2020-2021学年高中数学 第二讲 参数方程 2.4 渐开线与摆线习题（含解析）新人教A版选修4-4.docx

1、四渐开线与摆线课后篇巩固探究A组1.下列说法正确的是()圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.B.C.D.答案B2.下列各点中,在圆的摆线x=-sin,y=1-cos(为参数)上的是()A.(,0)B.(,1)C.(2,2)D.(2,0)解析依次将点代入验证即可.答案D3.当=2时,圆的渐开线x=6(cos+sin),y=6(sin-cos)(为参数)上对应的点是()A.(6,0)B.(6,6)C.(6,-12)D.

2、(-,12)解析当=2时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得x=6(cos2+2sin2)=6,y=6(sin2-2cos2)=-12,即所求的坐标为(6,-12).答案C4.当=32时,圆的摆线x=4-4sin,y=4-4cos(为参数)上对应的点的坐标是.答案(6+4,4)5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数=3,那么该点的坐标为.解析因为r=3,所以圆的摆线的参数方程为x=3-3sin,y=3-3cos(为参数).把=3代入得x=-332,y=3-32=32.故该点的坐标为-332,32.答案-332,326.已知一个圆的摆线方程是x=4-4sin,y=4-4cos(为参数),求该圆

3、的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.解根据摆线的参数方程可知圆的半径为4,所以面积是16,该圆对应的渐开线的参数方程是x=4cos+4sin,y=4sin-4cos(为参数).7.已知圆C的参数方程是x=1+6cos,y=-2+6sin(为参数),直线l的普通方程是x-y-62=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?(2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.解(1)圆C平移后的圆心为O(0,0),它到直线x-y-62=0的距离为d=622=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是x=6cos+6sin,

4、y=6sin-6cos(为参数).8.导学号73574057当=32,时,求出渐开线x=cos+sin,y=sin-cos(为参数)上的对应点A,B,并求出A,B两点间的距离.解将=32代入x=cos+sin,y=sin-cos,得x=cos32+32sin32=-32,y=sin32-32cos32=-1,所以A-32,-1.将=代入x=cos+sin,y=sin-cos,得x=cos+sin=-1,y=sin-cos=,所以B(-1,).故A,B两点间的距离为|AB|=32-12+(1+)2=1342-+2.9.已知圆的半径为r,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,圆上点M从起始

5、处(点O处)沿顺时针已偏转角.试求点M的轨迹的参数方程.解由题意知xM=r-rcos-2=r(-sin),yM=r+rsin-2=r(1-cos).故点M的轨迹的参数方程为x=r(-sin),y=r(1-cos)(为参数).B组1.我们知道图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线x=r(-sin),y=r(1-cos)(为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为()A.x=r(-sin),y=r(1-cos)(为参数)B.x=r(1-cos),y=r(-sin)(为参数)C.x=rsin,y=r(1-cos)(为参数)D.x=r(1-cos),y=rsin(为参数)解析图象关于

6、直线y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出摆线关于直线y=x对称的曲线方程,只需把其中的x与y互换.答案B2.已知一个圆的参数方程为x=3cos,y=3sin(为参数),则圆的摆线的参数方程中与=2对应的点A与点B32,2之间的距离为()A.2-1B.2C.10D.32-1解析根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为x=3(-sin),y=3(1-cos)(为参数),把=2代入参数方程中可得x=32-1,y=3,即A32-3,3,所以|AB|=32-3-322+(3-2)2=10.答案C3.导学号73574058如图,ABCD是边长为1

7、的正方形,曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”,其中AE,EF,FG,GH,的圆心依次按B,C,D,A循环,则曲线段AEFGH的长是()A.3B.4C.5D.6解析根据渐开线的定义可知,AE是半径为1的14圆周长,长度为2;EF是半径为2的14圆周长,长度为;FG是半径为3的14圆周长,长度为32;GH是半径为4的14圆周长,长度为2.所以曲线段AEFGH的长是5.答案C4.已知渐开线x=7(cos+sin),y=7(sin-cos)(为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为.解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r=7,其方程为x2+

8、y2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为12x2+y2=49,整理可得x2196+y249=1,这是一个焦点在x轴上的椭圆.c=a2-b2=196-49=147=73.故焦点坐标为(73,0)和(-73,0).答案(73,0)和(-73,0)5.导学号73574059已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请写出该圆半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.解令y=0,可得r(1-cos)=0,由于r0,即得cos=1,所以=2k(kZ).将其代入x=r(-sin),得x=r(2k-sin2k)(kZ).又因为x=2,所以r(2k-sin2k)=

9、2,即得r=1k(kZ).又由实际可知r0,所以r=1k(kN*).易知,当k=1时,r取最大值1.故所求圆的摆线的参数方程为x=1(-sin),y=1(1-cos)(为参数);所求圆的渐开线的参数方程为x=1(cos+sin),y=1(sin-cos)(为参数).6.设圆的半径为4,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y的最大值.解依题意可知点M的轨迹是摆线,其参数方程为x=4(-sin),y=4(1-cos)(为参数,且02).其曲线是摆线的第一拱(02),如图所示.易知,当x=4时,y有最大值8,故该曲线上纵坐标y的最大值为8.