《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教A版）选修1-1配套课件：3-2-1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 .ppt

1、3.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式主题 基本初等函数的导数1.函数y=f(x)=c,y=f(x)=x,y=f(x)=x2,y=f(x)=的导数分别是什么?提示:y=f(x)=c的导数是y=0,y=f(x)=x的导数是y=1,y=f(x)=x2的导数是y=2x,y=f(x)=的导数是y=-.2.结合1中探究你能总结出函数f(x)=x的导数吗?提示:由于0=0 x0-1,1=1x1-1,2x=2x2-1,-=-1x-1-1,由此可猜想:y=f(x)=x的导数是y=x-1.3.怎样理解常见函数f(x)=c,f(x)=x,f(x)=x2的导数的物理意义?提示:对于f

2、(x)=c,由于f(x)=0,其物理意义为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态;对于f(x)=x,由于f(x)=1,其物理意义为某物体的瞬时速度为1的匀速运动;对于f(x)=x2,由于f(x)=2x,其物理意义为物体的变速运动.结论:对于有些基本初等函数,由于不方便用定义法求导数,可直接使用下面的求导数公式:f(x)=cf(x)=_,f(x)=xf(x)=x-1(Q*),f(x)=sinxf(x)=_,f(x)=cosxf(x)=_.0cosx-sinxf(x)=axf(x)=_(a0),f(x)=exf(x)=_,f(x)=logax_(a0,且a1),f(x)=lnxf(x)=_.

3、axlnaex【微思考】1.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数y=kx(k0)增(减)的快慢与什么有关?提示:(1)函数y=2x,y=3x,y=4x的图象如图所示,导数分别为y=2,y=3,y=4.从图象上看,函数y=2x,y=3x,y=4x的导数分别表示这三条直线的斜率.(2)在这三个函数中y=4x增加得最快,y=2x增加得最慢.(3)函数y=kx(k0)增加的快慢与k有关系,即与函数的导数有关系,k越大,函数增加得越快,

4、k越小,函数增加得越慢.函数y=kx(k0)减少的快慢与|k|有关系,即与函数导数的绝对值有关系,|k|越大,函数减少得越快,|k|越小,函数减少得越慢.2.如何区分f(x)=sinx与f(x)=cosx的导数特征?提示:从导数公式(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx看出:一要注意函数名称的变化,二要注意符号的变化,特别注意(cosx)=-sinx,而不是(cosx)=sinx.3.函数f(x)=lnx与f(x)=logax的导数公式之间有哪些差异与联系?提示:函数f(x)=logax的导数公式为f(x)=(logax)=,当a=e时,上述公式就变为(lnx)=.即f(x)=lnx

5、的导数公式是f(x)=logax的导数公式的特例.【预习自测】1.函数f(x)=0的导数是()A.0 B.1C.不存在D.不确定【解析】选A.常数函数的导数为0.2.已知函数f(x)=,则f(-2)=()A.4 B.C.-4 D.-【解析】选D.因为f(x)=所以f(-2)=3.曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为()A.y=3x-1 B.y=-3x+5C.y=3x+5 D.y=2x【解析】选A.因为y=-3x2+6x,y|x=1=-312+61=3,即所求切线的斜率等于3,故所求直线的方程是y-2=3(x-1),即y=3x-1.4.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n等于_

6、.【解析】y=nxn-1,所以y|x=2=n2n-1=12,所以n=3.答案:35.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离scm与时间ts之间的函数关系为:s=t2,试求t=2(s)时,此木块的瞬时速度.(仿照教材P83例1的解析过程)【解析】由幂函数导数公式得s(t)=2t,故s(2)=4,因此当t=2(s)时,木块的瞬时速度为4cm/s.类型一 常用函数的导数【典例1】(1)下列结论中正确的个数为()y=ln2,则y=;y=,则y|x=3=-;y=2x,则y=2xln2;y=log2x,则y=A.0 B.1 C.2 D.3(2)函数y=在点处的导数值是()A.4 B.-4 C.-D.

7、【解题指南】(1)直接利用常用函数的导数即可.(2)可先求出函数y=的导数,再代入求值.【解析】(1)选D.若y=ln2,则y=0,故错;若y=,则y=-,所以y|x=3=-,对;若y=2x,则y=2xln2,对,也对.(2)选B.因为y=-,所以当x=时,y=-4.【延伸探究】1.若把本例(2)中的点“”改为“”,则结果如何?【解析】因为y=-,所以当x=2时,y=2.若把本例(2)中的条件改为“函数y=在点(m,n)处的导数值为-1”,则m+n的值是多少?【解析】因为y=-,又在点(m,n)处的导数值为-1,所以=-1,故m2=1,所以m=1.当m=1时,n=1,当m=-1时,n=-1,故

8、m+n=2或m+n=-2.【方法总结】定义法求导与公式法求导的对比(1)定义法求导:导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是用极限定义的,所以该方法求导最终归结为求极限,在运算上很麻烦,运算会很困难.(2)公式法求导:用导数定义推导出常见函数与基本初等函数的导数公式后,就可以用公式直接求导,该方法简捷迅速.【补偿训练】如果函数f(x)=x2,则的值等于_.【解析】因为f(x)=x2,所以f(x)=2x,=f(4)=8.答案:8类型二 利用基本初等函数的导数公式求导数【典例2】(1)已知函数f(x)=lnx,f(x)是f(x)的导数,f(x)的大致图象是()(2)f(x)=,则f(-1

9、)=()【解题指南】(1)先求出函数f(x)=lnx的导数,再观察其图象,注意定义域.(2)注意先对式子f(x)=转化,再利用幂函数导数公式求导.【解析】(1)选C.因为函数f(x)=lnx的定义域为(0,+),所以f(x)=的定义域也为(0,+),所以其图象为反比例函数在第一象限的部分.(2)选D.因为原函数可转化为:f(x)=所以f(x)=所以f(-1)=【方法总结】求简单函数导数的策略(1)看形式:首先观察函数的形式,看是否符合基本初等函数的形式,如对于形如的函数一般先转化为幂函数的形式,再用幂函数的求导公式求导.(2)化简:对于不具备基本初等函数特征的函数可进行适当变形,将其化成基本初

10、等函数或与之相接近的函数形式,如将根式、分式化为指数式,利用幂函数求导.(3)选公式:选择恰当的公式求解函数的导数.提醒:区分指数函数、对数函数的求导公式,以免在运用时混淆.【巩固训练】(2017郑州高二检测)已知f(x)=且f(1)=-,求n.【解析】f(x)=所以f(1)=-,由f(1)=-得-=-,得n=3.【补偿训练】已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()A.3 B.2 C.1 D.【解析】选A.因为y=,所以解得x=3(x=-2不合题意,舍去).类型三 利用导数公式求切线方程【典例3】已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y

11、=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是()A.y=2x-1 B.y=xC.y=3x-2 D.y=-2x+3【解题指南】先根据f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8求出函数f(x)的解析式,然后对函数f(x)进行求导,进而可得到y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程的斜率,最后根据点斜式可求切线方程.【解析】选A.因为f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,所以f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,所以f(2-x)=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8,将f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+

12、8x-8,所以f(x)=x2,f(x)=2x,所以y=f(x)在(1,f(1)处的切线斜率y=2,所以y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.【方法总结】求切线方程的步骤(1)利用导数公式求导数.(2)求斜率.(3)写出切线方程.求解时注意导数为0和导数不存在的情形.【巩固训练】1.(2017广州高二检测)曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率为()A.1 B.2 C.e D.0【解析】选A.因为y=ex,所以y=ex,所以曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=e0=1.2.求函数y=6x在x=1处的切线方程.【解析】因为y=(6x)=6xln6,所

13、以当x=1时,y=6ln6,又x=1时,y=6,所以切线方程为y-6=6ln6(x-1),即6xln6-y-6ln6+6=0.【补偿训练】曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为_.【解析】由y=-5ex+3,得y=-5ex,所以切线的斜率k=y|x=0=-5,所以切线方程为y+2=-5(x-0),即5x+y+2=0.答案:5x+y+2=0【课堂小结】1.知识总结2.方法总结(1)导数公式的功能:幂函数导数公式有降幂功能.正(余)弦函数导数公式有名称更换功能.(2)对于形如的函数一般先转化为幂函数的形式,再用幂函数的求导公式求导.(3)要区分指数函数、对数函数的求导公式,以免在运用时混淆.