2019版高考数学（文）大一轮优选（全国通用版）讲义：第45讲椭圆 WORD版含答案.docx

1、第45讲椭圆考纲要求考情分析命题趋势1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用，了解椭圆的实际背景3理解数形结合的思想.2017全国卷，202016全国卷，112016天津卷，201.求解与椭圆定义有关的问题；利用椭圆的定义求轨迹方程；求椭圆的标准方程；判断椭圆焦点的位置2求解与椭圆的范围、对称性有关的问题；求解椭圆的离心率；求解与椭圆的焦点三角形有关的问题.分值：512分1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做！_椭圆_#.这两个定点叫做椭圆的！_焦点_#，两焦点间的距离叫做椭圆的！_焦距_#.集合PM|2a，2c，其中

2、a0，c0，且a，c为常数(1)若！_ac_#，则集合P为椭圆；(2)若！_ac_#，则集合P为线段；(3)若！_ac_#，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围！_a_#x！_a_#，！_b_#y！_b_#！_b_#x！_b_#，！_a_#y！_a_#对称性对称轴：！_坐标轴_#，对称中心：！_(0,0)_#顶点A1！_(a,0)_#，A2！_(a,0)_#，B1！_(0，b)_#，B2！_(0，b)_#A1！_(0，a)_#，A2！_(0，a)_#，B1！_(b,0)_#，B2！_(b,0)_#轴长轴A1A2的长为！_2a_#，短轴B1B2的长

3、为！_2b_#焦距！_2c_#离心率e！#，e！_(0,1)_#a，b，c的关系c2！_a2b2_#1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()解析(1)错误由椭圆的定义知，当该常数大于时，其轨迹才是椭圆，而常数等于时，其轨迹为线段F1F2，常数小于时，不存在图形(2)正确由椭圆的定义，得2a，又2c，所以2a2c.(3)错误因为e，所以

4、e越大，则越小，椭圆就越扁(4)正确由椭圆的对称性知，其关于原点中心对称也关于两坐标轴对称2设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则(C)A4B8C6D18解析由定义知2a6.3若方程1表示椭圆，则m的范围是(C)A(3,5)B(5,3)C(3,1)(1,5)D(5,1)(1,3)解析由方程表示椭圆知解得3m5且m1.4(2018广东惠州二调)设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(D)ABCD解析如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，|PF2|，|PF1|2a|PF2|，.故选D5已知F1

5、，F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足2，PF1F230，则椭圆的离心率为！_#.解析在PF1F2中，由正弦定理得sinPF2F11，即PF2F1.设1，则2，所以离心率e.一椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求，通过整体代入可求其面积等【例1】 (1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(A)A

6、椭圆B双曲线C抛物线D圆(2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b！_3_#.解析(1)由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，故，所以r，由椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆(2)设r1，r2，则2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2.又SPF1F2r1r2b29，b3.二椭圆的标准方程求椭圆的标准方程的方法求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21

7、(m0，n0，mn)的形式【例2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点，(，)解析(1)椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)由于焦点的位置不确定，设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)由已知条件得解得a4，c2，b212.故椭圆方程为1或1.(3)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)，由解得m，n.椭圆方程为1.三

8、椭圆的几何性质求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c，从而求解e，通过已知条件列方程组，解出a，c的值(2)构造a，c的齐次式，解出e，由已知条件得出a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率【例3】 (1)椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是C上两点，3，BAF290，则椭圆C的离心率为(D)ABCD(2)已知F1(c,0)，F2 (c,0)为椭圆1的两个焦点，P在椭圆1上，且满足c2，则此椭圆离心率的取值范围是(C)ABCD解析(1)由条件3，设|x，则|3x.在ABF2中，有(4x)2(2a3x)2(2ax)

9、2，整理得x(3xa)0，即3xa，x，在RtAF1F2中，有2c，(3x)2(2a3x)24c2.将x代入，得a2(2aa)24c2，解得，即e.(2)由椭圆的定义得2a，平方得2224a2.又c2，cosF1PF2c2.由余弦定理得222cosF1PF224c2.由，得cosF1PF2.又0cosF1PF21，e.2a2，2a23c2a2，a23c2，e，则此椭圆离心率的取值范围是.故选C四直线与椭圆的综合问题直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)求直线方程可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程(2)求面积先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积

10、的值(3)判断图形的形状可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边之间的关系(4)弦长问题利用根与系数的关系、弦长公式求解(5)中点弦或弦的中点一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交【例4】 (2017全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 .(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由 ，得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.

11、(2)由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)，由1，得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【例5】 已知椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e，直线l交椭圆于M，N两点(1)若直线l的方程为yx4，求弦|MN|的长；(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式解析(1)由已知得b4，且，即，解得a220，椭圆方程为1.将4x25y280与yx4联立，消去y得9x240x0，

12、x10，x2，所求弦长|MN|x2x1|.(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知B2F，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即Q的坐标为(3，2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x26，y1y24，且1，1，以上两式相减得0，kMN，故直线MN的方程为y2(x3)，即6x5y280.1(2017浙江卷)椭圆1的离心率是(B)ABCD解析根据题意知a3，b2，则c，椭圆的离心率e.故选B2(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay

13、2ab0相切，则C的离心率为(A)ABCD解析以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0)，半径为a，由题意，圆心到直线bxay2ab0的距离为a，即a23b2.又e21，所以e.故选A3(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是(A)A(0,19，)B(0，9，)C(0,14，)D(0，4，)解析依题意得或所以或解得04k0，即4k5时，a3，c29(4k)5k，解得k.当94k，即kb0)的左焦点为F，若F关于直线xy0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为(D)ABCD1解析设F(c,0)关于直线xy0的对称点为A(

14、m，n)，则解得m，nc，代入椭圆方程可得1化简可得e48e240，解得e1(舍去)或e1.故选D二、填空题7设椭圆1(m0，n0)的右焦点为(2,0)，离心率为，则此椭圆的方程为！_1_#.解析椭圆的右焦点为(2,0)，m2n24，e，m2，代入m2n24，得n24，椭圆方程为1.8已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为！_7_#.解析由椭圆方程知a5，b4，c3.两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F1，F2，设两圆半径分别为r1，r2，则r11，r22.所以|PM|min|PF1|r1|PF1|1，|PN|min|PF2|r

15、2|PF2|2，故|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|32a37.9椭圆1(a为定值，且a)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B.若FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是！_#.解析设椭圆的右焦点为F，如图，由椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，当且仅当AB过右焦点F时等号成立此时4a12，则a3.故椭圆方程为1，所以c2，所以e.三、解答题10如图，椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为A，B，且|AB|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭

16、圆C于P，Q两点，OPOQ，求直线l的方程及椭圆C的方程解析(1)|AB|BF|，a，即4a24b25a2，即4a24(a2c2)5a2，e.(2)由(1)知a24b2，椭圆C：1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y22(x0)，即2xy20.由消去y，得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.3221617(b24)0，解得b.x1x2，x1x2.OPOQ，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0,5x1x24(x1x2)40.从而40，解得b1，满足b.椭圆C的方程为y21.11设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐

17、标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求椭圆E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程解析(1)由题设条件知，点M的坐标为.又kOM，所以，所以ab，c2b，故e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNSkAB1，从而有解得所以a3，故椭圆E的方程为1.12如图，已知椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(2,0)，F2(2,

18、0)在椭圆M中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标为(，1)，AB所在直线的斜率为.(1)求椭圆M的方程；(2)当ABC的面积最大时，求直线AB的方程解析(1)由椭圆的定义知2a，所以a26，所以b2a2c22.所以椭圆M的方程为1.(2)由题意设直线AB的方程为yxm.由消去y，得2x22mx3m260.因为直线AB与椭圆M交于不同的两点A，B，且点C不在直线AB上，所以解得2m2且m0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2m，x1x2，y1x1m，y2x2m.所以|AB|2.点C(，1)到直线yxm的距离d.于是ABC的面积S|AB|d|m|，当且仅当|m|，即m 时，等号成立所以当m 时，ABC的面积最大，此时直线AB的方程为yx，即xy0.