新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理科）试题 WORD版含解析.doc

1、数学试卷注意事项：1.本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页.答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号、准考证号等信息填写在答题卡上.2.作答非选择题时须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题须用2B铅笔将答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【

2、分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若给出演绎推理的“三段论”：大前提：若直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；小前提：已知直线平面，直线平面.（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的特点可知大前提错误.【详解】若直线平行于平面，则与平面无交点，但与平面内的直线可能异面，大前提错误.故选：.【点睛】本题以三段论为载体考查了线面平行的

3、相关命题，属于基础题.3.物体的运动方程为，则此物体在时的瞬时速度为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】利用导数的物理意义和定义可直接求得结果.【详解】当时，则，故物体在时的瞬时速度为.故选：.【点睛】本题考查导数的物理意义及利用定义求解导数值的问题，属于基础题.4.已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（）A. 1个圆B. 线段C. 2个点D. 2个圆【答案】A【解析】【详解】因为,所以, (负舍)因此复数对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.5.设函数在处存在导数为2，则（ ）.A. B. 6C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数定义，化为导数表

4、达式即可【详解】根据导数定义， 所以选A【点睛】本题考查了导数定义的简单应用，属于基础题6.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图中实心点的个数5，9，14，20，为梯形数.根据图形的构成，记此数列的第2017项为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据梯形数的规律，结合等差数列求和公式可得，代入即可得到结果.【详解】观察梯形数的前几项，得，由此可得.故选：.【点睛】本题考查数列的应用，关键是能够根据梯形数的规律得到数列的通项公式.7.用数学归纳法证明不等式的过程中

5、，由递推到时，不等式左边（ ）A. 增加了一项B. 增加了两项，C. 增加了A中的一项，但又减少了另一项D. 增加了B中的两项，但又减少了另一项【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别写出和时，左边对应的式子，进而可得出结果.【详解】当时，左边，当时，左边，所以，由递推到时，不等式左边增加了，；减少了；故选D【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，熟记数学归纳法，会求增量即可，属于基础题型.8.已知函数在处取得极大值，则c的值为（ ）A. 2B. 6C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】利用极值点处导函数为零可构造方程求得或，代回验证处是否为极大值可确定最终结果.【详解】由题意得：，由，解得：

6、或.当时，当时，单调递增；当时，单调递减；在处取得极大值，符合题意；当时，当时，单调递减；当时，单调递增；在处取得极小值，不合题意；综上所述：.故选：.【点睛】本题考查根据函数的极值点求解参数值的问题；关键是明确极值点处的导函数值为零；易错点是忽略验证环节，造成增根出现.9.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式和二次函数的值域可求得，由此可得结果.【详解】（当且仅当，即时取等号）；（当且仅当时取等号），故选：C【点睛】本题考查利用基本不等式和二次函数性质求解最值的问题，属于基础题.10.设，则大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【

7、分析】根据三个数的特征，构造函数，求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出的大小关系.【详解】解:考查函数，则，在上单调递增，即，故选A.【点睛】本题考查了通过构造函数，利用函数单调性判断三个数大小问题，根据三个数的特征构造函数是解题的关键.11.函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到，将看作过和的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.【详解】由图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，且斜率为正，可看作过和的割线的斜率，由图象可知，.故选：.【点睛】本题考查导

8、数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果.12.若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】由已知有，两边同时除以，化简有，而，构造函数，令 令 ，所以函数在上为增函数，在上为减函数，由对于恒成立，即在为增函数，则，故 的最大值为1，选C.点睛：本题主要考查了导数在研究函数的单调性上的应用，属于中档题本题关键是将已知不等式恒等变形为，再根据单调性得出结果第卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则_.【答案】1【解析】【分析】求导后代入即可构造方程求得结果.【详

9、解】，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查导数值的求解问题，关键是明确为实数，属于基础题.14.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手,甲说:“乙或丙获奖”.乙说:“甲、丙都未获奖”.丙说:“丁获奖”.丁说:“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话,则获奖的歌手是_.【答案】甲【解析】【分析】根据“四位歌手中只有一个人说的是真话”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题【详解】若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则乙、丙都

10、说真话，不符合题意若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说假话，丁真话，符合题意故答案为甲【点睛】本小题考查逻辑思维和推理能力，属基础题.15._.【答案】【解析】【分析】利用微积分基本定理可直接求得结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查利用微积分基本定理求解积分的问题，属于基础题.16.已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到在R上恒成立，再利用导数分析解答即得解.【详解】因为当时，有不等式成立，所以，令所以函数g(x)在（0，+）上单

11、调递增，由题得所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.因为对，不等式恒成立，所以，因为a0,所以当x0时，显然成立.当x0时，所以，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+）单调递增.所以，所以ae,所以正整数的最大值为2.故答案为2【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.三、答题：共70分.答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知.（1）求；（2）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【

12、分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再由复数求模公式计算得答案；（2）把代入方程中，求解即可得答案【详解】（1）由，得；（2）把代入方程中，得到：，即且，解得，.【点睛】本题考查复数的概念，考查复数的运算性质，考查计算能力，属于常考题.18.已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图像关于直线x=2对称.(1)求b的值;(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.【答案】（1）6（2）c6【解析】【分析】（1）先求导函数，根据导函数的图象关于直线对称，可知，从而可求b的值；（2）函数无极值，即导函数为0的方程至多有一解，从而可求c的取值范围.【详解】解:(1)f(x)=3x

13、2-2bx+2c,f(x)的图像关于直线x=2对称,=2,解得b=6.(2)由(1)可知,f(x)=x3-6x2+2cx,f(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当2c-120,即c6时,f(x)0,此时函数f(x)无极值.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的求导公式，应用导数研究函数的极值问题，注意没有极值的等价条件，从而求得结果.19.（1）已知，求证：（2）证明：若均为实数，且，求证：中至少有一个大于0【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）直接利用分析法，即可证明 ，推出即可；（2）利用反证法证明：中至

14、少有一个大于0，写出命题的否定形式，然后推出与假设矛盾的结果即可.试题解析：（1）证明：要证：，只需证：只需证：即证：，即证：只需证：，即证：，上式显然成立，原不等式成立（2）设都不大于0，即，而，这与矛盾，故假设是错误的故中至少有一个大于020.在极坐标系中，圆的方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求圆在直角坐标系下的标准方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为，与直线的交点为，求线段 的长.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由题得，再化成直角坐标方程；（2）设，由题得，即得.【详解】解：（1）圆的极坐标方程为，两边同时乘，得，又，所以有，

15、于是圆在直角坐标系下的标准方程为.（2）由题意得，设，由圆的极坐标方程得，由直线l的极坐标方程得，从而.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标互化，考查极坐标下线段长度的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.【详解】（1），又，在处的切线方程为.（2），令，解得：，.当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；当时，在上恒成立，的

16、单调递增区间为，无单调递减区间；当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；综上所述：当时，单调递增区间为，；单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.22.已知函数（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)可得m=lnx-x令g（x）=lnx-x，可得g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减，则mg（1）=-1即可，（2）f（x）+（x-2）ex0，可得m（x-2）ex+lnx-x设h（x）=（x-2）ex+lnx-x，x，利用导数求h（x）的最值即可得解.【详解】（1）令，；令， 令，解得，令，解得， 则函数在上单点递增，在上单点递减，要使函数有两个零点，则函数的图像与有两个不同的交点则，即实数的取值范围为 （2），；设，； 设，则在上单调递增. 又，.，使得，即，. 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减. .设，.当时，恒成立，则在上单调递增，即当时， 当时，关于的不等式在上恒成立.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题