2020-2021学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式专题突破专练一课一练（含解析）新人教A版必修第一册.docx

1、第二章专题突破专练专题1不等式性质及应用问题1.(2019重庆一中模拟)设a1b-1,则下列不等式中恒成立的是()。A.ab2B.1a1bC.1a2b答案：A解析：对于A,-1b1,0b21,ab2,故A正确;对于B,若a=2,b=12,此时满足a1b-1,但1a1b-1,但1a1b,故C错误;对于D,若a=98,b=34,此时满足a1b-1,但a2b,ab=b,ab,a,ab。若mn2,pq2,则()。A.mn4且p+q4B.m+n4且pq4C.mn4且p+q4D.m+n4且pq4答案：A解析：结合定义及mn2可得m2,mn或n2,mn,即nm2或mn2,所以mn4;结合定义及pq2可得p2

2、,pq或q2,pq,即q0a,0ab,a0b,ab0,能推出1ab,ab0可得1aaB.acbC.cbaD.acb答案：A解析：c-b=4-4a+a2=(a-2)20,cb。又b+c=6-4a+3a2,2b=2+2a2,b=a2+1,b-a=a2-a+1=a-122+340,ba,cba。5.(2018安徽六安模拟)若1a1b0,给出下列不等式:1a+b0;a-1ab-1b。其中正确的不等式是()。A.B.C.D.答案：C解析：解法一:因为1a1b0,故可取a=-1,b=-2。显然|a|+b=1-2=-10,所以错误。可排除A,B,D。解法二:由1a1b0,可知ba0。中,因为a+b0,所以1

3、a+b0,故有1a+b1ab,即正确;中,因为ba-a0,故-b|a|,即|a|+b0,故错误;中,因为ba0,又1a1b-1b0,所以a-1ab-1b,故正确。6.(2019咸阳期末)设xa0,则下列不等式一定成立的是()。A.x2axaxa2C.x2a2a2ax答案：B解析：xaa2,x2ax,x2axa2,故选B。7.(2018江苏丹阳模拟)已知实数x,y满足-4x+y-1,-14x+y5,则9x+3y的取值范围是。答案：-6,9解析：设9x+3y=a(x+y)+b(4x+y)=(a+4b)x+(a+b)y,a+4b=9,a+b=3,解得a=1,b=2,9x+3y=(x+y)+2(4x+

4、y),-14x+y5,-22(4x+y)10,又-4x+y-1,-69x+3y9。8.某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预计产值如下:电子器件种类每件需要人员数每件产值/(万元/件)A类127.5B类136今制订计划欲使总产值最高,则A类电子器件应开发件,最高产值为万元。答案：20330解析：设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件。根据题意,得x2+50-x320,解得x20。由题意,得总产值y=7.5x+6(50-x)=300+1.5x330,当且仅当x=20时,y取最大值330。所以欲使总产值最高,A类电子器件应开发20件,最

5、高产值为330万元。9.已知三个不等式:ab0,bc-ad0,ca-db0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成正确命题的个数是。答案：3解析：若ab0,bc-ad0成立,不等式bc-ad0两边同除以ab可得ca-db0,即ab0,bc-ad0ca-db0;若ab0,ca-db0成立,不等式ca-db0两边同乘ab,可得bc-ad0,即ab0,ca-db0bc-ad0;若ca-db0,bc-ad0成立,则ca-db=bc-adab0,又bc-ad0,则ab0,即ca-db0,bc-ad0ab0。综上可知,以三个不等式中任意两个为条

6、件都可推出第三个不等式成立,故可组成的正确命题有3个。10.(2019湖北襄阳四中周练)已知:ab0,cd0。求证:e(a-c)2e(b-d)2。答案：证明:ab0,cd-d0,从而a-cb-d0,(a-c)2(b-d)20。则1(a-c)21(b-d)2,又ee(b-d)2。专题2基本不等式及其应用问题11.(2019上海青浦一中高一上学期期中)三国时期赵爽在勾股方圆图注中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图2-1所示,我们教材中利用该图证明()。图2-1A.如果ab,bc,那么acB.如果ab0,那么a2b2C.对任意正实数a和b,有a2+b22ab,当且仅当a=b时等号成立D.如果ab

7、,c0,那么acbc答案：C解析：可将直角三角形的两直角边长取作a,b,斜边为c(c2=a2+b2)。则外围的正方形的面积为c2,也就是a2+b2,四个阴影面积之和刚好为2ab。对任意正实数a和b,有a2+b22ab,当且仅当a=b时等号成立。12.若-4x1,则x2-2x+22x-2()。A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-1答案：D解析：x2-2x+22x-2=12(x-1)+1x-1。又-4x1,x-10。-12-(x-1)+1-(x-1)-1,当且仅当x-1=1x-1,即x=0时等号成立。13.若实数a,b满足1a+2b=ab,则ab的最小值为()。A.2B.2C

8、.22D.4答案：C解析：由题意,得a0,b0。ab=1a+2b22ab=22ab,当且仅当1a=2b时等号成立,ab22。14.设ba0,且P=21a2+1b2,Q=21a+1b,M=ab,N=a+b2,R=a2+b22,则它们的大小关系是()。A.PQMNRB.QPMNRC.PMNQRD.PQMRa0,QMN1Q,P0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为()。A.8B.6C.4D.2答案：B解析：利用基本不等式,x+3y=9-xy=9-13x3y9-13x+3y22,令t=x+3y,故-112t2-t+90,又t0,解得t6,x+3y的最小值为6。故选B。16.若不等式a2+b

9、2+2(a+b)对任意正数a,b恒成立,则实数的取值范围是()。A.-,12B.(-,1)C.(-,2)D.(-,3)答案：C解析：不等式a2+b2+2(a+b)对任意正数a,b恒成立,a2+b2+2a+b。a2+b2+2a+b(a+b)22+2a+b=a+b2+2a+b2a+b22a+b=2,当且仅当a=b=1时取等号,2。17.(2019四川成都高一下学期期中)若不等式m12x+21-x对任意x(0,1)恒成立,则实数m的最大值为()。A.9B.92C.5D.52答案：B解析：设f(x)=12x+21-x=12x+21-x(0x0且1-x0,12(1-x)x+2x1-x212(1-x)x2

10、x1-x=2,当且仅当12(1-x)x=2x1-x=1,即x=13时,12(1-x)x+2x1-x取得最小值,为2。f(x)=12x+21-x的最小值为f13=92。而不等式m12x+21-x对任意x(0,1)恒成立,即m12x+21-xmin。因此,实数m的最大值为92。故选B。18.(2019陕西西安中学高一期末)给出下列结论:若a,b为正实数,ab,则a3+b3a2b+ab2;若a,b,m为正实数,ab,则a+mb+mbc2,则ab。其中结论正确的有。(填序号)答案：解析：对于,若a,b为正实数,ab,a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)0,a3+b3a2b+ab2,故

11、正确;对于,若a,b,m为正实数,a0,则a+mb+mab,故错误;对于,若ac2bc2,则ab,故正确。故答案是。19.若关于x的不等式ax+b0的解集为(1,+),则a-1b+1的最小值为。答案：3解析：由题意可得a+b=0,a0,所以a-1b+1=a+1a+13,当且仅当a=1,b=-1时取等号。20.(2019河南郑州外国语学校高二上学期开学测试)已知x12,则函数y=2x+12x-1的最大值是。答案：-1解析：x12,2x-10。y=2x+12x-1=2x-1+12x-1+1=-1-2x+11-2x+1,-(y-1)=1-2x+11-2x。1-2x0,1-2x+11-2x211-2x

12、(1-2x)=2(当且仅当x=0时,等号成立),-(y-1)2,y-1。21.(2019湖北部分重点中学高一下学期期中)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽、柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划。2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每生产汽车x(百辆),需另投入成本C(x)(万元),且C(x)=10x2+100x,0x40,501x+10000x-4500,x40。由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完。(1)求出2018年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关

13、系式;(利润=销售额-成本)答案：当0x40时,y=5100x-10x2-100x-2500=-10x2+400x-2500;当x40时,y=5100x-501x-10000x+4500-2500=2000-x+10000x。L(x)=-10x2+400x-2500,0x40,2000-x+10000x,x40。(2)2018年产量为多少百辆时,企业所获利润最大,并求出最大利润。答案：当0x1500。当x=100,即2018年生产100百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为1800万元。22.(2019黄冈中学单元测评)若a0,b0,且a2+b22=1,求a1+b2的最大值。答案：解:a0,

14、b0,a2+b22=1,a1+b2=a2(1+b2)=2a21+b22=2a21+b222a2+12+b2222=21+1222=324,当且仅当正数a,b满足a2=1+b22且a2+b22=1,即a=32,b=22时等号成立。a1+b2的最大值为324。专题3二次函数与一元二次方程、不等式的有关问题23.若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+30对一切xR恒成立,从而原不等式等价于2x2+2mx+m0对一切实数x恒成立,所以=(6-2m)2-8(3-m)=4(m-1)(m-3)0,解得1m0的解集是(1,+),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)0的解集是()。A.(-,1)(2,+)B

15、.(-1,2)C.(1,2)D.(-,-1)(2,+)答案：D解析：关于x的不等式ax-b0的解集为(1,+),a0,ba=1,则关于x的不等式(ax+b)(x-2)0可化为(x+1)(x-2)0,解得x2或x0,b0,则不等式-b1xa等价于()。A.-1bx0或0x1aB.-1ax1bC.x1bD.x1a答案：D解析：-b1x0,1xa或x-bx0,x1a或x0,bx1a或x-1b。26.(2019北京昌平一中高一期中)某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x,生产x件所需成本为C(元),其中C=(500+30x)元。若要求每天获利不少于1300

16、元,则日销售量x的取值范围是()。A.20,30B.20,45C.15,30D.15,45答案：B解析：设该厂每天获得的利润为y元,则y=(160-2x)x-(500+3x)=-2x2+130x-500,0xc-1的解集为(m-4,m+1),则实数c的值为。答案：-214解析：函数f(x)=-x2+ax+b(a,bR)的值域为(-,0,=0,a2+4b=0,b=-a24。关于x的不等式f(x)c-1的解集为(m-4,m+1),方程f(x)=c-1的两根分别为m-4,m+1,即方程-x2+ax-a24=c-1的两根分别为m-4,m+1。方程-x2+ax-a24=c-1的根为x=a21-c,两根之

17、差为21-c=(m+1)-(m-4),解得c=-214。28.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是。答案：1,19)解析：当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1。若m=-5,则函数化为y=2x+3。对任意实数x不可能恒大于0。若m=1,则y=30恒成立。当m2+4m-50时,根据题意应有m2+4m-50,16(1-m)2-12(m2+4m-5)0,m1,1m19,1m19。综上可知,1m19。29.(2019江苏南通如东高中高一上学期期中)若x2-2ax+a+20对任意x0,2恒成立,则实数a的取值范围为。答案：-2,2解析

18、：若对任意x0,2,x2-2ax+a+20恒成立,则函数f(x)=x2-2ax+a+2在0,2上的最小值恒大于等于0。二次函数f(x)=x2-2ax+a+2的对称轴为直线x=a。当a2时,函数f(x)在0,2上单调递减,f(x)min=f(2)=6-3a0,则a=2;当a0时,函数f(x)在0,2上单调递增,f(x)min=f(0)=2+a0,则-2a0;当0a2时,函数f(x)在0,a上单调递减,在a,2上单调递增,f(x)min=f(a)=-a2+a+20,则0a0的解集为x|xb。(1)求a,b的值;答案：不等式ax2-3x+20的解集为x|xb,a0,且方程ax2-3x+2=0的两个根

19、是1和b。由根与系数的关系,得1+b=3a,1b=2a,解得a=1,b=2。(2)解关于x的不等式:ax2-(ac+b)x+bx0。答案：a=1,b=2,ax2-(ac+b)x+bx0,即x2-(c+2)x+2x0,即x(x-c)0时,解得0xc;当c=0时,不等式无解;当c0时,解得cx0时,不等式的解集是(0,c);当c=0时,不等式的解集是;当c0时,不等式的解集是(c,0)。31.(2019南京一中单元检测)已知函数y=ax2+2ax+1的定义域为R,解关于x的不等式x2-x-a2+a0,=4a2-4a0,解得0a1。综上,0a1。由x2-x-a2+a0得(x-a)x-(1-a)a,即

20、0a12时,ax1-a;当1-a=a,即a=12时,x-1220,不等式无解;当1-aa,即12a1时,1-axa。综上,当0a12时,原不等式的解集为x|ax1-a;当a=12时,原不等式的解集为;当12a1时,原不等式的解集为x|1-axa。专题4一元二次函数、方程和不等式中的易错问题易错点1方法选择不当而致错32.若0a1a2,0b1b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中的值最大的是()。A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.12答案：A解析：本题可用特值法:令a1=0.1,a2=0.9;b1=0.2,b2=0.8,则a1b1+a2b2=0.7

21、4;a1a2+b1b2=0.25;a1b2+a2b1=0.26。故选A。【易错警示】不能小题大做。本题若用作差法比较大小,则比较麻烦。(a1b1+a2b2)-(a1a2+b1b2)=a1(b1-a2)+b2(a2-b1)=(b1-a2)(a1-b2)。由条件知0a112a2,0b112b2,b1-a20,a1-b20,a1b1+a2b2a1a2+b1b2。(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=a1(b1-b2)+a2(b2-b1)=(a1-a2)(b1-b2)0。a1b1+a2b2a1b2+a2b1。设a1=12-,a2=12+,b1=12-,b2=12+,由题意知012,00,a1

22、b1+a2b212。因此,有关不等式大小的选择题,解题时要依据题目特点灵活选取方法,以简化解题过程。易错点2误用不等式的性质而致错33.已知1a-b2且2a+b4,求4a-2b的取值范围。答案：解:令a+b=,a-b=v,则24,1v2。由a+b=,a-b=v,整理得a=+v2,b=-v2。4a-2b=4+v2-2-v2=2+2v-+v=+3v。24,33v6,5+3v10,即54a-2b10。4a-2b的取值范围为5,10。【易错警示】同向不等式的两边可以相加减,但是这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大了所求代数式的取值范围。所以选用不等式性质求解代数式的取值

23、范围时务必小心谨慎。易错点3忽略等号成立的条件而致错34.已知正数x,y满足x+2y=2,则x+8yxy的最小值为。答案：9解析：因为x,y为正数,且x+2y=2,所以x+8yxy=1y+8xx2+y=x2y+8yx+52x2y8yx+5=9,当且仅当x=4y=43时,等号成立,所以x+8yxy的最小值为9。【易错警示】本题易出现以下错解:由x+2y=222xy,解得00,y0且x+y=1,则p=x+1x+y+1y的最小值为()。A.3B.4C.5D.6答案：C解析：p=x+x+yx+y+x+yy=3+yx+xy3+2=5,当且仅当x=y=12时等号成立。【易错警示】此题很容易出错,认为x+1

24、x2,y+1y2,p4,错选B,错误的原因是x,y不能同时取到1。36.已知a0,b0,a+b=1,则a+1a2+b+1b2的最小值为。答案：252解析：a+1a2+b+1b2=a2+b2+1a2+1b2+4=(a2+b2)1+1a2b2+4=(1-2ab)1+1a2b2+4,a0,b0,a+b=1,aba+b22=14,1-2ab1-12=12,且1a2b216,1+1a2b217。原式1217+4=252当且仅当a=b=12时,等号成立,a+1a2+b+1b2的最小值是252。【易错警示】本题常犯错误是两次利用基本不等式,条件不能同时成立。利用基本不等式求最值时,无论怎样变形,均需满足“一正、二定、三相等”的条件。解题时,应尽量避免多次应用基本不等式,如连续应用了基本不等式,应特别注意检查等号是否能同时成立。易错点5忽略二次项系数的讨论而致错37.若集合A=x|ax2-ax+10=,则实数a的取值范围是。答案：0,4解析：若a=0,则10,解得00的解集为R,求实数m的取值范围。答案：解:(m-2)x2+2(m-2)x+40为一元二次不等式,m2。不等式(m-2)x2+2(m-2)x+40的解集为R,m-20,2,4(m-2)2-16(m-2)0,解得2m6。实数m的取值范围为(2,6)。