2020-2021学年高考数学一轮复习 专题4.2 利用导数研究函数的单调性知识点讲解（含解析）.docx

1、专题4.2 利用导数研究函数的单调性【考纲解读与核心素养】1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.2培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.3. 高考预测：（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； （2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性4.备考重点：（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；（2）熟练掌握利用导数研究

2、函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.【知识清单】1利用导数研究函数的单调性在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数在上为减函数【典例剖析】高频考点一 ：判断或证明函数的单调性【典例1】（2020全国高考真题（理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，)的单调性；【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【解析】 (1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【典例2】（2020全国高考真题（文）已知函数.（1）当时，讨论的

3、单调性；【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【解析】（1）当时，令，解得，令，解得，所以的减区间为，增区间为；【规律方法】1利用导数证明或判断函数单调性的思路求函数f(x)的导数f(x)：(1)若f(x)0，则yf(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f(x)1，f(x)的定义域为(0,+)，令f(x)=0,得x1=1,x2=a1.若a1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+)单调递增.若0a11，即1a2时，由f(x)0得，a1x0得，0x1.故f(x)在(a1,1)单调递减,在(0,a1),(1,+)单调递增.若a11，即a2时，由f(x)0得,1x0得，0xa1.故f(x)在(

4、1,a1)单调递减,在(0,1),(a1,+)单调递增.综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+)单调递增；当1a2时,f(x)在(1,a1)单调递减,在(0,1),(a1,+)单调递增.【易错提醒】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论讨论的标准有以下几种可能：(1)f(x)0是否有根；(2)若f(x)0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小高频考点二 ：求函数的单调区间【典例3】（2020金华市曙光学校高二月考）已知，那么单调递增区间_；单调

5、递减区间_.【答案】 【解析】因为,故.令可得,即.又为增函数,故当时,单调递减；当时, ,单调递增.故答案为：(1) ；(2)【总结提升】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)0或f(x)0求出单调区间(2)当方程f(x)0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f(x)的符号，从而确定单调区间(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f(x)结构特征，利用图象与性质确定f(x)的符号，从而确定单调区间温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开【变式探究】(2019广东省中山

6、一中等七校联考)已知函数.(1)求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间【答案】（1）y(ae21)(x2)；（2）见解析.【解析】(1)函数的导函数为，可得曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为ae21，切点坐标为(2,0)，即切线的方程为y0(ae21)(x2)，即y(ae21)(x2)(2)f(x)的导函数为当a0时，f(x)(x1)，若x1，则f(x)0，f(x)单调递减，若x1，则f(x)0，f(x)单调递增当a0时，若x1，则f(x)0，f(x)单调递减；若x1，则f(x)0，f(x)单调递增当a0时，若，则f(x)(x1)(ex11)

7、，f(x)在R上单调递增若，则f(x)0即为，可得x1或x；f(x)0即为，可得x1.若，则f(x)0即为，可得x1或；f(x)0即为，可得1x.综上可得，当a0时，f(x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)；当时，f(x)的单调递增区间为R；当时，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为；当时，f(x)的单调递增区间为，(，1)，单调递减区间为.高频考点三 ：利用函数的单调性研究函数图象【典例4】（2018全国高考真题（理）函数的图像大致为 ()ABCD【答案】B【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.【规律方法】1.函数图象的辨识主要从以下方面入手：

8、(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2函数的图象与函数的导数关系的判断方法(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致【变式探究】1.（2020安徽金安六安一中高三其他（文）已知函数f(x)ex(x1)2(e为2.718 28)，则f(x)的大致图象是（ ）ABCD【答案】C【解析】函数，当

9、时，故排除A、D，又，当时，所以在为减函数，故排除B,故选：C.2.（2019云南高考模拟（文）函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】如下图所示：当时，单调递增；当时，单调递减，所以整个函数从左到右，先增后减，再增最后减，选项A中的图象符合，故本题选A.高频考点四 ：利用函数的单调性解不等式【典例5】25（2020山东奎文潍坊中学高二月考）【多选题】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f（x），g（x）为其导函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0且g（3）0，则使得不等式f（x）g（x）0成立的x的取值范围是（ ）A（,3

10、）B（3,0）C（0,3）D（3,+）【答案】BD【解析】f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f（x）f（x），g（x）g（x），令h（x）f（x）g（x），则h（x）h（x），故h（x）f（x）g（x）为R上的奇函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，即x0时，h（x）f（x）g（x）+f（x）g（x）0，h（x）f（x）g（x）在区间（，0）上单调递减，奇函数h（x）在区间（0，+）上也单调递减，如图：由g（3）0，h（3）h（3）0，当x（3，0）（3，+）时，h（x）f（x）g（x）0，故选：BD.【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算

11、公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系【变式探究】（2019四川高考模拟（文）设定义在上的函数的导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）ABCD【答案】A【解析】设，则，是上的增函数，又，的解集为，即不等式的解集为.故选A.高频考点五 ：利用函数的单调性比较大小【典例6】（2020新泰市第二中学高三其他）【多选题】已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）ABCD【答案】CD【解析】分

12、析：构造函数，然后利用导数和已知条件求出在()上单调递减，从而有，据此转化化简后即可得出结论.详解：设，则，因为()时，所以()时，因此在()上单调递减，所以，即，.故选：CD.【总结提升】在比较，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小【变式探究】（2019天津高考模拟（理）已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,，则的大小关系是（ ）ABCD【答案】D【解析】，当时，；当时，即在上递增，的图象关于对称，向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，即为偶函数，即，即.故选D.高频考点六 ：利用函

13、数的单调性求参数的范围（值）【典例7】 (2019年高考北京理)设函数（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.【总结提升】1.由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围注意检验参

14、数取“”时是否满足题意(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围再验证参数取“”时f(x)是否满足题意(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围2恒成立问题的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max(2)mf(x)恒成立mf(x)min【变式探究】（2020山东肥城高二期中）若函数在区间单调递增，则的取值范围是_；若函数在区间内不单调，则的取值范围是_.【答案】 【解析】若在区间单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，又时，所以；若函数在区间内不单调，则方程在区间有解，因为时，因此只需.故答案为：；.