见词语的否定形式至多有0个，即一个也没有原词否 定 形 式至多有n个(即xn，nN*)至少有n+1个(即xnxn+1,nN*)至少有n个(即xn,nN

9、*)至多有n-1个(即x0,要分两种情况分析，可证.【规范解答】(1)当ac+bd0时，2分故不等式显然成立，当a=b=c=d=0时等号成立.4分(2)当ac+bd0时，要证原不等式成立，只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),6分即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.8分即证2abcda2d2+b2c2,即0(bc-ad)2.10分a,b,c,dR,上式恒成立，故不等式成立，此时等号成立的条件为bc=ad.由(1)(2)知原不等式成立.13分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易

10、造成失分：(1)不去分类，而是直接平方作差判断.(2)在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件说明不到位而失分.备考建议解决此类不等式证明问题，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注.(1)对常用三种不等式的证明方法：综合法、分析法、反证法的解题过程与推理形式理解不到位.(2)用反证法证题时反设错误.(3)已知条件较多，表达不清，逻辑混乱.另外要熟练掌握求差比较及简单的放缩证明等方法.1.(2012泉州模拟)用反证法证明“如果ab,则a3b3”，假设的内容是()(A)a3=b3 (B)a3b3(C)a3=b3且a3b3 (D)a3=b3或a3b3【解析】选D.反证法应否定结论即a3b3,即为a3=b3或a3b (B)ab(C)a=b (D)a,b大小不定【解析】选B.而即ab.4.(2012龙岩模拟)用反证法证明命题“若a,bN,ab能被3整除，那么a,b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()(A)a、b都能被3整除(B)a、b都不能被3整除(C)b不能被3整除(D)a不能被3整除【解析】选B.由反证法的定义可知，否定结论，即“a,b中至少有一个能被3整除”的否定是“a,b都不能被3整除”，故选B.