广东省汕尾市2013届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）新人教A版.doc

1、2013年广东省汕尾市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2013汕尾二模）已知命题p、q均为真命题，则下列命题中的假命题是（）Ap或qBp且qCp且qDp或q考点：复合命题的真假专题：规律型分析：由复合命题真假的规律结合已知可得结论解答：解：命题p、q均为真命题，p或q，p且q均为真命题，故A、B都为真命题，由命题p、q均为真命题可得p为假，但可得p或q为真命题，p且q为假命题，故选C点评：本题考查复合命题的真假的判断，属基础题2（5分）（2013汕尾二模）设全集U=R，A=x|x2+3x0，

2、B=x|lgx0，则图中阴影部分表示的集合为（）Ax|x1Bx|0x3Cx|0x1D考点：其他不等式的解法；Venn图表达集合的关系及运算专题：图表型分析：由题意，阴影部分所表示的集合是（AB），化简集合A，B，即可得到结论解答：解：由题意，阴影部分所表示的集合是AB，A=x|x2+3x0，B=x|lgx0，A=x|x0或x3，B=x|0x1，AB=x|0x1，故选C点评：本题考查集合的运算，考查学生的计算能力，属于基础题3（5分）（2013汕尾二模）设向量，则“x=2”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：充要条件；平面向量共线（平行）的坐标表示专

3、题：计算题分析：向量，若x=2，则，所以若，则，x=2所以“x=2”是“”充分不必要条件解答：解：向量，若x=2，则，若，则，x=2“x=2”是“”的充分不必要条件故选A点评：本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，注意向量平行的条件的灵活运用4（5分）（2013汕尾二模）函数的定义域为（）A（1，+）B（1，2）（2，+）C0，1）D（0，+）考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：要求函数的定义域，须把使得原函数有意义的条件列出来，解不等式组，最后取交集即可解答：解：由题意知，即，1x2或x2，所以原函数的定义域为：（1，2）（2，+）

4、故选B点评：本题考查函数的定义域，偶次根式要求被开方数大于等于0，分式要求分母并不为0，对数要求真数大于0，零次幂要求 底数不为05（5分）（2013汕尾二模）如图所示程序框图，输出结果是（）A5B6C7D8考点：程序框图专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出i值解答：解：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型“循环结构第1次循环：S=0+1=1，i=2，a=12+1=3；第2次循环：S=1+3=4，i=3，a=33+4=13；第3次循环：S=4+13=17，i=4，a=134+17=69；第4次循环：S=17+69=8

5、6，i=5，a=695+86=431；第5次循环：S=86+431=517，i=6，a=4316+517500；跳出循环，输出i=6故选B点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题6（5分）（2013汕尾二模）已知，函数y=axbx（ab）是奇函数，则函数y=logbx是（）A增函数B减函数C常数函数D增函数或减函数考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；定积分专题：计算题；函数的性质及应用分析：利用函数的定积分求出a，利用函数的奇偶性求出b，然后通过对数函数判断函数的增减性即可解答

6、：解：因为=（lnx+x）=e，所以函数y=axbx=exbx，因为此函数是奇函数，所以f（x）=f（x），exbx=ex+bx，恒成立，所以b=，所以函数y=logbx=x，函数是减函数故选B点评：本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，定积分的计算，考查分析问题解决问题的能力7（5分）（2013汕尾二模）一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，则其侧视图（左）视图为（）ABCD考点：简单空间图形的三视图专题：作图题分析：由题意结合三视图画出几何体的直观图，然后判断几何体的侧视图即可解答：解：因为一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，所以几何体的

7、直观图为：所以侧视图为：故选C点评：本题考查空间想象能力，三视图与几何体的直观图的对应关系8（5分）（2013汕尾二模）对于复数a、b、c、d，若集合S=a，b，c，d具有性质：“对任意x，yS，都有xyS”，则当时，（cd）b的值是（）A1B1CiDi考点：进行简单的合情推理专题：计算题分析：本题利用直接求解法，先根据集合的性质结合题目中的条件：得出b，c的值，进而得出d的值，从而得出答案解答：解：由题意，可得a=1，b=1，c=i，d=i，或a=1，b=1，c=i，d=i，所以：（cd）b=（i 2）1=1，故选A点评：本题属创新题，考查复数与集合的基础知识，属于中档题二、填空题：本大题共

8、7小题，每小题5分，共30分必做题（913题）9（5分）（2013汕尾二模）设，则g（g（0）=0考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：首先求出当x=0时g（0）的值，然后再根据分段函数定义域范围求出g（g（0）的值解答：解：当x0时，g（x）=ex，当x=0时，g（0）=e0=1，g（g（0）=g（1），当x0时，g（x）=lnx，当x=1时，g（1）=ln1=0，g（g（0）=0，故答案为0点评：本题主要考查函数的值的知识点，解答本题的关键是分清函数的定义域区间，此题难度不大10（5分）（2013汕尾二模）已知圆C的方程为：（x2）2+y2=25，则过M（0，1）的圆C的对称轴所在的直

9、线方程为x+2y2=0考点：直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：由圆的标准方程求出圆心坐标，直接利用直线方程的两点式求过M（0，1）的圆C的对称轴所在的直线方程解答：解：由：（x2）2+y2=25，得圆心C（2，0），又圆C的对称轴过M（0，1），由直线方程的两点式得：，整理得：x+2y2=0所以过M（0，1）的圆C的对称轴所在的直线方程为x+2y2=0故答案为x+2y2=0点评：本题考查了直线与圆的关系，考查了圆的对称性，过圆心的直线都是圆的对称轴，此题是基础题11（5分）（2013汕尾二模）已知某随机变量的概率分布列如表，其中x0，y0，则随机变量的数学期望E=2xi123P（=xi）x

10、yx考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题：计算题分析：根据概率的性质，得出2x+y=1，再利用期望公式即可得到结论解答：解：由题意，x+y+x=1，即2x+y=1E=x+2y+3x=4x+2y=2（2x+y）=2故答案为：2点评：本题考查概率的性质，考查随机变量的数学期望，解题的关键是利用概率的性质12（5分）（2013汕尾二模）不等式2|x|+|x1|4的解集为考点：绝对值不等式的解法专题：计算题；不等式的解法及应用分析：直接去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解答：解：当x0时，不等式2|x|+|x1|4转化为：2x+1x4，解得1x0，当0x1时，不等式2|x|+

11、|x1|4转化为：2x+1x4，解得0x1，当x1时，不等式2|x|+|x1|4转化为：2x+x14，解得，综上不等式的解集为：故答案为：点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想以及计算能力13（5分）（2013汕尾二模）如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n）；f（3）=7；f（n）=2n1考点：归纳推理专题：探究型分析：根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个

12、阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可解答：解：设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数n=1时，h（1）=1；n=2时，小盘2柱，大盘3柱，小柱从2柱3柱，完成，即h（2）=3=221；n=3时，小盘3柱，中盘2柱，小柱从3柱2柱，用h（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成，h（3）=h（2）h（2）+1=32+1=7=231，h（4）=h（3）h（3）+1=72+1=15=241，以此类推，h（n）

13、=h（n1）h（n1）+1=2n1，故答案为：7；2n1点评：本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键14（5分）（2013汕尾二模）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为=2cos，则曲线C上的点到直线（t为参数）距离的最小值为考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程专题：直线与圆分析：利用直角坐标与极坐标间的关系：cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程，再利用圆心到直线的距离求解即可解答：解：由=2cos，得出2=2cos，化为直角坐标方程：x2

14、+y2=2x即曲线C的方程为（x1）2+y2=1，直线l的方程是：xy+=0圆的圆心（1，0），半径为1，可求圆心到直线的距离为：d=，则曲线C上的点到直线距离的最小值为 故答案为：点评：本题考查了极坐标、直角坐标方程、及参数方程的互化，圆中弦长计算圆中弦长公式的应用15（2013汕尾二模）已在点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F，则ADF=45考点：弦切角专题：计算题分析：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，则B=EAC又CD平分ACB，则ACD=BCD，两式相加，B+BCD=EAC+ACD，根据三角形外角定理，ADF=AFD，又

15、BAE=90，ADF是等腰直角三角形，所以ADF=AFD=45解答：解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，则B=EAC又CD平分ACB，则ACD=BCD所以B+BCD=EAC+ACD根据三角形外角定理，ADF=AFD，因为BE是圆O的直径，则BAE=90，ADF是等腰直角三角形，所以ADF=AFD=45故答案为：45点评：本题考查有关圆的角的计算根据图形寻找角的关系，合理进行联系与转化是此类题目的关键三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）（2013汕尾二模）已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（）求sin2tan的值；（）

16、若函数f（x）=cos（x）cossin（x）sin，求函数的最大值及对应的x的值考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的图像与性质分析：（I）利用三角函数的定义求出sin、cos和tan的值，利用两角和与差正弦公式化简sin2tan并求出其值（II）首先化简函数f（x），然后利用诱导公式以及两角和与差公式得出y=2sin（2x）1，进而求正弦函数的特点求出结果解答：解：（）因为角终边经过点，所以，（3分）（）f（x）=cos（x）cossin（x）sin=cosx，xR（7分）ymax=21=1，（12分）此时，即（13分）点评：此题考查了

17、二倍角的正弦、三角函数定义、同角三角函数间的基本关系、诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键17（13分）（2013汕尾二模）甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛成绩记录如下：甲：78 76 74 90 82乙：90 70 75 85 80（）用茎叶图表示这两组数据；（）从甲乙两人成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差专题：概率与统计分析：（）直接由图表给出的数据画出茎叶图即可；（）利用列举法

18、写出从甲乙两人成绩中各随机抽取一个的所有情况，查出甲的成绩比乙高的情况个数，由古典概型的概率计算公式求解；（）求出两组数据的平均数及方差，则答案可求解答：解：（）茎叶图如图，（）解法一：从甲乙两人所得成绩中各随机抽取一个，所有情况如下：（78，90）（78，70）（78，75）（78，85）（78，80）（76，90）（76，70）（76，75）（76，85）（76，80）（74，90）（74，70）（74，75）（74，85）（74，80）（90，90）（90，70）（90，75）（90，85）（90，80）（82，90）（82，70）（82，75）（82，85）（82，80）共有25种，而

19、甲大于乙的情况有12种所以p= 解法二：从甲乙两人所得成绩中各随机抽取一个，所有情况种数：55=25种其中甲大于乙的情况有（78，70），（78，75），（76，70），（76，75），（74，70），（90，70），（90，75），（90，85），（90，80），（82，70），（82，75），（82，80）共12种所以p= （），=32，=50因为，所以选甲参加更合适点评：本题考查了茎叶图，考查了古典概型及其概率计算公式，考查了平均数与方差，是基础的运算题18（13分）（2013汕尾二模）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，PAB=120，PBC=90（

20、）求证：DA平面PAB；（） 求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角专题：空间角分析：（1）由PBC=90得BCPB，又BCAB，故BC平面PAB，因为ADBC，故AD平面PAB，故平面PAD平面PAB；（2）过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H，连接CH，可证得PCH为PC与底面ABCD所成的角，在直角三角形PAH，直角三角形BCH，直角三角形PCH中分别求得PH，CH，PC的长，即可求得直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为解答：解：（）平面PAD平面PABPBC=90BCPB四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形BCABPB平面PAB，AB平面

21、PAB，且PBAB=BBC平面PABADBCAD平面PABAD平面PAD平面PAD平面PAB（）如图，过点P作BA延长线的垂线PH，垂足为H，连接CH由（）可知AD平面PABAD平面ABCD平面PAB平面ABCDPH平面PAB，平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=ABPH平面ABCDCH为PC在平面ABCD内的射影PCH为PC与底面ABCD所成的角PAB=120PAH=60PA=1在直角三角形PAH中，PH=PAsin60=，AH=PAcos60=在直角三角形HBC中，BH=AH+AB=，BC=AD=1故CH=在直角三角形PHC中，PC=故直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为点评

22、：本题主要考查了两个平面垂直的判定定理、性质定理及直线与平面所成的角概念和求法，培养了空间想象能力及问题的等价转换的能力19（14分）（2013汕尾二模）已知为平面内的两个定点，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，记点P的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）判断原点O关于直线x+y1=0的对称点R是否在曲线包围的范围内？说明理由（注：点在曲线包围的范围内是指点在曲线上或点在曲线包围的封闭图形的内部）（）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线上的不同三点，且试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分

23、析：（I）利用椭圆的定义可知：点P的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆 据此即可求出（II）解法一：设原点O关于直线x+y1=0的对称点为R（m，n），利用点关于直线的对称点的性质得，解出即可得到点R的坐标，判定是否满足在椭圆内部的条件即可；解法二：设原点O关于直线x+y1=0的对称点为R（m，n），利用点关于直线的对称点的性质得：，解得即R（1，1）得出直线OR的方程：y=x与椭圆的方程联立求出其交点G，H，判断点R是否在线段GH上即可；（）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）利用得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0可设直线AB的方程为y=kx+n（k0），代

24、入并整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n24=0，满足0，即可得到根与系数的关系，进而得到点C的坐标，利用斜率计算公式即可判断直线AB与OC的斜率之积是否定值；解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）利用得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0因为点A（x1，y1），B（x2，y2），在椭圆上，所以有：，再利用“点差法”即可判断出结论解答：解：（）由条件可知，点P到两定点的距离之和为定值4，所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆 又，所以故所求方程为（）解法一：设原点O关于直线x+y1=0的对称点为R（m，n），由点关于直线的对称点的性质得：，解得即R（1，1）此时，R

25、在曲线包围的范围内解法二：设原点O关于直线x+y1=0的对称点为R（m，n），由点关于直线的对称点的性质得：，解得即R（1，1）直线OR的方程：y=x设直线OR交椭圆于G和H，由得：或即，显然点R在线段GH上R在曲线包围的范围内（）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）由得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0可设直线AB的方程为y=kx+n（k0），代入并整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n24=0，依题意，0，则，y1+y2=k（y1+y2）+2n=，从而可得点C的坐标为，因为所以直线AB与OC的斜率之积为定值解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），

26、C（x3，y3）由得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0因为点A（x1，y1），B（x2，y2），在椭圆上，所以有：，两式相减，整理得（x1+x2）（x1x2）+2（y1+y2）（y1y2）=0，从而有又x1+x2=x3，y1+y2=y3，因为所以直线AB与OC的斜率之积为定值点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、向量的运算、斜率的计算公式、点差法、轴对称等基础知识与基本方法，考查了多种方法解决同一个问题、推理能力和计算能力20（14分）（2013汕尾二模）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数

27、（） 当a=1时，求f（x）的最大值；（） 讨论f（x）在区间（0，e）上的单调情况；（）试推断方程|2x（xlnx）|=2lnx+x是否有实数解若有实数解，请求出它的解集考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性专题：综合题；转化思想；导数的综合应用分析：（）由题意，对函数f（x）=x+lnx求导数，研究出函数在定义域上的单调性，判断出最大值，即可求出；（II）由于函数f（x）=ax+lnx系数中带有参数a，可先求导，对参数a的取值范围进行讨论，确定出区间（0，e）上的单调情况；（III）由于函数的定义域是正实数集，故方程|2x（xlnx）|=2l

28、nx+x可变为|xlnx|=，再分别研究方程两边对应函数的性质，即可作出判断解答：解：（） 当a=1时，f（x）=x+lnx，f（x）=1+（1分）当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数（3分）f（x）max=f（1）=1（4分）（）f（x）=a+，x（0，e），（5分）若a，则f（x）0，从而f（x）在（0，e）上增函数（6分）若a，则由f（x）00，即0x由f（x）00，即xe（7分）f（x）在上增函数，在为减函数（8分）综合上面得：当a时，f（x）在（0，e）上增函数；当a时，f（x）在上增函数，在为减函数（）|2x（xlnx）

29、|=2lnx+x|xlnx|=（9分）由（）知当a=1时f（x）max=f（1）=1，即x+lnx1|xlnx|1（10分）又令g（x）=，g（x）=，令g（x）0，得0xe；令g（x）0，得xeg（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+）g（x）max=g（e）=1，g（x）1（12分）|xlnx|g（x），即|xlnx|（13分）方程|xlnx|=即方程|2x（xlnx）|=2lnx+x没有实数解（14分）点评：本题考查导数综合运用，解题的关键是理解导数与函数性质的相关对应，本题考查了灵活转化的能力，计算能力，分类讨论的思想，综合性强，难度较高，是高考中考查能力的常用试题，题后应用心体

30、会本题中所使用的转化技巧及分类的标准21（13分）（2013汕尾二模）设等比数列an的前n项和为Sn，已知（1）求数列an的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列（如：在a1与a2之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d1；在a2与a3之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d2，以此类推），设第n个等差数列的和是An是否存在一个关于n的多项式g（n），使得An=g（n）dn对任意nN*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；（3）对于（2）中的数列d1，d2，d3，dn，这个数列中是否存在不同的三项dm，dk，dp（其中正整

31、数m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定；等比关系的确定专题：综合题分析：（1）n2时，由an+1=2Sn+2，再写一式，两式相减，即可求得数列an的通项公式；（2）先求得dn，从而可得第n个等差数列的和An，由此可得结论；（3）利用反证法假设在数列dn中存在dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，由此可得m=k=p这与题设矛盾解答：解：（1）n2时，由an+1=2Sn+2，得an=2Sn1+两式相减可得：an+1an=2an，an+1=3an，即数列an的公比为3n=1时，a2=2S1+2，3

32、a1=2a1+2，解得a1=2，an=23n1；（2）由（1）知an=23n1，an+1=23n，因为an+1=an+（n+1）dn，所以dn=第n个等差数列的和是An=（n+2）an+=4（n+2）3n1=（n+2）（n+1）dn，存在一个关于n的多项式g（n）=（n+2）（n+1），使得An=g（n）dn对任意nN*恒成立；（3）假设在数列dn中存在dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列则dk2=dmdp，即（）2=因为m，k，p成等差数列，所以m+p=2k上式可以化简为k2=mp由可得m=k=p这与题设矛盾所以在数列dn中不存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列点评：本题考查数列通项公式的求解，考查等差数列的求和，考查反证法思想，确定数列的通项，利用数列的求和公式是关键