2021-2022学年高中数学 第一章 解三角形测评（含解析）新人教A版必修5.docx

1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.在ABC中,若A=60,BC=4,AC=4,则角B的大小为()A.30B.45C.135D.45或135解析由正弦定理,得,则sinB=.因为BCAC,所以AB,而A=60,所以B=45.答案B2.在ABC中,A=120,AB=5,BC=7,则的值为()A.B.C.D.解析由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,即72=52+AC2-10ACcos120,AC=3.由正弦定理得.答案D3.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧河岸边选定一点C,测出A,C的距离是50 m,ACB=45,

2、CAB=105,则A,B两点间的距离为()A.50 mB.50 mC.25 mD. m解析在ABC中,ABC=180-45-105=30.由正弦定理,得,即,解得AB=50m.答案A4.在ABC中,cos2(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析cos2,cosB=,a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,ABC为直角三角形.故选B.答案B5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,sin Acos C+(sin C+b)cos A=0,则角A=()A.B.C.D.解析a=1

3、,sinAcosC+(sinC+b)cosA=0,sinAcosC+sinCcosA=-bcosA,sin(A+C)=sinB=-bcosA,asinB=-bcosA,由正弦定理可得sinAsinB=-sinBcosA,sinB0,sinA=-cosA,即tanA=-.A(0,),A=.故选D.答案D6.某海轮以30 n mile/h的速度航行,在点A测得海面上油井P在南偏东60方向,向北航行40 min后到达点B,测得油井P在南偏东30方向,海轮改为北偏东60的航向再行驶80 min到达点C,则P,C间的距离为()A.20 n mileB.20 n mileC.30 n mileD.30 n

4、 mile解析如图,在ABP中,AB=30=20(nmile),APB=30,BAP=120.根据正弦定理,得,即,解得BP=20nmile.在BPC中,BC=30=40(nmile),由已知得PBC=90,所以PC=20(nmile),即P,C间的距离为20nmile.答案B7.一角槽的横断面如图所示,四边形ADEB是矩形,且=50,=70,AC=90 mm,BC=150 mm,则DE的长为()A.210 mmB.200 mmC.198 mmD.171 mm解析由题图可知,ACB=+=50+70=120.在ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=902+150

5、2-290150-=44100,解得AB=210.故DE的长为210mm.故选A.答案A8.已知ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45,SABC=2,则ABC的外接圆的直径为()A.4B.5C.5D.6解析SABC=acsinB,c=4.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=25,则b=5.由正弦定理,得2R=5(R为ABC外接圆的半径).答案C9.如图,在ABC中,B=45,D是边BC上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为()A.B.5C.D.5解析在ADC中,由余弦定理,得cosADC=-,所以ADC=120,所以ADB=60.在ABD中,由正弦定理,得AB

6、=.答案C10.在ABC中,sin2A=sin2B+sin Bsin C+sin2C,则A=()A.30B.60C.120D.150解析由正弦定理及已知得,a2=b2+bc+c2,b2+c2-a2=-bc,cosA=-,又0A180,A=120.答案C11.在ABC中,A=,b=2,其面积为2,则=()A.B.C.D.解析由题意可得SABC=bcsinA=2c=2,解得c=4.根据余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA=4+16-224=12,所以a=2.根据正弦定理=2R,则.故选A.答案A12.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3

7、sin 2A,且c=,C=,则ABC的面积是()A.B.C.D.解析sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,sin(B-A)=sinBcosA-cosBsinA,sin2A=2sinAcosA,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,2sinBcosA=6sinAcosA.当cosA=0时,A=,B=.又c=,所以b=.由三角形的面积公式,得S=bc=;当cosA0时,由2sinBcosA=6sinAcosA,得sinB=3sinA.根据正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理的推论,得cosC=cos,解得a=1,b=3,所以此时ABC的面积为S=absinC=.综上可得

8、ABC的面积为,故选D.答案D二、填空题(每小题5分,共20分)13.在ABC中,sin,AB=1,BC=3,则AC=.解析sin,AB=1,BC=3,cosB=1-2sin2=1-2,由余弦定理可得AC=2.答案214.如图,在ABC中,BDsin B=CDsin C,BD=2DC=2,AD=2,则ABC的面积为()解析过点D分别作AB和AC的垂线,垂足分别为E,F.由BDsinB=CDsinC,可得DE=DF,则AD为BAC的平分线,=2.又cosADB+cosADC=0,即=-,解得AC=2,在ABC中,cosBAC=,sinBAC=,SABC=ABACsinBAC=.答案15.如图所示

9、,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处,12时20分测得船在海岛北偏西60的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,则船速为 km/h.解析轮船从C到B用时80分钟,从B到E用时20分钟,而船始终匀速前进,由此可见,BC=4EB.设EB=x,则BC=4x,由已知得BAE=30,EAC=150.在AEC中,由正弦定理,得,sinC=.在ABC中,由正弦定理,得,AB=.在ABE中,由余弦定理,得BE2=AB2+AE2-2ABAEcos30=+25-25,故BE=.船速v=(km/h).答案16.在ABC中,角A,B,C所

10、对的边分别为a,b,c,若A=,a=,则b2+c2的取值范围是.解析由正弦定理=2,得b=2sinB,c=2sinC,则b2+c2=4(sin2B+sin2C)=2(1-cos2B+1-cos2C)=4-2cos2B-2cos2C=4-2cos(B+C)+(B-C)-2cos(B+C)-(B-C)=4-4cos(B+C)cos(B-C)=4+4cosAcos=4+2cos.又0B,则-2B-,即-12cos2,所以34+2cos6,即b2+c2的取值范围是(3,6.答案(3,6三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=2,

11、若cos B=,且ABC的周长为5,求边b的长.解因为=2,所以=2,即c=2a.又因为ABC的周长为5,所以b=5-3a.由余弦定理,得b2=c2+a2-2accosB,即(5-3a)2=(2a)2+a2-4a2,解得a=1,所以b=2.18.(本小题满分12分)(2020全国高考,文18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150.(1)若a=c,b=2,求ABC的面积;(2)若sin A+sin C=,求C.解(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2c2cos150,解得c=-2(舍去),c=2.从而a=2.ABC的面积为22sin150=.(2)在ABC中,A=

12、180-B-C=30-C,所以sinA+sinC=sin(30-C)+sinC=sin(30+C).故sin(30+C)=.而0C0,cosACB=.在ABC中,BC=1,AB=2,cosACB=,由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BCACcosACB,可得AC2-AC-3=0,解得AC=或AC=-(舍去),AC的长为.(2)cosBCD=-,sinBCD=.又CBD=45,sinCDB=sin(180-BCD-45)=sin(BCD+45)=(sinBCD+cosBCD)=,在BCD中,由正弦定理,可得CD=5,即CD的长为5.20.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别

13、为a,b,c,已知b2=ac,且cos B=.(1)求的值;(2)设,求a+c的值.解(1)由cosB=,得sinB=.由b2=ac及正弦定理,得sin2B=sinAsinC.于是.(2)由,得accosB=.由cosB=,得ac=2,即b2=2.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2=b2+2accosB=5,(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,a+c=3.21.(本小题满分12分)在海港A正东39 n mile处有一小岛B,现甲船从A港出发以15 n mile/h的速度驶向B岛,同时乙船以6 n mile/h的速度向北偏西30的方向驶离B岛,不久之后,丙船则向正

14、东方向从B岛驶出,当甲、乙两船相距最近时,在乙船观测发现丙船在乙船南偏东60方向,问此时甲、丙两船相距多远?解设在行驶th后,甲船到达C处,乙船到达D处,丙船到达E处,此时甲、乙两船相距最近,由题意,得CD2=CB2+BD2-2CBBDcos60=(39-15t)2+36t2-6t(39-15t)=351t2-1404t+1521=351(t-2)2+117,所以当t=2时,CD2最小,即CD取得最小值,也即此时甲、乙两船相距最近,过点D作DFAB,则BDF=30,DBE=120,所以BDE=30,DEB=180-120-30=30,故BDE为等腰三角形.所以BE=BD=6t=62=12(nm

15、ile),CE=BC+BE=39-15t+12=51-152=21(nmile).答:甲、乙两船相距最近时,甲、丙两船相距21nmile.22.(本小题满分12分)已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C所对的边,且acos C+c=b.(1)求A;(2)如a=1,ABC的周长L的取值范围.解(1)acosC+c=b变形得2acosC+c=2b,利用正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC,sinC=2cosAsinC,即sinC(2cosA-1)=0,由sinC0,得到cosA=.又A为三角形的内角,则A=60.(2)a=1,sinA=,B+C=120,即C=120-B,即b=sinB,c=sin(120-B),则ABC的周长L=a+b+c=1+sinB+sin(120-B)=1+=1+2=1+2sin(B+30).0B120,30B+30150,sin(B+30)1,即21+2sin(B+30)3,则L的取值范围为(2,3.